28.3.1解直角三角形应用举例(航海)解析.ppt

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1、28.3 解直角三角形应用举例(航海问题)河南省信阳市浉河中学河南省信阳市浉河中学河南省信阳市浉河中学河南省信阳市浉河中学 汪老师汪老师汪老师汪老师方方向向角角北东西南A A5858 2828 B B北偏东北偏东5858南偏西南偏西2828例例1 如图如图1,某海防哨所某海防哨所O发现在它的北偏西发现在它的北偏西30,距离距离500m的的A处有处有一艘船一艘船.该船向正东方向航行该船向正东方向航行,经过经过3分到达哨所东北方向的分到达哨所东北方向的B处处.求求这船的航速是每时多少这船的航速是每时多少km(取取1.7)?图图1解解:设设AB与正北方向线交于点与正北方向线交于点C,则则OCAB.在

2、在RtAOC中中,OA=,AOC=,500m30AC=OAsinAOC=500sin30=500 =250(m).OC=OAcosAOC=500cos30=500 =250 (m).在在RtCOB中中,BOC=45,BC=OC=250 (m).AB=AC+BC=250+250 =250(1+)67536013500(m)答答:这船的航速是每时这船的航速是每时13.5km.250(1+1.7)=675练一练练一练 如图如图2,建筑物建筑物B在建筑物在建筑物A的正北方向的正北方向.在在O地测得在地测得在O地的东南方向地的东南方向60m处处,在在O地的北偏东地的北偏东30方向方向.求求O,B的距离和

3、的距离和A,B的距离的距离.图图2C答答:O,B的距离为的距离为 m,A,B的距离为的距离为 m.仰角、俯角的定义仰角、俯角的定义:仰角和俯角仰角和俯角:指指视线视线和和水平线水平线所成的角所成的角.仰角仰角:视线在水平线上方时视线在水平线上方时俯角俯角:视线在水平线下方时视线在水平线下方时BACK引例引例2 如图如图3,在高为在高为100米的山顶米的山顶A测得地面测得地面C处的处的俯角俯角为为45,地面地面D处的俯角为处的俯角为30(B,C,D三点在一条直线上三点在一条直线上),那么那么图图3ACB 45,30;在在RtABC中中,BC 米米,在在RtABD中中,BD 米米;CD BC 米米

4、.100BD100100100()NEXTDAEADB30CAE45例例2 如图如图4,河对岸有水塔河对岸有水塔AB.在在C处测得塔顶处测得塔顶A的仰角为的仰角为30,向塔前进向塔前进12m到到达达D,在在D处测得处测得A的仰角为的仰角为45,求塔高求塔高.解解:在在RtADB中中,ADB=45 设设 BD=AB=xm.在在RtACB中中,ACB=30 BC=AB.即即(-1 )x=12,答答:塔高为塔高为()m.想一想想一想:还可以怎还可以怎么解么解?DCBA 453012m图图4图图4评注评注:因因CD不是可解直角三角形的一边不是可解直角三角形的一边,这时通常可考虑用线段的和或差这时通常可

5、考虑用线段的和或差这一间接方法这一间接方法.12+x=x6 63 36 61 13 31212cot45cot45cot30cot301212X X+=-=-=例例2 如图如图4,河对岸有水塔河对岸有水塔AB.在在C处测得塔顶处测得塔顶A的仰角为的仰角为30,向塔前进向塔前进12m到到达达D,在在D处测得处测得A的仰角为的仰角为45,求塔高求塔高.DCBA 453012m另解另解:若设若设ABx,则易得则易得 BD=x.BC=x12.在在RtACB中中,由由ACB=30,得得 解得解得x小结小结:本例告诉我们在应用解直角三角形解决测量问题时本例告诉我们在应用解直角三角形解决测量问题时,一般要先

6、画一般要先画 出测量示意图出测量示意图,然后借助示意图然后借助示意图,利用直角三角形中角、边之间的利用直角三角形中角、边之间的 数量关系求出所要求的距离或角度数量关系求出所要求的距离或角度.图图4习题：某船自西向东航行，在习题：某船自西向东航行，在A出测得某岛在北偏东出测得某岛在北偏东60的方向上，前进的方向上，前进8千米测得某岛在船北偏东千米测得某岛在船北偏东45 的方向上，问（的方向上，问（1）轮船行到何处离小岛距离最近？）轮船行到何处离小岛距离最近？（2）轮船要继续前进多少千米？）轮船要继续前进多少千米？A北南西东北南西东某船自西向东航行，在某船自西向东航行，在A出测得某岛在北偏东出测得

7、某岛在北偏东60的的方向上，前进方向上，前进8千米测得某岛在船北偏东千米测得某岛在船北偏东45 的方向的方向上，问（上，问（1）轮船行到何处离小岛距离最近？）轮船行到何处离小岛距离最近？（2）轮船要继续前进多少千米？）轮船要继续前进多少千米？30458千米ABCD某船自西向东航行，在某船自西向东航行，在A出测得某岛在北偏东出测得某岛在北偏东60的的方向上，前进方向上，前进8千米测得某岛在船北偏东千米测得某岛在船北偏东45 的方向的方向上，问（上，问（1）轮船行到何处离小岛距离最近？）轮船行到何处离小岛距离最近？（2）轮船要继续前进多少千米？）轮船要继续前进多少千米？解：练习练习1：如图所示，某

8、船以每小时：如图所示，某船以每小时36海里的速度海里的速度向正东航行，在向正东航行，在A点测得某岛点测得某岛C在北偏东在北偏东60方向方向上，航行半小时后到上，航行半小时后到B点，测得该岛在北偏东点，测得该岛在北偏东30方向上，已知该岛周围方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁海里内有暗礁（1）试说明）试说明B点是点是否在暗礁区域外否在暗礁区域外（2）若继续向东）若继续向东航行，有无触礁危航行，有无触礁危险？请说明理由险？请说明理由 北北东东ABCD解：（解：（1）AB=360.5=18，ADB=60，DBC=30，ACB=30又又CAB=30，BC=AB=1816，B点在暗礁区域外点在暗礁区域

9、外（2）过）过C点作点作CHAF，垂足为，垂足为H，在，在RtCBH中，中，BCH=30，令令BH=x，则，则CH=x，在，在RtACH中，中，CAH=30，AH=CH，18x=-x，x=9，CH=916，船继续向东航行有触礁的危险船继续向东航行有触礁的危险答：答：B点在暗礁区域外，船继续向东航行有触礁的危点在暗礁区域外，船继续向东航行有触礁的危险险北北东东ABC练习练习2：如图所示，气象台测得台风中心在某港口：如图所示，气象台测得台风中心在某港口A的正东方向的正东方向400公里处公里处,向西北方向向西北方向BD移动，距移动，距台风中心台风中心300公里的范围内将受其影响，问港口公里的范围内将

10、受其影响，问港口A是否会受到这次台风的影响？是否会受到这次台风的影响？ABD东东北北45 练习练习3：正午：正午10点整，一渔轮在小岛点整，一渔轮在小岛O的北偏东的北偏东30方向，距离等于方向，距离等于10海里的海里的A处，正以每小时处，正以每小时10海里海里的速度向南偏东的速度向南偏东60方向航行，那么渔轮到达小岛方向航行，那么渔轮到达小岛O的正东方向是什么时间（精确到的正东方向是什么时间（精确到1分）？分）？OA3060 南南东东BC北北西西例例4 如图如图6,公路公路MN和公路和公路PQ在点在点P处交汇处交汇,且且QPN=30,点点A处有处有一所中学一所中学,AP=160米米,假设拖拉机

11、行驶时假设拖拉机行驶时,周围周围100米内会受到噪声米内会受到噪声的影响的影响,那么拖拉机在公路那么拖拉机在公路MN上沿上沿PN方向行驶时方向行驶时,学校是否会受学校是否会受到噪声影响到噪声影响?说明理由说明理由;如果受影响如果受影响,已知拖拉机速度为已知拖拉机速度为18千米千米/时时,那么学校受到影响的时间为多少秒那么学校受到影响的时间为多少秒?BAQNMP30图图6CD解解:作作ABMN于于B,在在RtABP中中,ABP=90,APB=30,AP=160 AB=AP=80 点点A到直线到直线MN的距离小于的距离小于100米米 这所中学会受到噪声的影响这所中学会受到噪声的影响.假设拖拉机在公

12、路假设拖拉机在公路MN上沿上沿PN方向行驶到方向行驶到点点C处处,学校开始受到噪声影响学校开始受到噪声影响,那么那么 AC100(米米),由勾股定理由勾股定理 BC 60(米米)同理拖拉机行驶到点同理拖拉机行驶到点D处处,学校开始脱离学校开始脱离 噪声影响噪声影响,那么那么BD60米米.CD120(米米)0.12千米千米 学校受噪声影响的时间学校受噪声影响的时间t 图图6（中学）（中学）1.解直角三角形解直角三角形,就是在直角三角形中就是在直角三角形中,知道除直角外的其他知道除直角外的其他 五个元素中的两个五个元素中的两个(其中至少有一个是边其中至少有一个是边),),求出其它元素的求出其它元素

13、的 过程过程.2.与之相关的应用题有与之相关的应用题有:求山高或建筑物的高求山高或建筑物的高;测量河的宽度测量河的宽度 或物体的长度或物体的长度;航行航海问题等航行航海问题等.解决这类问题的关键就是解决这类问题的关键就是 把实际问题转化为数学问题把实际问题转化为数学问题,结合示意图结合示意图,运用解直角三角运用解直角三角 形的知识形的知识.3.当遇到当遇到30,45,6030,45,60等特殊角时等特殊角时,常常添加合适的辅助线分割常常添加合适的辅助线分割 出包含这些角度的直角三角形来解决某些斜三角形的问题出包含这些角度的直角三角形来解决某些斜三角形的问题.4.应用解直角三角形知识解应用题时应用解直角三角形知识解应用题时,可按以下思维过程进行可按以下思维过程进行:寻找直角三角形寻找直角三角形,若找不到若找不到,可构造可构造;找到的直角三角形是否可解找到的直角三角形是否可解,若不可直接求解若不可直接求解,利用题中利用题中 的数量关系的数量关系,设设x x求解求解.【课堂点睛课堂点睛】: