D11-4函数展开成幂级数同济大学-高等数学(上)课件.ppt
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1、D11-4函数展开成函数展开成幂级数同数同济大学大学-高等数学高等数学(上上)课件件一、泰勒一、泰勒(Taylor)级数级数 其中(在 x 与 x0 之间)称为拉格朗日余项拉格朗日余项.则在若函数的某邻域内具有 n+1 阶导数,此式称为 f(x)的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式,该邻域内有:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/222为f(x)的泰勒级数泰勒级数.则称当x0=0 时,泰勒级数又称为麦克劳林级数麦克劳林级数.1)对此级数,它的收敛域是什么？2)在收敛域上,和函数是否为 f(x)?待解决的问题:若函数的某邻域内具有任意阶导数,机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5
2、/223定理定理1.各阶导数,则 f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是 f(x)的泰勒公式中的余项满足:证明证明:令设函数 f(x)在点 x0 的某一邻域 内具有机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/224定理定理2.若 f(x)能展成 x 的幂级数,则这种展开式是唯一的,且与它的麦克劳林级数相同.证证:设 f(x)所展成的幂级数为则显然结论成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/225二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 1.直接展开法直接展开法由泰勒级数理论可知,第一步 求函数及其各阶导数在 x=0 处的值;第二步 写出麦克劳林级数,并求出其收敛半
3、径 R;第三步 判别在收敛区间(R,R)内是否为骤如下:展开方法展开方法直接展开法 利用泰勒公式间接展开法 利用已知其级数展开式0.的函数展开机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/226例例1.将函数展开成 x 的幂级数.解解:其收敛半径为 对任何有限数 x,其余项满足故(在0与x 之间)故得级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/227例例2.将展开成 x 的幂级数.解解:得级数:其收敛半径为 对任何有限数 x,其余项满足机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/228类似可推出:(P220 例3)机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/229例
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