3.4-基本不等式.ppt

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1、边城高级中学边城高级中学 张秀洲张秀洲1理解并掌握基本不等式及变形应用理解并掌握基本不等式及变形应用 2会用基本不等式求最值问题和解决简单的实际问题会用基本不等式求最值问题和解决简单的实际问题自学教材自学教材 P97P100 解决下列问题解决下列问题一、理解并掌握基本不等式及变形应用一、理解并掌握基本不等式及变形应用二、二、创新设计创新设计 自学导引自学导引.三、三、教材教材 P100 练习练习1、2、3、4.下图是在北京召开的第下图是在北京召开的第24届国际数学大会的会标，会标是根届国际数学大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上据中国古代数学家赵爽的弦图设计

2、的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客你能在这个图案中去像一个风车，代表中国人民热情好客你能在这个图案中找出一些相等关系和不等关系吗？找出一些相等关系和不等关系吗？ABCDEFGHab设设AE=a,BE=b,则正方形则正方形ABCD的面积是的面积是_,这这4个直角三角形的面积之和是个直角三角形的面积之和是_,a2+b22ab当且当且仅仅当当a=b时时，等号成立，等号成立结论：结论：文字叙述为文字叙述为:两数的平方和大于或等于它们积的两数的平方和大于或等于它们积的2倍。倍。一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a、b，总有，总有当且当且仅仅当当a=b时时，等号成立，等号成立特

3、别地，若特别地，若a0，b0，则，则通常我们把上式写作：通常我们把上式写作：当且仅当当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做时取等号，这个不等式就叫做基本不等式基本不等式.通常我们把上式写作：通常我们把上式写作：当且仅当当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做时取等号，这个不等式就叫做基本不等式基本不等式.证明：要证证明：要证 只要证只要证要证要证，只要证，只要证要证要证，只要证，只要证显然显然,是成立的是成立的.当且仅当当且仅当a=b时时,中的等号成立中的等号成立.分分析析法法执果索因执果索因对基本不等式对基本不等式 的几何意义作进一步探究的几何意义作进一步探究RtACDRtDCB，ABCD

4、EabO如图如图,AB是圆的直径是圆的直径,O为圆心，点为圆心，点C是是AB上一点上一点,AC=a,BC=b.过点过点C作垂直作垂直于于AB的弦的弦DE,连接连接AD、BD、OD.如何用如何用a,b表示表示CD?CD=_如何用如何用a,b表示表示OD?OD=_对基本不等式对基本不等式 的几何意义作进一步探究的几何意义作进一步探究ABCDEabO如图如图,AB是圆的直径是圆的直径,O为圆心，点为圆心，点C是是AB上一点上一点,AC=a,BC=b.过点过点C作垂直作垂直于于AB的弦的弦DE,连接连接AD、BD、OD.如何用如何用a,b表示表示CD?CD=_如何用如何用a,b表示表示OD?OD=_O

5、D与与CD的大小关系怎样的大小关系怎样?OD_CD几何意义：半径不小于半弦几何意义：半径不小于半弦基本不等式：基本不等式：注意注意：（1）不等式使用时）不等式使用时,注意注意“一正一正,二定二定,三相等三相等”;（2）当且仅当）当且仅当a=b时取等号；时取等号；（3）叫做正数叫做正数a，b的的算术平均数算术平均数，叫做正数叫做正数a，b的的几何平均数几何平均数；均值不等式均值不等式解：如图设解：如图设BC=x，CD=y，则则xy=100，篱笆的长为，篱笆的长为2(x+y)m.当且仅当当且仅当 时，时，等号等号成立成立因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，

6、时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是最短的篱笆是40m.此时此时x=y=10.x=yABDC例例1：(1)如图如图,用篱笆围成一个面积为用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园的矩形菜园,问这个矩形问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？若若x、y皆为正数，皆为正数，则当则当xy的值是常数的值是常数P时，时，当且仅当当且仅当x=y时时，x+y有最小值有最小值_.解：如图，设解：如图，设BC=x，CD=y，则则 2(x+y)=36,x+y=18矩形菜园的面积为矩形菜园的面积为xy m2得得 xy 81当且仅当当且仅当x=y时，

7、等号成立时，等号成立 因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为9m时，时，菜园面积最大，最大面积是菜园面积最大，最大面积是81m2即即x=y=9ABDC例例1：(2)如图，用一段长为如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？若若x、y皆为正数，皆为正数，则当则当x+y的值是常数的值是常数S时，时，当且仅当当且仅当x=y时时，xy有最大值有最大值_；各项皆为各项皆为正数正数；和或积为和或积为定值定值；注意注意等号等号成立的条件成

8、立的条件.一一“正正”二二“定定”三三“相等相等”利用基本不等式求最值时，要注意利用基本不等式求最值时，要注意已知已知 x,y 都是正数都是正数,P,S 是常数是常数.(1)xy=P x+y2 P(当且仅当当且仅当 x=y 时时,取取“=”号号).(2)x+y=S xy S2(当且仅当当且仅当 x=y 时时,取取“=”号号).14【例例2】某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为深为3m，如果池底每，如果池底每1m2的造价为的造价为150元，池壁每元，池壁每1m2的造价为的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低元，问怎样设计水

9、池能使总造价最低,最最低总造价是多少元？低总造价是多少元？分析：分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。解：解：设水池底面一边的长度为设水池底面一边的长度为xm，则水池的宽为则水池的宽为 ,水水池的总造价为池的总造价为y元，根据题意，得元，根据题意，得当当时时y有最小值有最小值297600所以将水池的地面设计成边长为所以将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价最低，的正方形时总造价最低，最低造价是最低造价是297600元元2

10、8 二月二月 2023三、三、教材教材 P100 练习练习1、2、3、4.基本不等式的功能在于和与积的互化，应用基本不等式求基本不等式的功能在于和与积的互化，应用基本不等式求最值时一定要注意其最值时一定要注意其“一正、二定、三相等一正、二定、三相等”的条件，实的条件，实际解题时主要技巧是际解题时主要技巧是“拆项拆项”，“添项添项”，“配凑因式配凑因式”题型一：题型一：利用基本不等式证明不等式利用基本不等式证明不等式利用基本不等式求函数的最值，要满足：利用基本不等式求函数的最值，要满足：(1)函数式中各项必须都是正数；函数式中各项必须都是正数；(2)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数函数式中

11、含变数的各项的和或积必须是常数(定值定值);(3)等号成立条件必须存在等号成立条件必须存在2、已知、已知a，b，c 为不全相等的正实数求证为不全相等的正实数求证a2b2c2abbcca.【证明证明】a0，b0，c0，a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca.2(a2b2c2)2(abbcca)，即即a2b2c2abbcca.28 二月二月 2023你学会了吗你学会了吗?对自己说，你有什么收获？对自己说，你有什么收获？对同学说，你有什么提示？对同学说，你有什么提示？对老师说，你有什么疑惑？对老师说，你有什么疑惑？求最值时注意把握求最值时注意把握“一正，二定，三相等一正，二定，三相等”已知已

12、知 x,y 都是正数都是正数,P,S 是常数是常数.(1)xy=P x+y2 P(当且仅当当且仅当 x=y 时时,取取“=”号号).(2)x+y=S xy S2(当且仅当当且仅当 x=y 时时,取取“=”号号).142、利用基本不等式求最值、利用基本不等式求最值本节课主要探究基本不等式的证明与初步应用本节课主要探究基本不等式的证明与初步应用1、两个重要的不等式、两个重要的不等式（1）（2）(当且仅当当且仅当a=b时，等号成立时，等号成立)【总复习总复习】课本课本P103-P104复习参考题复习参考题必做题：必做题：教材教材 P100-P101 A组组2、4题题选做题：选做题：创新设计创新设计 变式变式2 （1）（）（3）1次次2023年年2月月28日日