线性代数-课件4.pptx

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1、主编管典安倪臣敏主审谢志春线线 性性 代代 数数大连理工大学出版社普通高校应用型人才培养试用教材第四章 向量组的线性相关性4.1向量组及其线性组合4.1.1 n 维向量与向量组定义1n 个有次序的数a1,a2,an 所组成的数组称为n 维向量.把n 维向量写成一列,称为n 维列向量,记作把n 维向量写成一行,称为n 维行向量,记作4.1向量组及其线性组合这就是前面学过的行矩阵和列矩阵.我们规定行向量和列向量都按矩阵的运算法则进行运算.并用黑体小写字母 a,b,等表示列向量,用aT,bT,T,T 等表示行向量,如果没有指明行向量或列向量,则当作列向量.若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组

2、成的集合,叫作向量组.例如,一个 mn 矩阵A 的n 个m 维列向量a1,a2,an 组成的向量组称为A 的列向量组,它的 m 个n 维行向量 组成的向量组称为A 的行向量组.反之,由n 个m 维列向量构成一个mn 矩阵A.4.1向量组及其线性组合4.1.2 向量组的线性组合定义2给定 m 个n 维向量组成的向量组A:a1,a2,am,对于任何一组实数k1,k2,km,向量k1a1+k2a2+kmam 称为向量组A 的一个线性组合.k1,k2,km 称为这个线性组合的系数.例1已知向量组A:4.1向量组及其线性组合和向量组B:分别求出两向量组的线性组合的系数,使得线性组合为0向量.解对于向量组

3、A,依题意有4.1向量组及其线性组合即解得对于向量组B,依题意有4.1向量组及其线性组合即只有零解由例1可知,对于向量组A,存在不全为零的k1,k2,k3 使得k1a1+k2a2+k3a3=0,而对于向量组B,要使h1b1+h2b2+h3b3=0,必须使h1=h2=h3=0.特别值得注意的是:对矩阵施行初等行(列)变换,相当于把矩阵的行(列)向量施行线性组合.若对 mn 矩阵施行初等行变换后,某一行全变为0,相当于存在不全为零的一组实数k1,k2,km,使得4.1向量组及其线性组合4.1.3 向量的线性表示定义3 给定 m 个n 维向量组成的向量组A:a1,a2,am 和n 维向量b,如果存在

4、一组实数k1,k2,km,使得b=k1a1+k2a2+kmam,则称向量b能由向量组A 线性表示,即向量b是向量组A 的一个线性组合.由向量组线性表示的定义可知,向量b能由向量组A:a1,a2,am 线性表示的充分必要条件是线性方程组k1a1+k2a2+kmam=b有解.4.1向量组及其线性组合已知向量组A:例2和向量组B:分别把两个向量组中的一个向量用其余的向量线性表示.4.1向量组及其线性组合解对于向量组A,设即解得于是 同法可得4.1向量组及其线性组合对于向量组B,设即这个线性方程组无解,说明b1 不能由b2,b3 线性表示,同法可得,b2 不能由b1,b3 线性表示,b3 不能由b1,

5、b2 线性表示,由例2可知,对于向量组A,至少有一个向量能用其余的向量线性表示,而对于向量组B,任何一个向量都不能用其余的向量线性表示.4.1向量组及其线性组合定义4 设有两个向量组A:a1,a2,am 及向量组B:b1,b2,bl,若向量组B 中的每一个向量都能由向量组A 线性表示,则称向量组B 能由向量组A 线性表示.若向量组A 与向量组B 能相互线性表示,则称这两个向量组等价.4.1向量组及其线性组合例已知向量组A:和向量组B:这两个向量组是否等价?4.1向量组及其线性组合解首先讨论向量组A 能否由向量组B 线性表示,设4.1向量组及其线性组合这个线性方程组无解,说明b1 不能由向量组A

6、 线性表示,所以向量组B 不能由向量组A 线性表示.由此可知,这两个向量组不等价.习题4-1A 组答案1.设证明向量b能由向量组a1,a2,a3 线性表示,并求出表示式.b=(-3c+2)a1+(2c-1)a2+ca3,(cR)习题4-1A 组2.设证明向量组a1,a2 与向量组b1,b2,b3 等价.答案略习题4-1B 组答案 a=1 习题4-1B 组答案(1)a-1;(2)a=-14.2向量组的线性相关性概述定义1给定向量组A:a1,a2,am,如果存在不全为零的数k1,k2,km,使得例如,上一节例1中的向量组A 线性相关,而向量组B 线性无关.由向量组线性相关性的定义可知,向量组 A:

7、a1,a2,am 线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组k1a1+k2a2+kmam=0有非零解,向量组 A:a1,a2,am 线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组k1a1+k2a2+kmam=0只有零解.则称向量组A 线性相关,否则称它线性无关4.2向量组的线性相关性概述例4.2向量组的线性相关性概述例24.2向量组的线性相关性概述习题4-2A 组1.已知答案试讨论向量组a1,a2,a3 及向量组a1,a2 的线性相关性.向量组a1,a2,a3 线性相关,向量组a1,a2 线性无关.习题4-2A 组2.判断下列向量组是线性相关还是线性无关.答案(1)相关;(2)无关;(3)无关习题4-2B

8、 组答案 a=-1习题4-2B 组答案a-2,a1习题4-2B 组3.设向量组a1,a2,a3 线性无关,讨论向量组a1-a2-2a3,2a1+a2-a3,3a1+a2+2a3 的线性相关性.答案 线性无关4.3向量组的秩定义1设向量组A:a1,a2,am,若满足(1)向量组A 中存在r 个向量线性无关;(2)任意r+1个向量(若存在)一定线性相关,称r个线性无关的向量组为向量组A 的极大线性无关组,简称为极大无关组.极大无关组中所含向量的个数称为向量组A 的秩,记作RA.只含零向量的向量组没有极大无关组,规定它的秩为0.4.3向量组的秩向量组的极大无关组一般不是唯一的.如 由a1,a2,a3

9、线性相关,a1,a2 线性无关,因此a1,a2 是向量组a1,a2,a3 的一个极大无关组.同理,a1,a3和a2,a3 都是向量组a1,a2,a3 的极大无关组.由于利用定义1来 求 向 量 组 的 秩 是 比 较 麻 烦 的,因 此,我 们 引 入 它 的 另 一 个 等价定义.定义2设由列(行)向量组a1,a2,am 构成矩阵A=(a1,a2,am)(A=),将A 化为行最简形B,称B 的非零行数为向量组A 的秩,记作RA.4.3向量组的秩设矩阵例习题4-3A 组1.设答案求向量组的一个极大线性无关组,并把其余向量用极大线性无关组线性表出.习题4-3B 组1.设向量组答案a=2,b=5的

10、秩为2,求a 与b 的值.4.4向量空间定义1 所有n 维向量连同向量的加法及数与向量的乘法运算称为n 维向量空间,记为Rn.【例1】3维向量的全体R3,就是一个向量空间.因为任意两个3维向量之和仍然是3维向量,数 乘3维向量也仍然是3维向量,它们都属于R3.定义2设V 为向量空间,设a1,a2,ar 为V 中的r 个向量,若满足:(1)a1,a2,ar 线性无关;(2)对任意的bV,b都可由向量组a1,a2,ar 线性表示,则称a1,a2,ar 为向量空间V 的基.4.4向量空间例24.4向量空间例34.4向量空间4.4向量空间所以a1,a2,a3 线性无关,故a1,a2,a3 是R3 的一

11、个基,且即b1,b2 在基a1,a2,a3 中的坐标依次为4.4向量空间定义4设a1,a2,a3 及b1,b2,b3 为 R3 的两组基,若矩阵P 满足(b1,b2,b3)=(a1,a2,a3)P,则称矩阵P 为从a1,a2,a3 到b1,b2,b3 的过渡矩阵.设向量x 在基a1,a2,a3 及b1,b2,b3 下的坐标分别为y1,y2,y3 和z1,z2,z3,则有因此可得这就是在不同基下的坐标变换公式.4.4向量空间(1)求由基a1,a2,a3 到b1,b2,b3 的过渡矩阵;(2)设向量c在基a1,a2,a3 下的坐标为-2,1,2,求c在基b1,b2,b3 下的坐标.解(1)设A=(

12、a1,a2,a3),B=(b1,b2,b3),则基a1,a2,a3 到b1,b2,b3 的过渡矩阵P满足(b1,b2,b3)=(a1,a2,a3)P,接下来用矩阵的初等变换求解P则过渡矩阵例34.4向量空间即c在基b1,b2,b3 下的坐标为13,-3,-2.习题4-4A 组答案-1,2,1习题4-4A 组答案习题4-4B 组答案-1,5,-1第四章总习题答案3答案32.设向量组a1,a2,a3 线 性 无 关,而a1+ka2+a3,2a1+a2-a3,a2+a3 线 性 相 关,求k.第四章总习题答案-2第四章总习题答案k1且k-2第四章总习题答案-1或5第四章总习题答案5第四章总习题答案2;a1,a2;a3=2a1-a2,a4=a1+a2第四章总习题答案6,11,-3谢谢