2019九年级数学上册 专题突破讲练 一元二次方程的根与系数究竟有何关系试题 （新版）青岛版.doc

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1、1一元二次方程的根与系数究竟有何关系一元二次方程的根与系数究竟有何关系一、一元二次方程根与系数的关系一、一元二次方程根与系数的关系 如果一元二次方程ax2bxc0（a0）有两个实数根x1、x2，则x1x2 ，x1x2 。b ac a 方法归纳：（1）如果方程x2pxq0 的两个实数根是x1、x2，那么 x1x2p，x1x2q。 （2）以x1、x2为根的一元二次方程（二次项系数为 1）是x2（x1x2） xx1x20 或（xx1） （xx2）0。二、一元二次方程根与系数的关系的应用二、一元二次方程根与系数的关系的应用 （1）验根； （2）已知方程的一个根，求方程的另一个根及未知系数； （3）不解

2、方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值。 方法归纳：利用方程根与系数的关系求代数式的值，几个重要变形如下： （1）x12x22（x1x2）22x1x2；（2）；1 x11 x2x1x2 x1x2（3）；x2 x1x1 x2x12x22 x1x2（x1x2）22x1x2 x1x2 （4） （x1x2）2（x1x2）24x1x2； （5）x1x2。（x1x2）2（x1x2）24x1x2总结： 1. 已知一元二次方程的两个实数根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围。2. 利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号。例题例题 1 1 已知方程x22x10，则此方程

3、（ ） A. 无实数根 B. 两根之和为2 C. 两根之积为1 D. 有一根为12解解析析：根据已知方程的根的判别式符号确定该方程的根的情况；由根与系数的关系确 定两根之积、两根之和的值；通过求根公式即可求得方程的根。A. （2）241（1）80，则该方程有两个不相等的实数根。故本选 项错误；B. 设该方程的两根分别是 、，则 2。即两根之和为 2，故本选项错 误；C. 设该方程的两根分别是 、，则 1。即两根之积为1，故本选项正确； D. 根据求根公式x1可知，原方程的两根是（1）和（1） ，故本选项错222误。故选 C。 答答案案：C 点拨：点拨：本题综合考查了根与系数的关系、根的判别式以

4、及求根公式的应用。利用根与 系数的关系、求根公式解题时，务必清楚公式中的字母所表示的含义。2例题例题2 2 设x1、x2是方程x2x20130 的两个实数根，求x132014x22013 的值。 解解析析：由原方程可知x2x2013，xx22013；x12x12013，x1x122013。由 根与系数的关系可知x1x21，根据以上关系代入求值即可。 答答案案：x2x20130，x2x2013，xx22013。 又x1、x2是方程x2x20130 的两个实数根 x1x21 x132014x22013 x1x122013x2x22013 x1（x12013）2013x2x22013 x122013

5、x12013x2x22013 （x12013）2013x12013x2x22013 x1x22013（x1x2）20132013 12013 2014 点拨：点拨：本题考查了根与系数的关系，对所求代数式的变形是解答此题的关键点和难点。利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号。设一元二次方程 ax2bxc0（a0）的两个实数根为x1、x2，则（1）当0 且x1x20 时，两根同号，即x1x20时，两根同为正数x1x20时，两根同为负数) （2）当0 且x1x20 时，两根异号，即 x1x20时，两根异号且正根绝对值较大x1x20时，两根异号且负根绝对值较大) 例题例题 如果关于x的方

6、程x2pxq0（p、q是正整数）的正根小于 3，那么这样的 方程的个数是（ ） A. 5 个B. 6 个C. 7 个D. 8 个解解析析：p、q是正整数，且p24q0，原方程有两个不相等的实数根。又x1x2q0，此方程两根异号。这个方程的正根为，即pp24q23。解得q93p，其正整数解是：、pp24q2p1q1) p1 q2) p1 q3) p1 q4) p1 q5)、。故选 C。p2q1) p2 q2) 答答案案：C 点拨：点拨：要判断一元二次方程的根的符号有一个前提条件不能忽略，那就是判别式 0，然后再依据x1x2和x1x2的正负情况进行判断。（答题时间：（答题时间：3030 分钟）分钟

7、） 一、选择题 1. 已知（xa） （xb）x22x1，则ab（ ） A. 2B. 1C. 1D. 232. 已知一元二次方程x26xc0 有一个根为 2，则另一个根为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 8 3. 已知m、n是关于x的一元二次方程x23xa0 的两个解，若（m1） （n1） 6，则a的值为（ ） A. 10B. 4C. 4D. 10*4. 设x1、x2是方程x23x30 的两个实数根，则的值为（ ）x2 x1x1 x2 A. 5B. 5C. 1D. 1*5. 若m、n是方程x22x10 的两个实数根，则 的值是（ ）5n mm nA. 2B. 4C. 6D. 85555*6.

8、若方程x22px3p20 的两个不相等的实数根x1、x2满足 x12x14（x22x2） ，则实数p的可能的值为（ ） A. 0 或1B. 0C. 0 或4D. 4二、填空题 7. 若x11 是关于x的方程x2mx50 的一个根，则方程的另一个根 x2_。 8. 已知关于x的一元二次方程x2x30 的两个实数根分别为 、，则（3） （3）_。*9. 已知实数a、b不相等，并且a215a，b215b，则_。1 a21 b2 *10. 已知关于x的方程x2（ab）xab10，x1、x2是此方程的两个实数根，现 给出三个结论：x1x2；x1x2ab；x12x22a2b2。则正确的结论是 _。 （填上

9、你认为正确结论的所有序号）三、解答题 11. 已知关于x的方程x2xn0 有两个实数根2、m。求m、n的值。 *12. 已知 、 是关于x的一元二次方程x2（2m3）xm20 的两个不相等的实数根，且满足1，试求m的值。1 1 *13. 已知、是方程x22x10 的两个实数根，试求 3510 的值。 *14. 已知关于x的一元二次方程x2（2k1）xk22k0 有两个实数根x1、x2。 （1）求实数k的取值范围； （2）是否存在实数k使得x1x2x12x220 成立？若存在，请求出k的值；若不存 在，请说明理由。 *15. 已知关于x的方程x22mxm22x的两个实数根x1、x2满足x1x2，

10、求实 数m的值。4一、选择题 1. C 解析：注意本题ab不是利用根与系数的关系求得的，根据等式的性质求解即可。 2. C 解析：设方程的另一个根为x1，由题意可知x126，所以x14，即方程的另 一根为 4。 3. C 解析：根据题意得：mn3，mna，（m1） （n1）mn（mn） 16，a316，解得a4，故选 C。*4. B 解析：由题意可知x1x23，x1x23，x2 x1x1 x2x12x22 x1x25。（3）22 （3） 3 *5. D 解析：由已知得mn2，mn1，则（mn）2（mn）24mn（2）552416，mn4。 8。n mm nn2m2 mn(mn)(nm) mn5

11、 *6. B 解析：原方程有两个不相等的实数根，（2p）24（3p2）0，即 p23p20，且x1x22p，x1x23p2。又x12x14（x22x2） ，即 x12x22x1x24，（x1x2）22x1x2（x1x2）4，即（2p）22（3p2） 2p4，4p24p0，解得p0 或1。当p0 时0，当p1 时0（舍去） ， 所以p的可能的值为 0。二、填空题 7. 5 解析：由x1x25 且x11，得x25。 8. 9 解析：1，3，（3） （3）3（） 933199。 *9. 23 解析：a、b满足a215a，b215b，即a、b是x215x的两个实数根，整理此方程为x25x10，根据根与

12、系数的关系可知ab5，ab1。1 a21 b223。a2b2 a2b2（ab）22ab a2b2 *10. 解析：方程x2（ab）xab10 中，（ab）24（ab1）（ab）240，x1x2，故正确；x1x2ab1ab，故正确；x1x2ab，x1x2ab1，x12x22（x1x2）22x1x2（ab）22ab2a2b22a2b2，即x12x22a2b2。故错误；综上所述，正确结论的序号是：。三、解答题11. 解：关于x的方程x2xn0 有两个实数根2、m，解得2mn 2m1)，即m、n的值分别是 1、2。m1 n2)*12. 解：根据条件知：（2m3） ，m2，1 1 1，即m22m30，所

13、以有，解得m3。（2m3） m2m22m30 （2m3）24m20) *13. 解： 是方程x22x10 的根， 212。3a2a（12）222（12）52，又52，3510（52）5105（）85（2） 82。 *14. 解：（1）原方程有两个实数根，（2k1）24（k22k）4k24k14k28k14k0，k 。当k 时，原方程有两个实数根。 （2）假1 41 4 设存在实数k使得x1x2x12x220 成立。理由如下：x1、x2是原方程的两个实数根， x1x22k1，x1x2k22k。由x1x2x12x220 得 3x1x2（x1x2）20。3（k22k）（2k1）20，整理得：（k1）20，只有当k1 时，上式成立。又由（1）知k ，不存在实数k使得x1x2x12x220 成立。1 4 *15. 解：原方程可变形为：x22（m1）xm20，x1、x2是方程的两个实数根，0，即 4（m1）24m20，8m40，m 。又x1、x2满足1 2x1x2，x1x2或x1x2，即0 或0 且x1x20，由0，即8m40，得m 。由x1x20，即 2（m1）0，得m1（不合题意，舍去）。1 2当x1x2时，m的值为 。1 2