2019九年级数学上册 专题突破讲练 解直角三角形试题 （新版）青岛版.doc

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1、1解直角三角形解直角三角形解直角三角形的基本类型以及解法解直角三角形的基本类型以及解法图形已知类型已知条件解法步骤斜边，一直角边（如c、a）b；c2a2由 sinA ，求A；a cB90A两边两直角边（如a、b）c；a2b2由 tanA ，求A；a bB90A斜边，一锐角（如c，A）B90A；由 sinA ，求acsinA；a c由 cosA ，求bccosAb cABCabc一边一角一直角边，一锐角（如a、A）B90A；由 tanA ，求b；a ba tanA由 sinA ，求ca ca sinA方法归纳：（1）直角三角形中的五个元素：两条直角边，一条斜边，两个锐角。在没有特殊说明的情况下，

2、 “解直角三角形”即求出所有的未知元素。（2）直角三角形的特殊性质：直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。（3）直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积。总结：1. 能够利用勾股定理、三角函数解直角三角形；2. 会添加适当的辅助线构造直角三角形解决斜三角形的问题。例题例题 如图，在ABC 中，AD 是 BC 边上的高，AE 是 BC 边上的中线，C45，sinB ，AD1。1 3（1）求 BC 的长；（2）求 tanDAE 的值。解解析析：（1）先由三角形的高的定义得出ADBADC90，再解 RtADC，得出2DC1；解 RtADB，得出 A

3、B3，根据勾股定理求出 BD，然后根据 BCBDDC 即可求解；（2）先由三角形的中线的定义求出 CE 的值，则 DECECD，然后在 RtADE 中根据正切函数的定义即可求解。答答案案：（1）在ABC 中，AD 是 BC 边上的高，ADBADC90。在ADC 中，ADC90，C45，AD1，DCAD1。在ADB 中，ADB90，sinB ，AD1，AB3，BD2，BCBDDC21；1 3AD sinBAB2AD222（2）AE 是 BC 边上的中线，CE BC ，DECECD ，tanDAE 。1 221 221 2DE AD21 2点拨：点拨：本题考查了三角形的高、中线的定义，勾股定理，解

4、直角三角形等知识点，难度中等，解答这类问题时注意将相关的边和角转化到相应的直角三角形中。解直角三角形时应注意以下问题：（1）在求解有关解直角三角形的问题时，要画出图形，以利于分析解决问题；（2）选择关系式时要尽量利用原始数据，以防止“累积错误” ；（3）遇到不是直角三角形的图形时，要添加适当的辅助线，将其转化为直角三角形后再求解。总之，解直角三角形时，选择恰当的边角关系式尤为重要，恰当的边角关系不仅能使问题迅速解决，而且还会使计算简便、过程简捷，达到事半功倍的效果。解直角三角形的方法遵循“有斜用弦，无斜用切；宁乘勿除，化斜为直”的原则。满分训练满分训练 如图所示，在ABC 中，AD 为A 的平

5、分线，AB3，AC5，BAC120，求 AD 的长。A AB BC CD D35解解析析：要求 AD，需选择适当的三角形使 AD 为其一边，这样才能方便地运用有关知识处理问题，所以本题应考虑将 AD 构造成直角三角形的边。答答案案：设 ADx。AD 是BAC 的平分线，BAC120，1260。SACDSADBSABC，作 DH1AB 于 H1，DH2AC 于 H2，BH3CA，交 CA 延长线于H3，则 DH1DH2ADsin60xsin60，BH33sin60。 5xsin60 3xsin60 53sin60。1 21 21 2解得x，所以角平分线 AD 的长为。15 815 83A AB

6、BC CD D3512H H1H H2H H3点拨：点拨：求钝角或锐角三角形中的边角时，常常作出垂直，构造直角三角形，得到边角之间的关系。（答题时间：）（答题时间：）一、选择题1. ABC 中，a、b、c分别是A、B、C 的对边，如果a2b2c2，那么下列结论正确的是（ ）A. csinAaB. bcosBcC. atanAbD. ctanBb*2. 如图，四边形 ABCD 中，BADADC90，ABAD2，CD，点 P 在四22边形 ABCD 上，若 P 到 BD 的距离为 ，则点 P 的个数为（ ）3 2A. 1B. 2C. 3D. 4 *3. 如图，在 RtABO 中，斜边 AB1。若

7、OCBA，AOC36，则（ ）A. 点 B 到 AO 的距离为 sin54B. 点 B 到 AO 的距离为 tan36C. 点 A 到 OC 的距离为 sin36sin54D. 点 A 到 OC 的距离为 cos36sin54*4. 在矩形 ABCD 中，有一个菱形 BFDE（点 E、F 分别在线段 AB、CD 上），记它们的面积分别为 SABCD和 SBFDE，现给出下列命题：若，则 tanEDF；若SABCD SBFDE23233DE2BDEF，则 DF2AD。则（ ）A. 是真命题，是真命题B. 是真命题，是假命题C. 是假命题，是真命题D. 是假命题，是假命题ABCDEF4二、填空题5

8、. 在ABC 中，ABAC5，sinABC0.8，则 BC_。ABC*6. 如图，在菱形 ABCD 中，DEAB 于点 E，cosA ，BE4，则 tanDBE 的值是3 5_。*7. 在ABC 中，ABAC，AB 的垂直平分线 DE 与 AC 所在的直线相交于点 E，垂足为D，连接 BE。已知 AE5，tanAED ，则 BECE_。3 4*8. 如图所示，在ABC 中，A30，ABAC2，BD 是边 AC 上的高，利用此图可求得 tan15_，BC_。ABCD230三、解答题9. 如图，在 RtABC 中，C90，AB10，sinA ，求 BC 的长和 tanB 的值。2 510. 如图，

9、在ABC 中，ADBC 于点 D，AB8，ABD30，CAD45，求 BC 的长。*11. 如图，在 RtABC 中，ACB90，D 是边 AB 的中点，BECD，垂足为点 E。己知 AC15，cosA 。3 55（1）求线段 CD 的长；（2）求 sinDBE 的值。*12. 如图，已知ABC 是O 的内接三角形，ABAC，点 P 是的中点，连接ABPA、PB、PC。（1）如图，若BPC60，求证：ACAP；3（2）如图，若 sinBPC，求 tanPAB 的值。24 2561. A 解析：a2b2c2，ABC 是直角三角形，且C90。sinA ，则a ccsinAa，故选项 A 正确；co

10、sB ，则ccosBa，故选项 B 错误；tanA ，则a ca bb，故选项 C 错误；tanB ，则atanBb，故选项 D 错误。a tanAb a2. B 解析：过点 A 作 AEBD 于 E，过点 C 作 CFBD 于 F，BADADC90，ABAD2，CD，ABDADB45，CDF90ADB45，22sinABD，AEABsinABD2sin4522 ，所以在 AB 和 ADAE AB22223 2边上有符合 P 到 BD 的距离为 的点 2 个；3 2sinCDF，CFCDsinCDF1 ，所以在边 BC 和 CD 上没有到 BD 的CF CD2223 2距离为 的点。总之，P

11、到 BD 的距离为 的点有 2 个。3 23 23. C 解析：点 B 到 AO 的距离是指 BO 的长，ABOC，BAOAOC36，在RtBOA 中，BOA90，AB1，sin36，BOABsin36sin36，故选项BO ABA 错误；由以上可知，选项 B 错误；过 A 作 ADOC 于 D，则 AD 的长是点 A 到 OC 的距离，BAO36，AOB90，ABO54，sin36，ADAOsin36，AD AOsin54，AOABsin54，又AB1，ADABsin54sin36AO AB1sin54sin36sin54sin36，故选项 C正确；由以上可知，选项 D 错误，故选 C。4.

12、 A 解析：设 CFx，DFy，BCh，则由已知菱形 BFDE 得，BFDFy，由已知得：，化简得： ，即在BFC 中，（xy）h yh232x y32cosBFC ，BFC30。由已知得EDF30，tanEDF，所以CF BFx y3233是真命题。已知菱形 BFDE，DFDE，SDEF DFAD BDEF，又 DE2BDEF（已知）1 21 4，SDEF DE2 DF2，DFAD DF2，DF2AD，所以是真命题。故选：A。1 41 41 25. 6 解析：过点 A 作 ADBC 于 D，ABAC，BDCD，在 RtABD 中，7sinABC0.8，AD50.84，则AD ABBD3，BC

13、BDCD336。AB2AD2ABCD6. 2 解析：四边形 ABCD 是菱形，ADAB，cosA ，BE4，DEAB，设3 5ADAB5x，AE3x，则 5x3x4，x2，即 AD10，AE6，在 RtADE 中，由勾股定理得：DE8，在 RtBDE 中，tanDBE 2。10262DE BE8 47. 6 或 16 解析：若BAC 为锐角，如答图 1 所示：AB 的垂直平分线是DE，AEBE，EDAB，AD AB，AE5，tanAED ，sinAED ，ADAEsi1 23 43 5nAED3，AB6，BECEAECEACAB6；若BAC 为钝角，如答图 2 所示：同理可求得：BECE16。

14、故答案为：6 或 16。8. ； 解析：在ABD 中，BDABsinA2sin3023621，ADABcosA2cos30。所以 CDACADABAD2，所以33tanCBD2，CBDABCABD756015，即 tan15CD BD32。BC2BD2CD284（）2，所以BC。3362629. 解：在 RtABC 中，C90，AB10，sinA ，BC4，根据勾股定BC ABBC 102 5理得：AC2，则 tanB。AB2BC221AC BC221421210. 解：ADBC 于点 D，ADBADC90。在 RtABD 中，AB8，ABD30，ADABsinABD AB4，BDABcosA

15、BDAB4。在1 23238RtADC 中，CAD45，ADC90，DCAD4，BCBDDC44。311. 解：（1）在 RtABC中，cosA，AC15，AB15 25。又点AC ABAC cosA5 3D 是 RtABC 斜边 AB 的中点，CD AB；（2）点 D 是 AB 的中点，ACD、1 225 2BCD 都是等腰三角形，ADCACD，BCDCBD。ADCBDE90DBE，ACD90BCD90CBD，DBECBD。sinDBEsinCBD= 。AC AB15 253 512. 解：（1）BPC60，BAC60，ABAC，ABC 为等边三角形，ACBABC60，APCABC60，而点

16、 P 是的中点，ABACP ACB30，PAC90，tanPCAtan301 2PA AC，ACPA；（2）过 A 点作 ADBC 交 BC 于 D，连接 OP 交 AB 于 E，如图，333ABAC，AD 平分 BC，点 O 在 AD 上，连接 OB，则BODBAC，BPCBAC，sinBODsinBPC，设 OB25x，则24 25BD OBBD24x，OD7x，在 RtABD 中，AD25x7x32x，BD24x，ABOB2BD240x，点 P 是的中点，OP 垂直平分AD2 + BD2ABAB，AE AB20x，AEPAEO90，在 RtAEO 中，1 2OE15x，PEOPOE25x15x10x，在 RtAPE 中，tanPAEAO2AE2PE AE ，即 tanPAB 的值为 。10x 20x1 21 2