2017专题3：根与系数的关系(含答案)703.pdf

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1、专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系 例 1.已知关于 x的方程 mx2-（2m-1）x+m-2=0 （1）当 m取何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）若 x1、x2为方程的两个不等实数根，且满足 x12+x22-x1x2=2，求 m的值 例 2.已知关于 x的方程 x2-4mx+4m2-9=0 （1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个根分别为 x1，x2，其中 x1x2若 2x1=x2+1，求?m的值 例 3已知关于 x的方程 mx2+（4-3m）x+2m-8=0（m0）（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个根分别为 x1、x2（x1x2），

2、若 n=x2-x1-12m，且点 B（m，n）在 x轴上，求 m的值 .例 4.已知关于 x的一元二次方程：x2-2（m+1）x+m2+5=0 有两个不相等的实数根 （1）求 m的取值范围；（2）若原方程的两个实数根为 x1、x2，且满足 x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2，求 m的值 例 5.已知关于 x的方程 x2-（2k+1）x+4（k-12）=0 （1）求证：无论 k取什么实数值，这个方程总有实数根；（2）能否找到一个实数 k，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出 k的值；若不能，请说明理由 （3）当等腰三角形 ABC 的边长 a=4，另两边的长 b、c恰好是这个方程

3、的两根时，求ABC 的周长 训练 1.已知关于 x的方程 mx2-（m+2）x+2=0（m0）（1）求证：方程总有两个实数根；（2）已知方程有两个不相等的实数根，满足1+1=1，求 m的值 2.已知一元二次方程 x2-2x+m=0 （1）若方程有两个实数根，求 m的范围；（2）若方程的两个实数根为 x1和 x2，且 x1+3x2=3，求 m的值 （3）若方程的两个实数根为 x1和 x2，且 x12-x22=0，求 m的值 3.已知关于 x的方程 x2+（m-3）x-m（2m-3）=0 （1）证明：无论 m为何值方程都有两个实数根；（2）是否存在正数 m，使方程的两个实数根的平方和等于 26？若

4、存在，求出满足条件的正数 m的值；若不存在，请说明理由 4.已知关于 x的一元二次方程 x2-6x-k2=0（k为常数）（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设 x1、x2为方程的两个实数根，且 2x1+x2=14，试求出方程的两个实数根和 k的值 5.已知关于 x的方程 x2-（2k-3）x+k2+1=0 有两个不相等的实数根 x1、x2 （1）求 k的取值范围；（2）若 x1、x2满足|x1|+|x2|=2|x1x2|-3，求 k的值 6.已知关于 x的一元二次方程 x2-（m-2）x+12m-3=0 （1）求证：无论 m取什么实数时，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程的

5、两个实数根为 x1，x2，且 2x1+x2=m+1，求 m的值 7.已知关于 x的一元二次方程（a-1）x2-5x+4a-2=0 的一个根为 x=3 （1）求 a的值及方程的另一个根；（2）如果一个等腰三角形（底和腰不相等）的三边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长 8.设 x1，x2是关于 x的一元二次方程 x2+2ax+a2+4a-2=0 的两实根，当a 为何值时，x12+x22有最小值？最小值是多少？专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系 例1.解：（1）方程有两个不相等的实数根，例2.=b2-4ac=-（2m-1）2-4m（m-2）=4m+10，例3.解得：m-14，二次项系数

6、0，m0，例4.当 m-14且 m0 时，方程有两个不相等的实数根；例5.（2）x1、x2为方程的两个不等实数根，例6.x1+x2=21，x1x2=2，例7.x12+x22-x1x2=（x1+x2）2-3x1x2=（21）2-3(2)=2，例8.解得：m1=2+1，m2=-2+1（舍去）；m=2+1 例9.例10.解：（1）=（-4m）2-4（4m2-9）=360，例11.此方程有两个不相等的实数根；例12.（2）x=4362=2m3，例13.x1=2m-3，x2=2m+3，例14.2x1=x2+1，2（2m-3）=2m+3+1，例15.m=5 例16.例17.解：（1）=（4-3m）2-4m

7、（2m-8），例18.=m2+8m+16=（m+4）2 例19.又m0（m+4）20 即0 例20.方程有两个不相等的实数根；例21.（2）方程的两个根分别为 x1、x2（x1x2），例22.x1+x2=-43，x1?x2=28，例23.n=x2-x1-12m，且点 B（m，n）在 x 轴上，例24.x2-x1-12m=(1+2)2421-12m=(43)2428-12m=0，例25.解得：m=-2，m=4，例26.m0，m=4 例27.解：（1）方程 x2-2（m+1）x+m2+5=0 有两个不相等的实数根，例28.=-2（m+1）2-4（m2+5）=8m-160，解得：m2 例29.（2）

8、原方程的两个实数根为 x1、x2，例30.x1+x2=2（m+1），x1?x2=m2+5 例31.m2，例32.x1+x2=2（m+1）0，x1?x2=m2+50，例33.x10、x20 例34.x12+x22=(1+2)2-2x1?x2=|x1|+|x2|+2x1?x2，例35.4（m+1）2-2（m2+5）=2（m+1）+2（m2+5），即 6m-18=0，例36.解得：m=3 例37.例38.证明：（1）=（2k+1）2-16（k-12）=（2k-3）20，例39.方程总有实根；例40.解：（2）两实数根互为相反数，例41.x1+x2=2k+1=0，解得 k=-0.5；例42.（3）当

9、b=c时，则=0，例43.即（2k-3）2=0，k=32，例44.方程可化为 x2-4x+4=0，x1=x2=2，而 b=c=2，b+c=4=a 不适合题意舍去；例45.当 b=a=4，则 42-4（2k+1）+4（k-12）=0，例46.k=52，例47.方程化为 x2-6x+8=0，解得 x1=4，x2=2，例48.c=2，CABC=10，例49.当 c=a=4 时，同理得 b=2，CABC=10，例50.综上所述，ABC 的周长为 10 例51.训练 1.（1）证明：方程 mx2-（m+2）x+2=0（m0）是一元二次方程，=（m+2）2-8m=m2+4m+4-8m=m2-4m+4=（m

10、-2）20，方程总有两个实数根；（2）解：方程有两个不相等的实数根，由根与系数的关系可得+=+2，=2，1+1=1，+22=+22=1，解得 m=0，m0，m 无解 2.解：（1）方程 x2-2x+m=0 有两个实数根，=（-2）2-4m0，解得 m1；（2）由两根关系可知，x1+x2=2，x1?x2=m，解方程组1+2=21+32=3，解得1=322=12，m=x1?x2=3212=34；（3）x12-x22=0，（x1+x2）（x1-x2）=0，x1+x2=20，x1-x2=0，方程 x2-2x+m=0 有两个相等的实数根，=（-2）2-4m=0，解得 m=1 3.（1）证明：关于 x的方

11、程 x2+（m-3）x-m（2m-3）=0 的判别式=（m-3）2+4m（2m-3）=9（m-1）20，无论 m 为何值方程都有两个实数根；（2）解：设方程的两个实数根为 x1、x2，则 x1+x2=-（m-3），x1x2=-m（2m-3），令 x12+x22=26，得：（x1+x2）2-2x1x2=（m-3）2+2m（2m-3）=26，整理，得 5m2-12m-17=0，解这个方程得，m=175或 m=-1，所以存在正数 m=175，使得方程的两个实数根的平方和等于 26 4.（1）证明：在方程 x2-6x-k2=0 中，=（-6）2-41（-k2）=4k2+3636，方程有两个不相等的实数

12、根 （2）解：x1、x2为方程的两个实数根，x1+x2=6，x1?x2=-k2，2x1+x2=14，联立成方程组1+2=621+2=14，解之得：1=82=2，x1?x2=-k2=-16，k=4 5.解：（1）原方程有两个不相等的实数根，=-（2k-3）2-4（k2+1）=4k2-12k+9-4k2-4=-12k+50，解得：k512；（2）k512，x1+x2=2k-30，又x1?x2=k2+10，x10，x20，|x1|+|x2|=-x1-x2=-（x1+x2）=-2k+3，|x1|+|x2|=2|x1x2|-3，-2k+3=2k2+2-3，即 k2+k-2=0，k1=1，k2=-2，又k

13、512，k=-2 6.解：（1）=（m-2）2-4（12m-3）=（m-3）2+30，无论 m 取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）解：x1+x2=m-2，2x1+x2=x1+（x1+x2）=m+1，x1=m+1+2-m=3，把 x1代入方程有：9-3（m-2）+12m-3=0 解得 m=245 7.解：（1）将 x=3 代入方程中，得：9（a-1）-15+4a-2=0，解得：a=2，原方程为 x2-5x+6=（x-2）（x-3）=0，解得：x1=2，x2=3 a的值为 2，方程的另一个根为 x=2 （2）结合（1）可知等腰三角形的腰可以为 2 或 3，C=2+2+3=7 或 C=3+3+2=8 三角形的周长为 8 或 7 8.解：=（2a）2-4（a2+4a-2）0，12 又x1+x2=-2a，x1x2=a2+4a-2 x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=2（a-2）2-4 设 y=2（a-2）2-4，根据二次函数的性质 12 当=12时，x12+x22的值最小 此时12+22=2(12 2)2 4=12，即最小值为12