10.函数中易混易错的十个问题.doc337.pdf

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1、 1 函数中易混易错的十个问题 函数是高中数学的主干知识，在学习中应注意理解有关概念的内涵，甄别易混易错的概念，深入分析函数的性质。下面就几个易混易错的问题举例说明。一、复合函数()f g x的定义域与复合函数的外层函数)(xf的定义域 复合函数()f g x的定义域受函数()f x的定义域的制约，如“已知()f x的定义域为,a b，求()f g x的定义域”是指求满足()ag xb的x的取值范围；而“已知复合函数()f g x的定义域为,a b”就是指bxa，则()f x的定义域为 xg在xba,上的值域 例 1.（1）设函数)(xf的定义域为0,2，求函数)12(xf的定义域：解：由21

2、20 x解得21x 23.从而)12(xf的定义域为23,21.（2）设函数)12(xf)的定义域为0,2，则)(xf的定义域为_.解：)(xf的定义域即|12|xxg在0,2上的值域.由 0 x 2 得-12x-13，从而 0|2x-1|3.所以)(xf的定义域为0,3.练习：1已知函数)(xf的定义域为0，1，值域为1，2，求函数2xf的定义域和值域。答案：-2，-1，1，2 2已知函数)2x2(f的定义域是0，2，求 f（-3x）的定义域 由函数)2x2(f的定义域是0，2，可得2x0，有22x22，故 f（x）的定义域为2，2 二、函数的定义域为 A 与函数在 A 上恒有意义 “函数在

3、 A 上恒有意义”中的 A 是()f x的定义域的一个子集，是不等式恒成立问题；而“函数的定义域为 A”中的 A 是使函数有意义的自变量取值范围。例 2已知函数mxfxx421)(1)若此函数在 1,(上有意义，求m的取值范围.(2)若此函数的定义域为 1,(，求m的取值范围.2 解：（1）因为函数mxfxx421)(在 1,(上有意义，即0421mxx对 1,(x恒成立，xxm)21()41(令xxxu)21()41()(则)(xu在 1,(上单调递增 又43)1(u 43m（2）若函数mxfxx421)(的定义域为 1,(，则1240 xxm的解集 1,(从而有0)21()41(mxx的解

4、为1x 易解得2411)21(mx 即2411log21mx 12411log21m解得43m 练习：已知函数212()log23f xxax，解答下列问题：（1）若函数在1,内有意义，求实数a的取值范围；（2）若函数的定义域为),3()1,(，求实数a的值；解：记222()23()3ug xxaxxaa。（1）“函数在1,内有意义”等价于“()ug x0对1,x 恒成立”，1(1)0ag 或214120aa ，解之得：23a。（2）“函数的定义域为,13,”等价于“不等式2230 xax的解为1x 或3x”121,3xx是方程2230 xax的两根，322121xxaxx则2a 三、函数)(

5、xf的值域为 A 与)(xfA “)(xfA”说明()f x的值域是 A 的一个子集；“函数的值域为 A”中的 A 是()f x的值域，其解法是先求出()f x的值域，与已知值域相同，通过比较系数建立含参数的方程.例 3 已知函数2()426,()f xxaxaxR（1）若()f x的值域为0,)，求a的值；（2）若函数的值均为非负值，求a的取值范围。3 解：（1）=2(4)4(26)0aa 2230aa 312a 或（2）函数的值均为非负值即),0)(xf 3012a 练习：已知函数212()log23f xxax（1）若函数的值域为,1，求实数a的值；（2）若)(xf的值不大于1，求实数a

6、的取值范围。解：（1）由对数函数的性质易得：322axxu的值域为2,又2223)(32aaxaxxu 232 a即1a（2）若)(xf的值不大于1，322axxu的值不小于 2 232 a即11a 四、二次与对数的复合函数的定义域为R与函数的值域为R 上面两个问题建立在函数的定义域与值域不同概念之上，处理的办法是截然不同的，下面结合例题来说明.例 4 已知函数212()log23f xxax，解答下列问题：（1）若函数的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若函数的值域为R，求实数a的取值范围；解：（1）由题意知：对一切xR，0u 恒成立，2min30ua，33a，即实数a的取值范围是：3,

7、3。（2）“函数的值域为R”等价于“()ug x能取遍0,的一切值”，()ug x的判别式22120,33,aa 。练习：已知函数41)1(log)(2xmmxxfa（1）定义域是R，求实数m的取值范围；（2）值域是R，求实数m的取值范围。解：（1）因为函数41)1(log)(2xmmxxfa的定义域是R，故而对任意Rx有 041)1(2xmmx恒成立。4 01.当0m 时，不符合题意；02.当0m 时，由二次函数的性质可得：20(1)0353522mmmm 综上，实数m的取值范围为20(1)0353522mmmm；（2）因为函数41)1(log)(2xmmxxfa的值域是R等价于41)1()

8、(2xmmxxu取遍0,的一切值 01.当0m 时，符合题意；02.当0m 时，0)1(2mm解的253253mm或 综上，实数m的取值范围为253253mm或 五、函数)(xf的单调增（减）区间为 A 与)(xf在区间 A 上为单调增（减）函数 函数在某区间 A 上是增(减)函数，则此区间是函数增(减)区间的子集；函数)(xf的单调增(减)区间为 A，其解法是先求出)(xf的单调增(减)区间，与已知单调增(减)区间相同，通过比较系数建立含参数的方程.例 5（1）函数3)(2axxxg的增区间是),2，求实数a的取值范围。（2）设函数3)(2axxxg在),2 上是增函数，求实数a的取值范围。

9、解：（1）函数3)(2axxxg的增区间是),2，则恰有22a，可知4a（2）函数3)(2axxxg的对称轴为2ax，只需22a，解得4a，即4,(a 练习：1、若函数)(log221aaxxy在区间(,13)上是增函数，求实数a的取值范围。解：令2()ug xxaxa，函数uy21log在定义域上为减函数，2()ug xxaxa在区间(,13)上递减，且满足0u 在区间(,13)上恒成立 5 132(13)0ag，解得22 32a，所以，a的取值范围为22 3,2 2、是否存在实数 a,使函数 f(x)xax(log2a在区间4 ,2上是增函数?如果存在,说明 a可以取哪些值;如果不存在,请

10、说明理由.解：设xax)x(u2,对称轴a21x.(1)当1a 时,1a0)2(u2a21;(2)当1a0时,无解0)4(421ua.综上所述:1a 六、复合函数)(xgf的奇偶性与复合函数的外层函数)(xf的奇偶性 若函数)(axf是偶函数，则)()(axfaxf即函数)(xf的图象关于直线ax 对称；若函数)(axf是奇函数，则)()(axfaxf即)2()(xafxf，也就是函数)(xf的图象关于点)0,(a中心对称；若函数)(xf是偶函数，则)()(axfaxf；若函数)(xf是奇函数，则)()(axfaxf 例 6已知函数)1(xf是偶函数，且1x时，1)(2 xxf，求1x时)(x

11、f的解析式.解析：关键是理解“)1(xf是偶函数”的意义为)1()1(xfxf即函数)(xf的图象关于直线1x对称；然后利用对称性将1x上)(xf的解析式求解转化到1x上的解析式计算.解：设1x，则12 x，由题1)2()2(2xxf，由函数)1(xf是偶函数有)1()1(xfxf即)2()(xfxf 541)2()(22xxxxf 故1x时)(xf的解析式为54)(2xxxf 练习：已知函数)(xf的定义域为R，且)2(xf为偶函数，)4(xf为奇函数，则)(xf是()A奇函数且周期函数 B.奇函数且非周期函数 C偶函数且周期函数 D.偶函数且非周期函数 解析：关键抓住两个已知条件)2(xf

12、为偶函数有)2()2(xfxf即)4()(xfxf 6)4(xf为奇函数”即)8()(xfxf 在中令x为4x得)4()(xfxf，在中令x为4x得)4()4(xfxf，于是)()4()4()(xfxfxfxf，从而)(xf是奇函数.由)()4(xfxf得)()8(xfxf从而知函数)(xf是周期函数 七、方程0)(xf在 A 内有解与方程0)(xf的解在 A 内 方程 f(x)0 在 A 内有解，只要求方程0)(xf在 A 内至少有一解就可以了，并不要求方程的所有解都在 A 内；方程0)(xf的解在 A 内要求方程的所有解均在 A 内.例 7(1)关于x的方程01222mmxx在区间(2,5

13、)内有解，求m的取值范围；(2)关于x的方程01222mmxx的解在区间(2,5)内，求m的取值范围.解：(1)易求得11 mx，12 mx 由题意有512 m或512 m即63 m或41 m，故61 m.(2)由题意有512 m且512 m，解得43 m.练习：1、若关于x 的方程4)lg()lg(2axax的所有解都大于 1，求a的取值范围 解：由原方程可化为，变形整理有 （*），由于方程（*）的根为正根，则 解之得，从而 说明：方程（*）不是关于 的方程，而是关于 的一元二次方程，故求出 的范 围，另外，解得，其中a是真数，不要忽略0a 7 2、已知函数33log)(xxxff(x)=l

14、ogm33xx(1)若)(xf的定义域为，（0），判断)(xf在定义域上的单调性，并加以说明；(2)当10 m时，使)(xf的值域为)1(log),1(logmmmm的定义域区间为,(0)是否存在？请说明理由.命题意图：本题重在考查函数的性质，方程思想的应用.知识依托：函数单调性的定义判断法；单调性的应用；方程根的分布；解不等式组.错解分析：第(1)问中考生易忽视“3”这一关键隐性条件；第(2)问中转化出的方程，不能认清其根的实质特点，为两大于 3 的根.技巧与方法：本题巧就巧在采用了等价转化的方法，借助函数方程思想，巧妙解题.解：（1）033xxx 3 或 x 3.f(x)定义域为,3 设

15、x1x2，有0)3)(3()(6333321212211xxxxxxxx 当 0 m 1 时，f(x)为减函数，当 m 1 时，f(x)为增函数.（2）若 f(x)在,上的值域为logmm(1),logmm(1)0 m 1,f(x)为减函数.)1(log33log)()1(log33log)(mfmfmmmm 即3,0)1(3)12(0)1(3)12(22又mmmmmm 即,为方程 mx2+(2m1)x3(m1)=0的大于 3 的两个根 0)3(3212011616102mfmmmmm 0 m 432 故当 0 m 432时，满足题意条件的 m 存在.八、不等式恒成立与有解 解决不等式恒成立和

16、有解问题的基本策略常常是构造辅助函数，利用函数的单调性、最值（或上、下界）、图象求解；基本方法包括：分类讨论，数形结合，参数分离，变换主元等等。8 不等式恒成立和有解是有明显区别的，以下等价转化应细心思考，甄别差异，恰当使用，切不可混为一团。（1）不等式 f(x)k 在 xI 时恒成立kxf,)(maxxI.或 f(x)的上界小于或等于 k；（2）不等式 f(x)k 在 xI 时恒成立kxf,)(minxI.或 f(x)的下界大于或等于 k；（4）不等式 f(x)k 在 xI 时有解kxf,)(maxxI.或 f(x)的上界大于 k；例 8已知两函数kxxxf168)(2，xxxg45)(2，

17、其中k为实数。（1）对任意 x-3，3，都有 f（x)g(x)成立，求 k 的取值范围；（2）存在 x-3，3，使 f（x)g(x)成立，求 k 的取值范围；（3）对任意 x1、x2-3，3，都有 f（x1)g(x2)，求 k 的取值范围。解：（1）设 h(x)=g(x)-f(x)=-3x2-12x+k，问题转化为 x-3，3时，h(x)0 恒成立 xxk1232对3,3x恒成立，而6312)23(3)123(2max2xx 故63k（2）据题意：存在 x-3，3，使 f（x)g(x)成立，即为 h(x)=g(x)-f(x)0 在 x-3，3有解，xxk1232在3,3上有解，而12)123(

18、min2xx 故12k（3）它与（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意 x1，x2-3，3，都有 f（x1)g(x2)成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，x1，x2的取值在-3，3上具有任意性，因而要使原不等式恒成立的条件是：3,3,)()(minmaxxxgxf 54)52(545)(22xxxxg 54)(minxg 又kxkxxxf8)1(8168)(223,3x.120)3()(maxkfxf 故54.120 k得5604k 练习：1、（1）已知函数3ax)x(f的定义域为),3，求实数 a 的取值范围。（2）已知函数),3x3ax)x(f在上有意义，求实数 a

19、 的取值范围。解：（1）因函数 f（x）的定义域为3，)，即不等式03ax的解集为3，)，有3ax。当 a=0 时，x，不合题意。当 a0 时，a3x|x是不等式03ax的解集，所以3a3，即 a=1 为所求。9 综上可知实数 a 的取值范围是1a|a。（2）由题意知),3x3ax)x(f在上有意义，即不等式),3x03ax在上恒成立。当a0时，不等式),3a3x在上恒成立，令x)x(g，),3x，3)x(gmin，从而3a3，所以1a。当 a=0 时，显然不合题意。当 a2 时，1xa3x|xA或。要使A4,0，显然有 a=2。综上知实数 a 的取值范围是2a|a。解：（2）不等式3ax4a

20、xx2恒成立，即03x4xa)1x(2恒成立。令3x4xa)1x()a(f2，对于任意4,0a，要使0)a(f恒成立，只需min)a(f0 即可。故01x)4(f03x4x)0(f22且，解得3x1x或或 x=1。因此实数 x 的取值范围是1,3)1,(。11 点评：例 12 构造了函数 f（a），它可以是一次函数也可以为常数函数，不必进行讨论。此题为 a 变化时不等式恒成立问题，此时 a 可以看作一个函数的自变量，把 x 看作参变量，通过转换“身份”，使问题得到解决。练习.已知函数32324)(xaxxxf，设关于x的方程3312)(xxxf的两个非零实根为21,xx。试问：是否存在实数m，

21、使得不等式2121xxtmm对任意a 1,1及 1,1t恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由。详细解答见阅读材料（4）含参不等式恒成立问题的化归策略例 6 十、函数yf ax()与yf bx()的图象的对称轴与满足)(xaf)(xbf的函数f x()的对称轴 结论“如果函数yf x()对于定义域内的任意 x 都有f axf bx()()成立，那么函数f x()的图象关于直线xab2对称”阐述的是图象的自对称性，而前面说的是两个函数yf ax()和yf bx()图象的互对称性，这两者是有区别的。设函数yf ax()与yf bx()图象关于直线xm对称，由函数yf ax()求得其图

22、象关于直线xm对称图象对应的函数应为yf amx()2，所以有函数yf amx()2与函数yf bx()为同一函数，即有amxbx()2，从而有mba2，即它们的对称轴为xba2。所以有结论：函数yf ax()的图象与函数yf bx()的图象关于直线xba2对称。例 10判断下列说法的正确性:若函数 f(x)满足 f(1-x)=f(1+x),xR,则函数 f(x)的对称轴为直线 x=1;若函数 f(x)满足 f(1-x)=f(3+x),xR,则函数 f(x)的对称轴为直线 x=2;函数 y=f(1-x)与函数 y=f(1+x)的图像关于直线 x=0 对称;函数 y=f(1-x)与函数 y=f(

23、x-1)的图像关于直线 x=0 对称.解析,是函数的自身的对称问题(自对称),而,是两个函数的对称关系(互对称).现提供对,的一种解释.因为函数f(x)满足f(1-x)=f(3+x),xR,即 f2-(1+x)=f2+(1+x),所以 f(x)关于直线 x=2 对称;因为 y=f(-x)与 y=f(x)关于直线 x=0 对称,而将 y=f(-x)与 y=f(x)分别向右平移 1 个单位得到函数 y=f(1-x)与函数 y=f(x-1)的图像,所以,y=f(-x)与 y=f(x)的对称轴也向右平移了 1 个单位,即得结论.解函数问题经常会用到一些常见结论，想不弄混淆，唯一的解决办法是要知其然，还要知其所以然，这样才能融会贯通。