2020届四川省达州市高三第一次诊断性测试数学(理)试题(解析版)738.pdf

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1、第 1 页 共 19 页 2020 届四川省达州市高三第一次诊断性测试数学（理）试题 一、单选题 1设集合12Axx，1,0,1,2,3B ，则AB（）A1,0,1,2 B0,1,2 C 0,1 D12,3xxx 或【答案】B【解析】直接根据交集的概念进行运算即可.【详解】因为12Axx，1,0,1,2,3B ,所以AB 0,1,2.故选:B【点睛】本题考查了交集的运算,属于基础题.2若向量4,2a，6,bk，则/ab的充要条件是（）A12k B12k C3k D3k 【答案】D【解析】直接根据向量共线的坐标表示即可得到.【详解】因为向量4,2a，6,bk,所以/ab42 60k 3k.故选:

2、D,【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示,充要条件,属于基础题.向量共线的坐标表示应该熟练掌握.3在30名运动员和6名教练员中用分层抽样的方法共抽取n人参加新闻发布会，若抽取的n人中教练员只有1人，则n（）A5 B6 C7 D8【答案】B【解析】先求得抽样比,再用总体中教练员人数乘以抽样比得样本中教练员人数列方程第 2 页 共 19 页 可解得.【详解】依题意可得抽样比为30636nn,所以有6136n,解得6n.故选:B【点睛】本题考查了分层抽样,利用抽样比解决是解题关键,属于基础题.4己知直线a，b，l，平面，下列结论中正确的是（）A若a,b,la,lb，则l B若a,/ba,则/b C若

3、，a，则a D若/,l,则l【答案】D【解析】根据直线与平面垂直,直线与平面平行,平面与平面平行和垂直的的判定,性质逐个分析可得答案.【详解】对于A,根据直线与平面垂直的判定定理,还差直线a与直线b相交这个条件,故A不正确;对于B,直线b也有可能在平面内,故B不正确;对于C,直线a可能在平面内,可能与平面平行,可能与平面相交但不垂直;故C不正确;对于D,在平面内取两条相交直线,m n,则,lm ln,过,m n分别作平面与平面相交于,m n,则/,/mm nn,且,m n必相交,所以,lm ln,所以l,故D正确.故选:D【点睛】本题考查了直线与平面平行,垂直,平面与平面平行,垂直的判定,性质

4、,熟练掌握线面,面面平行与垂直的判定与性质是解题关键,属于基础题.5若0.20.3a，0.1log2b，0.10.3c，则a，b，c的大小关系为（）Acab Bbac Cacb Dbca 第 3 页 共 19 页【答案】A【解析】根据对数的性质可得0b,根据指数函数0.3xy 的单调性可得0ca,由此可得答案.【详解】因为00.11,21,所以0.1log20b,因为00.31,所以指数函数0.3xy 为递减函数,又-0.10.2,所以0.10.20.30.30,即0ca,综上所述,cab.故选:A【点睛】本题考查了利用对数的性质,指数函数的单调性比较大小,属于基础题.6二项式61xx的展开式

5、中，常数项是（）A20 B120 C15 D30【答案】A【解析】写出二项展开式的通项公式后,令x=0,解得3r,再根据通项公式可求得常数项.【详解】因为二项式61xx的展开式的通项公式为6161()rrrrTC xx6 26rrC x(0,1,2,3,4,5,6)r,令620r,解得3r,所以二项式61xx的展开式中的常数项为366 5 4203 2 1C .故选:A【点睛】本题考查了利用二项展开式的通项公式求指定项,利用通项公式是解题关键,属于基础题.7 已知直线3yx 与圆22220 xyxy相交于A，B两点，则AB（）第 4 页 共 19 页 A62 B3 C6 D2【答案】C【解析】

6、由圆的方程可得圆心坐标和半径,根据点到直线的距离求得圆心到直线的距离,根据勾股定理可求得答案.【详解】由22220 xyxy得22(1)(1)2xy,所以圆心为(1,1),半径为2,由3yx 得30 xy,由圆心到直线的距离公式得|1 1 3|221 1,由勾股定理可得22|26(2)()222AB,所以|6AB.故选:C.【点睛】本题考查了根据圆的方程求圆心坐标和半径,点到直线的距离公式,圆中的勾股定理,利用圆中的勾股定理是解题关键.8斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所特有，图一图二是斗拱实物图，图三是斗拱构件之一的“斗”的几何体，本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽（长方体去掉

7、一个小长方体）组成.若棱台两底面面积分别是2400cm，2900cm，高为9cm，长方体形凹槽的体积为34300cm，斗的密度是30.70/g cm.那么这个斗的质量是（）注：台体体积公式是13VSS SS h.A3990g B3010g C7000g D6300g 第 5 页 共 19 页【答案】C【解析】根据台体的体积公式求得台体体积,再加上长方体形凹槽的体积得这个斗的体积,然后乘以这个斗的密度可得这个斗的质量.【详解】根据棱台的体积公式可得棱台的体积为1(400400 900900)9570033cm,所以这个斗的质量为57004300100003cm,所以这个斗的质量为100000.7

8、07000g.故选:C.【点睛】本题考查了棱台的体积公式,属于基础题.9若实数x，y满足0,1,510.xyxy ，则2xy的最大值为（）A2 B0 C7 D9【答案】D【解析】作出可行域,根据斜率关系找到最优解,代入最优解的坐标可得答案.【详解】作出可行域如图所示:令2zxy,将目标函数化为斜截式为2yxz,由图可知最优解为M,联立5101xyy ,得4,1xy,所以(4,1)M,将4,1xy 代入2zxy,得min2 4(1)9z.第 6 页 共 19 页 故选:D【点睛】本题考查了利用线性规划求最值,根据斜率找到最优解是解题关键,属于基础题.10已知函数 212ln2f xaxaxx在区

9、间0,上为增函数，则实数a的取值范围是（）A 0,1 B0,C1,D1,1【答案】B【解析】将问题转化为()0fx,即212axx 在区间(0,)上恒成立,再根据2102xx可得答案.【详解】因为 212ln2f xaxaxx,所以1()2fxaxax,因为函数 212ln2f xaxaxx在区间0,上为增函数,所以120axax,即212axx 在区间(0,)上恒成立,因为222(1)1yxxx在(0,)上递增,所以220 xx,所以2102xx,所以0a.故选:B.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性,考查了不等式恒成立问题,考查了转化划归思想,属于中档题.11已知A是双曲线D：22

10、135yx 右支上一点，B、C分别是双曲线D的左、右焦点。记ABC的内角为A，B，C，当8AC 时，sin2sinBA（）A1 B2 C3 D2 第 7 页 共 19 页【答案】A【解析】根据双曲线方程,8AC 以及双曲线的定义可求出三角形ABC的三边长,然后在三角形ABC 中由余弦定理求出cosB,最后利用二倍角正弦公式和正弦定理可求得答案.【详解】由22135yx 得1,35,ab所以221 356cab,所以12BC 所以22ABACa,所以28210ABAC,所以cos B 222100 14464322 10 124ABBCACAB AC,所以sin2sinBA32 82sincos

11、2cos41sin12BBACBABC.故选:A【点睛】本题考查了由双曲线方程求,a b c,考查了双曲线的定义,考查了余弦定理,考查了正弦定理角化边,属于中档题.12过抛物线C：24yx焦点的直线交该抛物线C于点A，B，与抛物线C的准线交于点P，如图所示，则PA PB的最小值是（）A8 B12 C16 D18【答案】C【解析】设直线AB的方程为(1)yk x与抛物线方程联立,根据韦达定理以及向量的数量积坐标表示求得PA PB,再根据基本不等式可求得最小值.【详解】因为双曲线的焦点(1,0)F,第 8 页 共 19 页 所以设直线AB的方程为(1)yk x,1122(,),(,)A x yB

12、xy,则(1,2)Pk,将(1)yk x代入到24yx,整理得2222(24)0k xkxk,则212222442kxxkk,21221kx xk,所以1212124(1)(1)()2yyk xk xk xxkk,12121 24416164y yxxx x ,所以11221212(1,2)(1,2)(1)(1)(2)(2)PA PBxykxykxxykyk 21212121212()4x xxxy yk yyk 22441 21 424kkkk 222244482488816kkkk,当且仅当2244kk,即1k 时取得等号.故选:C【点睛】本题考查了直线与抛物线相交,韦达定理,向量的数量积

13、的坐标表示,基本不等式等知识,属于中档题.二、填空题 13己知随机变量y与x有相关关系21yx，当3x 时，y的预报值为_.【答案】7【解析】将3x 代入到21yx,即可得到答案.【详解】在21yx中,由3x 得2 3 17y .故答案为:7【点睛】本题考查了线性回归分析,本题属于基础题.第 9 页 共 19 页 14复数32i的实部为_.【答案】65【解析】利用复数的乘除法计算可得答案.【详解】因为32i3(2)6363(2)(2)4 155iiiii,所以复数32i的实部为65.故答案为:65.【点睛】本题考查了复数的乘除法运算以及复数的概念,属于基础题.15 已知函数 2sinf xx0

14、,02图象的相邻两条对称轴的距离为2，且212f，则8f_.【答案】262【解析】根据相邻两条对称轴的距离为2,求出周期,可得,根据212f,可得,再计算可得答案.【详解】因为函数 2sinf xx0,02图象的相邻两条对称轴的距离为2,所以周期22T,所以222T,所以()2sin(2)f xx,由()12f2,得2sin(2)212,得sin()16,又02,所以3,所以()2sin(2)3f xx,所以()2sin(2)883f 第 10 页 共 19 页 2123262(sincoscossin)2()434322222.故答案为:262.【点睛】本题考查了正弦函数的对称轴,周期,两角

15、和的正弦公式,属于中档题.16 f x是定义域为R的偶函数，对xR，都有4f xfx，当02x时，221,01,log1,12xxf xxx，则 9212ff_.【答案】2【解析】先由已知等式和偶函数推出周期为 4,再根据偶函数性质和周期可求得答案.【详解】因为 f x是定义域为R的偶函数,所以4f xfx()f x,所以周期4T,所以129911()()(4)()21212222ffff,2(21)(4 5 1)(1)log 1 11fff ,所以 9212ff21 12 .故答案为:2.【点睛】本题考查了函数的奇偶性,周期性,利用周期将自变量转化为已知范围后,利用分段函数解析式求值是解题关

16、键,本题属于中档题.三、解答题 17如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PD 底面ABCD，点E是PC的中点.第 11 页 共 19 页 （1）求证：/PA平而EDB；（2）若2PDAD，求二而角CEDB的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）33.【解析】(1)连接AC与BD相交于F，连接EF,利用中位线证/EFPA,再根据判定定理证明/PA平而EDB;(2)以D为原点，DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系Dxyz.再根据法向量可求得结果.【详解】（1）证明：连接AC与BD相交于F，连接EF.底面ABCD是正方形，F为AC中点，又E是PC的中点，/EFP

17、A,PA 平面EDB，EF 平面EDB,/PA平面EDB.（2）解：以D为原点，DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系Dxyz.2PDAD，第 12 页 共 19 页 0,0,0D，0,1,1E，2,2,0B.取平面CED的一个法向量11,0,0n.设平面EDB的一个法向量为2,nx y z.由0,1,1DE，2,2,0DB 得 0,220,yzxy 不妨令1z，解得1x，1y ，即21,1,1n，1cosn,122222121 1331111n nnnn.二面角CEDB的余弦值为33【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定定理,找线线平行是解题关键,考查了向量法求二面角,

18、转化为两个平面的法向量求解是解题关键,属于中档题.18我国已进入新时代中国特色社会主义时期，人民生活水平不断提高，某市随机统计了城区若干户市民十月人均生活支出比九月人均生活支出增加量（记为P元）的情况，并根据统计数据制成如下频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图估算P的平均值P；（2）视样本中的频率为概率，现从该市所有住户中随机抽取3次，每次抽取1户，每次抽取相互独立，设为抽出3户中P值不低于65元的户数，求的分布列和期望 E.【答案】（1）48；（2）详见解析.【解析】(1)利用每个矩形的面积乘以该段的中点值,再相加即可得到;第 13 页 共 19 页(2)分析可知30.1B,利用二项分布

19、的分布列和期望可得.【详解】解：（1）P 30 0.01440 0.02650 0.03660 0.01470 0.011048（2）由已知，三次随机抽取为3次独立重复试验，且每次抽取到十月人均生活支出增加不低于65元的的概率为0.1，则30.1B,，330.1 0.9012 3iiiPiCi,.00.729P，10.243P，20.027P，30.001P.的分布列为 0 1 2 3 P 0.729 0.243 0.027 0.001 3 0.10.3E.【点睛】本题考查了利用频率分布直方图求平均值,考查了二项分布的分布列和期望,属于中档题.19己知数列 na满足11a，2121nnnana

20、nn nN.（1）求证：数列1nan为等比数列：（2）求数列 na的前n项和nS.【答案】（1）详见解析；（2）111 222nnn nSn.【解析】(1)在已知等式两边同除以1n n,然后变形为11211nnaann 可证;(2)得到2nnann后,利用分组求和,错位相减法可求得nS.【详解】解：（1）由2121nnnanann两边同除以1n n得 1211nnaann，第 14 页 共 19 页 1122211nnnaaannn.11201a，10nan，11121nnanan，数列1nan是以2为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）有12nnan，2nnann.121 222nS 2

21、1 23nnn 1211 22 222nn nn .令121 2222nnTn，23421 2223 2nT 11 22nnnn，23122222nnnTn 1121 221221 2nnnnn，11 22nnTn.111 222nnn nSn【点睛】本题考查了利用定义证明等比数列,考查了分组求和,考查了错位相减法求和,属于中档题.20已知椭圆C：222210 xyabab过点21,2A，且以1,0Fc，2,0F c0c 为焦点，椭圆C的离心率为22.第 15 页 共 19 页（1）求实数c的值；（2）过左焦点1F的直线l与椭圆C相交于B、D两点，O为坐标原点，问椭圆C上是否存在点P，使线段B

22、D和线段OP相互平分?若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由。【答案】（1）1；（2）存在P使线段BD和OP相互平分，其坐标为21,2，或21,2.【解析】(1)根据椭圆过点,离心率以及222cab,列方程组可得答案;(2)假设存在点P满足题意,设出直线BD的方程,代入椭圆方程,根据韦达定理得到中点坐标,根据线段BD和线段OP相互平分,得到点P的坐标,将点P的坐标代入椭圆方程即可得到答案.【详解】解：（1）椭圆方程为22221xyab（0ab）过点21,2A，221112ab.1,0Fc，2,00F cc 为椭圆C的焦点，椭圆C的离心率为22，22ca，222cab.解得2a，1b，1c.

23、（2）由（1）有椭圆C的方程为2212xy，11,0F.假设存在点P满足题意，且BD和OP相交于点00,Q x y.则00(2,2)Pxy,1202xxx,1202yyy,当直线l与x轴重合时，不满足题意.设直线l的方程为1xty，11,A x y，22,B x y.联立22112xtyxy得222210tyty，12222tyyt，12212y yt.第 16 页 共 19 页 则022tyt，200212txtyt 2212t ，将00(2,2)Pxy代入2212xy有2222284122ttt.解得2t ，21,2P，或21,2P，故存在P使线段BD和OP相互平分，其坐标为21,2，或2

24、1,2.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程,考查了直线与椭圆的交点问题,抓住OP与BD共中点是解题关键,属于中档题.21已知 xf xxm e.（1）当2m 时，求函数 f x在点 0,0f处的切线方程；（2）若函数 f x在区间1,0上有极小值点，且总存在实数m，使函数 f x的极小值与2221meamae互为相反数，求实数a的取值范围.【答案】（1）20 xy；（2）212,2 22eee.【解析】(1)利用导数的几何意义可得切线的斜率,根据点斜式可得切线方程;(2)根据导数求出函数的极小值和极小值点1m,由110m ，01m.,根据极小值与2221meamae互为相反数可得222mmmee

25、aem,再构造函数求 22mmmeeg mem得值域即可得到答案.【详解】解：（1）1xfxxme.当2m 时，2xf xxe，1xfxxe.02f，01f ，所以，函数 f x在点 0,0f处的切线方程为20yx，即20 xy.第 17 页 共 19 页（2）由 1xfxxme得,1xm 时，0fx，1,xm 时，0fx，函数 f x在区间,1m上单调递减，在区间1,m 单调递增，函数 f x的极小值点为1m.由已知110m ，01m.11mf xf me 极小 故在区间0,1上存在m，使得212021mmeameae.222mmmeeaem01m.设 22mmmeeg mem.当01m时，

26、2212 10mmmmeem eg mem，函数 g m在区间0,1上递增，当01m时，01gg mg，即22121eeae，212222eeae，所以，实数a的取值范围是212,2 22eee.【点睛】本题考查了导数的几何意义,函数的极值,利用导数研究函数的单调性,利用单调性解决问题是关键,属于中档题.22在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情.在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线.如图，在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系。图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为1 sin（1 si

27、n,0p ），M为该曲线上的任意一点.第 18 页 共 19 页 （1）当32OM 时，求M点的极坐标；（2）将射线OM绕原点O逆时针旋转2与该曲线相交于点N，求MN的最大值.【答案】（1）3 7,26或3 11,26；（2）21.【解析】(1)将32代入1 sin 解得即可得到答案;(2)由题意可设1,M，2,2N.,将它们代入到1 sin,得到12,再利用勾股定理和三角函数性质可求得答案.【详解】解：（1）设点M在极坐标系中的坐标3,2，由1 sin，得31 sin2，1sin2 02 76或116 所以点M的极坐标为3 7,26或3 11,26（2）由题意可设1,M，2,2N.由1 si

28、n，得11 sin，21 sin1cos2 .2212MN 221 sin1 cos 第 19 页 共 19 页 32 sincos 32 2sin4 故54时，MN的最大值为21.【点睛】本题考查极径的几何意义,三角函数的性质,利用极径的几何意义是解题关键,属于基础题.23己知函数 121f xxx.（1）求不等式 5f xx的解集；（2）若121xx，求证：12123f xxfx.【答案】（1）,13,；（2）详见解析.【解析】(1)分段讨论去绝对值可解得;(2)根据绝对值三角不等式可证.【详解】（1）解：121f xxx 31,1,3,11,31,1.xxxxxx ，当1x时，由 5f xx，得315xx，解得1x .当11x 时，由 5f xx，得35xx ，此时无解.当1x 时，由 5f xx，得315xx，解得3x.综上所述，5f xx的解集为,13,.（2）证明：121xx，1212f xxfx1212121xxxx 22212 21xx 122121xxx 1222121xxx 1233xx.【点睛】本题考查了分类讨论去绝对值解绝对值不等式,考查了绝对值三角不等式,属于基础题.