大学物理运动学.ppt

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1、广东工业大学物理与光电工程学院物理与光电工程学院范仰才 2007.2.补充内容补充内容 矢量及其运算矢量及其运算1、两类物理量两类物理量直角坐标系直角坐标系x、y、z正向单位矢用正向单位矢用 表示表示 2 2、矢量的表示、矢量的表示的单位矢的单位矢，,矢量矢量 写成写成 如如:标量标量 用数字和单位就可表示的量用数字和单位就可表示的量矢量矢量 有大小又有方向的量有大小又有方向的量书写书写 字母上加箭头字母上加箭头 印刷印刷 用黑体字用黑体字单位矢量单位矢量 模（或数值）为模（或数值）为1 1的矢量的矢量图形表示图形表示 用一有向线段表示矢量用一有向线段表示矢量自然坐标中切向和法向单位矢用自然坐

2、标中切向和法向单位矢用 表示表示 线段长度表示矢量的大小，箭头指向表示矢量的方向。线段长度表示矢量的大小，箭头指向表示矢量的方向。矢量相减矢量相减四、矢量的分解 平行四边形法平行四边形法:平面矢量的分解平面矢量的分解三、矢量的合成三、矢量的合成 作图法作图法 正交分解正交分解空间矢量的分解空间矢量的分解 的大小的方向的大小 五、矢量的运算五、矢量的运算1.1.两矢量的和与差两矢量的和与差2.2.两矢量点乘两矢量点乘(标积）标积）性质：性质：已知已知:，结果为一标量结果为一标量。是 与 的夹角定义定义:单位矢量的点乘单位矢量的点乘 标积的坐标分量式标积的坐标分量式 3、两矢量叉乘（矢积）、两矢量

3、叉乘（矢积）的大小 结果为一矢量。令该矢量结果为一矢量。令该矢量为为 ，的方向垂直的方向垂直 与与 构成的平面，构成的平面，指向由右手螺旋法则确定指向由右手螺旋法则确定 性质：性质：单位矢量的叉乘单位矢量的叉乘矢量叉乘可以写成行列式矢量叉乘可以写成行列式 六、矢量的微商和积分（略）矢积的坐标分量式矢积的坐标分量式第一章第一章 质点运动学质点运动学一一、质点、质点 参考系参考系 坐标系坐标系1.质点质点两种可以把物体看作质点来处理的情况两种可以把物体看作质点来处理的情况:作平动的物体，可以被看作质点。作平动的物体，可以被看作质点。两相互作用着的物体，如果它们之间的两相互作用着的物体，如果它们之间

4、的 距离远距离远大于本身的线度，可以把这两物体看作质点。大于本身的线度，可以把这两物体看作质点。1-1 1-1 质点运动的描述之一质点运动的描述之一 实际问题中，当物体的形状和大小对研究不起作用或实际问题中，当物体的形状和大小对研究不起作用或所起的作用可忽略时，就可把物体当作质点来处理。所起的作用可忽略时，就可把物体当作质点来处理。实际物体的理想化模型实际物体的理想化模型，有质量无形状和大小的几何点，有质量无形状和大小的几何点.2.参考系和坐标系参考系和坐标系 描述物体运动具有相对性描述物体运动具有相对性定量描述物体的空间位置而设置的坐标系统定量描述物体的空间位置而设置的坐标系统 物体运动具有

5、绝对性物体运动具有绝对性参考系：参考系：为描述物体的运动而选取的参考物体为描述物体的运动而选取的参考物体坐标系：坐标系：常用坐标系：常用坐标系：直角坐标系直角坐标系（x,y,z)；自然坐标系自然坐标系(s)(1)(1)运动学中参考系可任选。运动学中参考系可任选。说明说明(2)参照物选定后，坐标系可任选。参照物选定后，坐标系可任选。二、描述质点运动的物理量二、描述质点运动的物理量位矢的坐标分量式位矢的坐标分量式位矢的大小位矢的大小位矢的方向位矢的方向 从坐标原点从坐标原点o o指向质点所在位指向质点所在位置置P P 的一有向线段的一有向线段1.1.位置矢量（位矢）位置矢量（位矢）zyxoP(x,

6、y,z)矢量形式矢量形式参数形式参数形式轨道方程x xo oz zy y2.运动方程运动方程位置坐标随时间变化位置坐标随时间变化 的函数关系的函数关系运动方程中消去时间运动方程中消去时间t t 得到得到3.位移位移zyxoBA位移是矢量位移是矢量t时间内质点通过的时间内质点通过的路程路程是是ABAB弧的长度弧的长度路程是标量路程是标量 设质点作曲线运动设质点作曲线运动,t t 时刻在时刻在A点，位矢为点，位矢为 ，弧长弧长 时刻位于时刻位于B B点，位矢为点，位矢为位移：位移：路程：路程：t 时间内，位矢的变化量（即时间内，位矢的变化量（即A到到B的有向线段），用的有向线段），用 表示。表示。

7、注意注意在直角坐标系中在直角坐标系中位移的大小位移的大小zyxoBA4.速度速度(1)平均速度平均速度BAozyx定义定义:(3)平均速度的大小平均速度的大小(1)是矢量是矢量,方向与方向与 相同相同(2)与时间间隔与时间间隔 t t有关有关(4)平均速率平均速率注意注意描述质点运动快慢的物理量(2)瞬时速度瞬时速度ozyxAB定义:是矢量是矢量,的方向为轨道上质的方向为轨道上质点所在处的切线方向点所在处的切线方向。速度的坐标分量式速度的坐标分量式速度的三个分量：速度的三个分量：速度的三个分量：速度的三个分量：速度的大小：速度的大小：速度的大小：速度的大小：(速率速率速率速率)(3)速率速率

8、sBA平均速率:瞬时速率：瞬时速率：瞬时速率：瞬时速率：一般情况：一般情况：当当 t0时：时：5.加速度加速度反映速度变化快慢的物理量反映速度变化快慢的物理量t 时刻，质点速度为时刻，质点速度为 t t时间内，速度增量为：时间内，速度增量为：定义定义定义定义:平均加速度平均加速度平均加速度平均加速度平均加速度的方向与平均加速度的方向与速度增量速度增量的方向一致的方向一致xozy 时刻，质点速度为时刻，质点速度为定义定义:瞬时加速度：瞬时加速度：瞬时加速度：瞬时加速度：加速度的直角坐标分量式加速度的直角坐标分量式加速度的大小加速度的大小加速度的大小加速度的大小：加速度的方向：加速度的方向：加速度

9、的方向：加速度的方向：当当 t t 趋向零时，速度增量趋向零时，速度增量 的极限方向的极限方向;在曲在曲线运动中线运动中,加速度的方向总是指向曲线凹的一侧加速度的方向总是指向曲线凹的一侧.加速度的三个分量加速度的三个分量例例1 1已知质点运动方程已知质点运动方程求求:(1):(1)轨迹轨迹;(2);(2)第第1 1秒内的位移秒内的位移;(3);(3)t=0=0和和t=1=1秒两时刻的速度和加速度秒两时刻的速度和加速度.解：解：(2)(1)(3)三、三、三、三、运动学的运动学的两类两类问题问题问题问题1、已知运动方程，求质点任意时刻的位置、速度以及加速度、已知运动方程，求质点任意时刻的位置、速度

10、以及加速度已知运动方程矢量式已知运动方程矢量式:已知运动方程分量式已知运动方程分量式:结果表示成结果表示成:2、已知质点的加速度函数及初始条件、已知质点的加速度函数及初始条件,求质点的速度及运动求质点的速度及运动方程方程积分积分在一维情况下可能遇到三种类型在一维情况下可能遇到三种类型:初始条件初始条件:t=t0(=0)时刻的速度和位置，即和时刻的速度和位置，即和(1)已知已知 a=常常,或或a=a(t)，求，求 及及(2)已知已知 ，求，求(3)已知已知 ，求，求 例例例例2 2 2 2 已知质点的运动方程已知质点的运动方程求：求：求：求：（1 1）轨道方程；（）轨道方程；（2 2）t=2t=

11、2秒时质点的位置、速度以及秒时质点的位置、速度以及加速度；（加速度；（3 3）什么时候位矢恰好与速度矢垂直？）什么时候位矢恰好与速度矢垂直？解：解：解：解：（1）消去时间参数得消去时间参数得（2）方向沿方向沿y轴的负方向轴的负方向（3）两矢量垂直两矢量垂直解：解：解：解：两边积分：两边积分：例例3 3 已知质点沿已知质点沿x轴运动轴运动,加速度加速度 a=常量常量,t=0,t=0时时,，.求求 及及 .又又两边再积分：两边再积分：证：证：证：证：两边积分：两边积分：例例4 4 一质点从坐标原点沿一质点从坐标原点沿x轴运动轴运动,初速为初速为 ,加速度为加速度为 。证明质点的速度。证明质点的速度

12、 与位移与位移 有关系有关系 两边积分：两边积分：例例5 一质点从坐标原点静止开始沿一质点从坐标原点静止开始沿x轴运动轴运动,加速度加速度 。求质点的速度与位移的关系。求质点的速度与位移的关系.解解：以轨迹上任以轨迹上任 一点一点o o作为坐标作为坐标的原点的原点,轨迹曲线为坐标轴建立轨迹曲线为坐标轴建立的坐标系称为的坐标系称为自然坐标系自然坐标系。切向坐标轴沿质点前进方向的切向为正，单位矢量为切向坐标轴沿质点前进方向的切向为正，单位矢量为法向坐标轴沿轨迹的法向凹侧为正，单位矢量为法向坐标轴沿轨迹的法向凹侧为正，单位矢量为规定：规定：规定：规定：soPQ s 一、一、自然坐标系中的速度和加速度

13、自然坐标系中的速度和加速度 坐标轴的方向分别取切线坐标轴的方向分别取切线和法线两正交方向。和法线两正交方向。1.1.自然坐标系自然坐标系1-2 1-2 质点运动的描述之二质点运动的描述之二.速度和速率速度和速率速度：速度：速率：速率：注意注意:在自然坐标系中在自然坐标系中,单位矢量的方向随时间变化单位矢量的方向随时间变化.法向加速度和切向加速度法向加速度和切向加速度设：设：设：设：一质点作一般曲线运动一质点作一般曲线运动t t 时刻位于时刻位于 点，速度为点，速度为经过经过 t t 时间位于时间位于 点，速度为点，速度为速度增量：速度增量：平均加速度：平均加速度：平均加速度：平均加速度：瞬时加

14、速度：瞬时加速度：瞬时加速度：瞬时加速度：s 加速度：加速度：加速度：加速度：右边第一项称为右边第一项称为切向加速度切向加速度切向加速度切向加速度，用，用 表示表示 切向加速度反映速度大小的变化切向加速度反映速度大小的变化 其方向沿轨道切线方向其方向沿轨道切线方向其中：其中：法向加速度法向加速度右边第二项称为右边第二项称为右边第二项称为右边第二项称为法向加速度法向加速度法向加速度法向加速度,用用用用 表示表示表示表示 沿法线方向，指向曲率中心。沿法线方向，指向曲率中心。的方向的大小全加速度：全加速度：全加速度：全加速度：全加速度的大小：全加速度的大小：全加速度的大小：全加速度的大小：全加速度的

15、方向：全加速度的方向：全加速度的方向：全加速度的方向：例：例：物体作斜抛运动物体作斜抛运动,测得测得A A点的速度为点的速度为 ,方向如图所示方向如图所示.则则A A点的点的 和曲率半径和曲率半径 各为多少各为多少?解解:由图有由图有二、二、圆周运动圆周运动圆周运动是一般曲线运动的一个特例，曲率半径恒为圆周运动是一般曲线运动的一个特例，曲率半径恒为R。1.圆周运动的圆周运动的角量角量描述描述 sxoA RB(1)角位置角位置 角位移角位移角位移角位移规定：规定：规定：规定：逆时针转向逆时针转向为正为正,顺时针转向顺时针转向为负为负(2)(2)角速度角速度角速度角速度 角位置角位置 ：质点所在的

16、位矢质点所在的位矢 与与X X轴正轴正向的夹角向的夹角,单位是单位是弧度弧度 rad。角位移角位移角位移角位移:质点从质点从A A到到B B位矢位矢 转过的角度转过的角度,单位是单位是弧度弧度 rad.rad.3.3.匀速圆周运动：匀速圆周运动：匀速圆周运动：匀速圆周运动：(3)(3)(3)(3)角加速度角加速度角加速度角加速度b b b b4.4.一般变速圆周运动：一般变速圆周运动：一般变速圆周运动：一般变速圆周运动：2.线量与角量的关系线量与角量的关系用角量表示匀加速圆周运动的基本公式：用角量表示匀加速圆周运动的基本公式：用角量表示匀加速圆周运动的基本公式：用角量表示匀加速圆周运动的基本公

17、式：变速圆周运动的总加速度变速圆周运动的总加速度总加速度的大小总加速度的大小例例例例1 1、半径为半径为r=0.2m的飞轮，可绕的飞轮，可绕o轴转动。已知轮缘轴转动。已知轮缘上一点上一点M的运动方程为的运动方程为=-t2+4t，求在，求在1秒时刻秒时刻M点的速度点的速度和加速度。和加速度。解：解：解：解：oxM例例例例2 2 2 2、一质点沿半径为一质点沿半径为R的圆周运动，其路程的圆周运动，其路程s随时间随时间t的变的变化规律为化规律为 ，式中，式中b，c为大于零的常数，为大于零的常数，且且 。求（。求（1）质点的切向加速度和法向加速度。）质点的切向加速度和法向加速度。（2）经过多长时间，切

18、向加速度等于法向加速度。）经过多长时间，切向加速度等于法向加速度。解：解：解：解：（1 1）（2 2）讨论思考题讨论思考题1.1.设质点的运动方程为设质点的运动方程为 ,在计算质点的速在计算质点的速度和加速度时度和加速度时,有人先求出有人先求出 ,然后根据然后根据 求得结果求得结果;又有人先计算速度和加速度的分量又有人先计算速度和加速度的分量,再合成而求再合成而求得结果得结果,即即你认为哪一种方法正确你认为哪一种方法正确?为什么为什么?两者的差别何在两者的差别何在?后一种解法正确。因为根据速度的定义式 ,速度的大小，即速率；加速度的定义式是；加速度的大小。一般，只是径向速度，即由质点相对于原点

19、距离的，是v沿径向的分量大小。同理，速度大小的变化，只是切向加速度。变化引起只反映答案：答案：2.在离水面为在离水面为h米的岸边米的岸边,有人用绳拉船靠岸，船在有人用绳拉船靠岸，船在离岸边离岸边 s 米处，当人以米处，当人以 的速率收绳时，试求船的的速率收绳时，试求船的速度、加速度的大小各为多少？速度、加速度的大小各为多少？解一：解一：收绳速率收绳速率船速船速则：则：船速：船速：船的加速度：船的加速度：解二：解二：收绳的速率收绳的速率 ，即是径向速率。，即是径向速率。船的位移，由矢径船的位移，由矢径 的大小变化及方向变化引起。的大小变化及方向变化引起。其中：其中：所以船速：所以船速：作业：作业：质点运动学质点运动学p1-5页页第一次第一次 4,8,10，18第二次第二次 5,12,17,20