多元微积分基础.ppt

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1、高等数学高等数学（下）（下）1硕士研究生入学统考数学试卷分为四种：硕士研究生入学统考数学试卷分为四种：工学：工学：数学一、数学二数学一、数学二经济学和管理学：经济学和管理学：数学三、数学四数学三、数学四l数学一：数学一：高等数学，线性代数，概率论与数理统计高等数学，线性代数，概率论与数理统计l数学二：数学二：高等数学，线性代数高等数学，线性代数l数学三：数学三：微积分，线性代数，概率论与数理统计微积分，线性代数，概率论与数理统计l数学四：数学四：微积分，线性代数，概率论微积分，线性代数，概率论数学一内容比例：数学一内容比例：高等数学高等数学 约约56%线性代数线性代数 约约22%概率论与数理统

2、计概率论与数理统计 约约22%2第八章第八章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念第二节第二节 偏导数偏导数第三节第三节 全微分及其应用全微分及其应用第四节第四节 多元复合函数的求导法多元复合函数的求导法第五节第五节 隐函数的求导公式隐函数的求导公式第六节第六节 微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用第七节第七节 方向导数与梯度方向导数与梯度第八节第八节 多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法3第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念一区域一区域一区域一区域称为称为点点 的的 去心邻域去心邻域.若不需要强调邻域半径若不

3、需要强调邻域半径用用表示点表示点的的邻域。邻域。1.邻域邻域:即即称为称为点点的的 邻域邻域。设设为为面上一定点面上一定点,42 2区域区域开集开集：若点集若点集的点都是内点的点都是内点,则称点集则称点集为为开集开集.边界边界：边界点的全体称为边界点的全体称为的的边界边界.是平面上一点，是平面上一点，若存在若存在设设是平面上一个点集是平面上一个点集,称点称点为点集为点集的的内点内点。内点内点：显然内点显然内点 例如例如是开集。是开集。的边界是圆周：的边界是圆周：和和边界点边界点：称称为为的的边界点边界点.若点若点的任一邻域内既有属于的任一邻域内既有属于的点的点,也有不属于也有不属于的点的点,5

4、连通连通：设设是开集，是开集，若对若对内任意两点，内任意两点，都可用包含于都可用包含于 内的内的折线连结起来折线连结起来,则称则称是是连通的连通的。区域区域或或开区域开区域：连通的开集连通的开集称为称为区域区域或或开区域开区域.为区域或开区域为区域或开区域开区域连同它的边界一起，开区域连同它的边界一起，闭区域闭区域：称为称为闭区域闭区域。为闭区域。为闭区域。及及D D不连通不连通不连通不连通开区域开区域开区域开区域闭区域闭区域闭区域闭区域63.维空间维空间有界的闭区域。有界的闭区域。例如例如,无界的开区域。无界的开区域。有界点集与无界点集有界点集与无界点集：对于点集对于点集若若使得使得与某一定

5、点与某一定点间的距离间的距离则称则称为为有界点集有界点集，否则称为否则称为无界点集无界点集。有界的开区域。有界的开区域。无界的闭区域。无界的闭区域。数轴上：数轴上：点点实数实数平面上：平面上：点点空间中：空间中：点点7设设 为取定的一个自然数，为取定的一个自然数，的全体为的全体为维空间维空间。称称元有序数组元有序数组维空间维空间：数数称为该点的称为该点的第第个坐标个坐标维空间记为维空间记为称为称为 维空间中的一个点。维空间中的一个点。维空间中的两点维空间中的两点及及间间的距离为的距离为设设维空间中点集维空间中点集则则为点为点的的邻域。邻域。相应的可以定义点集的内点、边界点、区域等概念。相应的可

6、以定义点集的内点、边界点、区域等概念。8二多元函数的概念二多元函数的概念二多元函数的概念二多元函数的概念 例如：圆柱体的体积例如：圆柱体的体积 长方体的体积长方体的体积类似可定义三元、四元函数，类似可定义三元、四元函数，二元以上的函数称为二元以上的函数称为多元函数多元函数 记为记为定义定义 设设是平面上一点集，是平面上一点集，若对若对内每一点内每一点变量变量按照一定法则总有确定的值与之对应，按照一定法则总有确定的值与之对应，则称则称是变量是变量的的二元二元函数函数（或点（或点的函数），的函数），点集点集为其为其定义域定义域为其为其自变量自变量，也称为也称为因变量因变量数集数集称为该函数的称为该

7、函数的值域值域。（或（或）9例求下列函数的定义域：例求下列函数的定义域：解解(1)()()10二元函数的几何意义：二元函数的几何意义：在几何上表示在几何上表示空间曲面空间曲面.如如,平面平面;上半球面上半球面;旋转抛物面旋转抛物面;上半锥面上半锥面;11三多元函数的极限三多元函数的极限三多元函数的极限三多元函数的极限 定义定义2 2若对若对 当当时时,恒有恒有 成立成立.记作记作 或或 设函数设函数 在区域在区域内有定义内有定义,是是 的的内点或边界点内点或边界点。则称常数则称常数 当当时的极限时的极限,为为 二元函数的极限称为二元函数的极限称为二重极限二重极限。注：注：1、2二元函数的极限概

8、念可以推广到二元函数的极限概念可以推广到 元函数（自己推）。元函数（自己推）。12例例2设设 求证求证 证证对对当当时时,恒有恒有 成立成立,所以所以 取取要使要使 分析分析分析分析:只要证只要证 对对 使得使得 当当时时,成立成立,13例例3证明证明 证证对对成立成立.取取所以所以 当当时时,14例例4.讨论讨论 是否存在是否存在?解解极限值与极限值与 有关，有关，当点当点 沿直线沿直线 时，时，趋于点趋于点 所以所以 不存在不存在 二重极限的存在，二重极限的存在，时，时，函数值都接近于函数值都接近于 注：注：反之，反之，当当 以不同方式趋于以不同方式趋于 时，时，函数值函数值 趋于不同的值

9、，趋于不同的值，则则函数的极限不存在函数的极限不存在。以任何方式趋于以任何方式趋于 是指是指 15例求极限例求极限 解解例例6求极限求极限 解解注：注：注：注：多元函数的极限运算，多元函数的极限运算，有与一元函数类似的运算法有与一元函数类似的运算法则。夹逼准则，重要极限都则。夹逼准则，重要极限都可以应用于多元函数的极限可以应用于多元函数的极限运算。运算。16四多元函数的连续性四多元函数的连续性四多元函数的连续性四多元函数的连续性 若函数若函数 在点在点 处不连续，处不连续，则称点则称点 为为 的的间断点间断点 则称函数则称函数 若函数若函数 内每一点连续，内每一点连续，在区域在区域 在在 内连

10、续，内连续，或称或称 内的连续函数。内的连续函数。是是 定义定义 若若 则称函数则称函数 在点在点 处连续处连续 设函数设函数 在区域在区域 内有定义内有定义,是是 的的内点或边界点内点或边界点,且且 间断点间断点 (1)无定义的点无定义的点 17例如，函数例如，函数 间断点为：间断点为：所以，点所以，点 是函数的间断点。是函数的间断点。再如，函数再如，函数 （孤立点）（孤立点）（函数无定义的点）（函数无定义的点）(极限不存在极限不存在)（曲线）曲线）18在在有界闭区域有界闭区域上上多元连续函数多元连续函数具有性质：具有性质：性质性质（最大值和最小值定理）（最大值和最小值定理）在有界闭区域在有

11、界闭区域 上的连续函数，上的连续函数，一定能够取得最大值和最小值。一定能够取得最大值和最小值。性质性质（介值定理）（介值定理）在有界闭区域在有界闭区域 上的连续函数上的连续函数 ，一定能够一定能够 取得介于最大值和最小值之间的任何数值。取得介于最大值和最小值之间的任何数值。多元初等函数多元初等函数（能用一个式子表示的函数）（能用一个式子表示的函数）在其在其定义区域定义区域 内连续。内连续。设函数设函数 为多元初等函数，其定义域为为多元初等函数，其定义域为 且且 E为一区域或闭区域，则为一区域或闭区域，则 说明：说明：说明：说明：定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。19例例7求下列极限：求下列极限：解解20小结：小结：1.平面点集平面点集：邻域、内点、开集、边界点、连通、：邻域、内点、开集、边界点、连通、区域（开区域）、闭区域、有界点集、无界点集、区域（开区域）、闭区域、有界点集、无界点集、2.多元函数的定义多元函数的定义、二元函数的定义、二元函数的定义 3.二重极限二重极限的定义的定义，计算，计算 4.二元函数的连续性定义、间断点二元函数的连续性定义、间断点 5.有界闭区域上多元连续函数的性质有界闭区域上多元连续函数的性质 维空间维空间21