多元函数微分学(IV).ppt

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1、 第八章第八章*二、全微分在数值计算中的应用二、全微分在数值计算中的应用 应用应用 第三节第三节一元函数一元函数 y=f(x)的微分的微分近似计算近似计算估计误差估计误差机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 本节内容本节内容:一、全微分的定义一、全微分的定义 全微分全微分一、全微分的定义一、全微分的定义 定义定义:如果函数如果函数 z=f (x,y)在定义域在定义域 D 的内点的内点(x,y)可表示成可表示成其中其中 A,B 不依赖于不依赖于 x,y,仅与仅与 x,y 有关，有关，称为函数称为函数在点在点(x,y)的的全微分全微分,记作记作若函数在域若函数在域 D 内各点

2、都可微内各点都可微,则称函数则称函数 f(x,y)在点在点(x,y)可微可微，机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 处全增量处全增量则称此函数则称此函数在在D 内可微内可微.(2)偏导数连续偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1)函数可微函数可微函数函数 z=f(x,y)在点在点(x,y)可可微微由微分定义由微分定义:得得函数在该点连续函数在该点连续机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 偏导数存在偏导数存在 函数可微函数可微 即即定理定理1 1(必要条件必要条件)若函数若函数 z=f(x,y)在点在点

3、(x,y)可可微微,则该函数在该点偏导数则该函数在该点偏导数同样可证同样可证证证:由全增量公式由全增量公式必存在必存在,且有且有得到对得到对 x 的偏增量的偏增量因此有因此有 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 反例反例:函数函数易知易知 但但因此因此,函数在点函数在点(0,0)不可微不可微.注意注意:定理定理1 的逆定理不成立的逆定理不成立.偏导数存在函数偏导数存在函数 不一定可微不一定可微 !即即:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定理定理2(充分充分条件条件)证：证：若函数若函数的偏导数的偏导数则函数在该点则函数在该点可微分可微分.机动机

4、动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 所以函数所以函数在点在点可微可微.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 注意到注意到,故有故有推广推广:类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如例如,三元函数三元函数习惯上把自变量的增量用微分表示习惯上把自变量的增量用微分表示,记作记作故有下述叠加原理故有下述叠加原理称为称为偏微分偏微分.的全微分为的全微分为于是于是机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例1.计算函数计算函数在点在点(2,1)处的全微分处的全微分.解解:例例2.计算函数计算函数的全微

5、分的全微分.解解:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 可知当可知当*二、全微分在数值计算中的应用二、全微分在数值计算中的应用1.近似计算近似计算由全微分定义由全微分定义较小时较小时,及及有近似等式有近似等式:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (可用于近似计算可用于近似计算;误差分析误差分析)(可用于近似计算可用于近似计算)半径由半径由 20cm 增大增大解解:已知已知即受压后圆柱体体积减少了即受压后圆柱体体积减少了 例例3.有一圆柱体受压后发生形变有一圆柱体受压后发生形变,到到 20.05cm,则则 高度由高度由100cm 减少到减少到 99c

6、m,体积的近似改变量体积的近似改变量.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 求此圆柱体求此圆柱体例例4.4.计算计算的近似值的近似值.解解:设设,则则取取则则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 分别表示分别表示 x,y,z 的绝对误差界的绝对误差界,2.误差估计误差估计利用利用令令z 的绝对误差界约为的绝对误差界约为z 的相对误差界约为的相对误差界约为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 则则特别注意特别注意类似可以推广到三元及三元以上的情形类似可以推广到三元及三元以上的情形.乘除后的结果相对误差变大乘除后的结果相对误差变大很

7、小的数不能做除数很小的数不能做除数机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例5.利用公式利用公式求计算面积时的绝对误差与相对误差求计算面积时的绝对误差与相对误差.解：解：故绝对误差约为故绝对误差约为又又所以所以 S 的相对误差约为的相对误差约为计算三角形面积计算三角形面积.现测得现测得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例6.6.在直流电路中在直流电路中,测得电压测得电压 U=24 伏伏,解解:由欧姆定律可知由欧姆定律可知(欧欧)所以所以 R 的相对误差约为的相对误差约为0.3 +0.5 R 的绝对误差约为的绝对误差约为0.8 0.3;定律计算电

8、阻定律计算电阻 R 时产生的相对误差和绝对误差时产生的相对误差和绝对误差.相对误差为相对误差为 测得电流测得电流 I=6安安,相对误差为相对误差为 0.5 ,=0.032(欧欧)=0.8 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 求用欧姆求用欧姆内容小结内容小结1.微分定义微分定义:2.重要关系重要关系:函数可导函数可导函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函数连续函数连续机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3.微分应用微分应用 近似计算近似计算 估计误差估计误差绝对误差绝对误差相对误差相对误差机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束

9、思考与练习思考与练习函数函数在在可微的充分条件是可微的充分条件是()的某邻域内存在的某邻域内存在;时是无穷小量时是无穷小量;时是无穷小量时是无穷小量.1.选择题选择题机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2.设设解解:利用轮换对称性利用轮换对称性,可得可得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (L.P245 例例2)注意注意:x,y,z 具有具有 轮换对称性轮换对称性 答案答案:3.已知已知第四节 目录 上页 下页 返回 结束 在点在点(0,0)可微可微.备用题备用题在点在点(0,0)连续且偏导数存在连续且偏导数存在,续续,证证:1)因因故函数在点故函数在点(0,0)连续连续;但偏导数在点但偏导数在点(0,0)不连不连 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证明函数证明函数所以所以同理同理极限不存在极限不存在,在点在点(0,0)不连续不连续;同理同理,在点在点(0,0)也不连也不连续续.2)3)题目题目 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 4)下面证明下面证明可微可微:说明说明:此题表明此题表明,偏导数连续只是可微的充分条件偏导数连续只是可微的充分条件.令令则则题目题目 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束