定积分的换元法与分部积分法(IV).ppt

《定积分的换元法与分部积分法(IV).ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《定积分的换元法与分部积分法(IV).ppt（23页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、上页下页铃结束返回首页第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学 第六节第六节 定积分的换元法与分部积分法定积分的换元法与分部积分法主要内容：主要内容：一、定积分的换元法一、定积分的换元法二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法1上页下页铃结束返回首页一、定积分的换元法 不定积分中有不定积分中有换元积分法换元积分法,而牛顿而牛顿莱布尼茨公式说莱布尼茨公式说明定积分的计算可以直接利用原函数来计算相应定积分明定积分的计算可以直接利用原函数来计算相应定积分,下面的例子说明引入定积分相应的积分方法的必要性下面的例子说明引入定积分相应的积分方法的必要性.2上页下页铃结束返回首页例例1 求积分求积分解

2、解 首先求出函数首先求出函数 的原函数的原函数.由积分方法由积分方法,对积分做三角代换对积分做三角代换则则于是于是 3上页下页铃结束返回首页因此因此如果在换元的同时如果在换元的同时,我们将上下限按我们将上下限按替换替换成成 的上下限的上下限,即即及及则则4上页下页铃结束返回首页可以看到这样的做法大大简化了原有的计算可以看到这样的做法大大简化了原有的计算,这种方法这种方法叫做定积分的叫做定积分的换元法换元法.自然会问自然会问:在什么条件下可以保证上述做法是正确的在什么条件下可以保证上述做法是正确的?为此有下面的定理为此有下面的定理:5上页下页铃结束返回首页 （1）则有则有定理定理1 设函数设函数

3、 在在 上连续上连续,如果函数如果函数单调且具有连续导数单调且具有连续导数,若满足条件若满足条件证证 由条件由条件,（1）式中等式两边的定积分存在式中等式两边的定积分存在,且原且原函数也存在函数也存在,设设 是是 的一个原函数的一个原函数,则则6上页下页铃结束返回首页另外另外,对对 与与 的复合函数的复合函数即即 是是 的一个原函数的一个原函数.所以所以由复合函数求导法则由复合函数求导法则,得得求导求导,这样就证明了这样就证明了（1）.7上页下页铃结束返回首页注注 在定积分的换元公式中在定积分的换元公式中,要注意当用要注意当用 把把原来的变量换为新变量时原来的变量换为新变量时,积分限也要换为相

4、应于新变积分限也要换为相应于新变量所对应的积分限量所对应的积分限.（1）则有则有定理定理1 设函数设函数 在在 上连续上连续,如果函数如果函数单调且具有连续导数单调且具有连续导数,若满足条件若满足条件8上页下页铃结束返回首页例1 计算解 令则原式 当x=0时,t=2;当x=1时,t=19上页下页铃结束返回首页 例2 解 或提示：提示：换元一定要换积分限 不换元积分限不变 10上页下页铃结束返回首页 证明 例3 设f(x)在a a上连续 证明 并计算 11上页下页铃结束返回首页 注:例4 设f(x)在a a上连续 证明(1)当f(x)为奇函数时,(2)当f(x)为偶函数时,练习 12上页下页铃结

5、束返回首页 证明 例5 若f(x)在0 1上连续 证明 13上页下页铃结束返回首页(2)令xpt 因为 例5 若f(x)在0 1上连续 证明 证明 14上页下页铃结束返回首页 例6 计算 解 例5 若f(x)在0 1上连续 证明 15上页下页铃结束返回首页二、定积分的分部积分法 设函数u(x)、v(x)在区间a b上具有连续导数 由 (uv)uvuv 得 uv(uv)uv 等式两端在区间a b上积分得 这就是定积分的分部积分公式 16上页下页铃结束返回首页 解 例7 17上页下页铃结束返回首页例8 计算 解原式=18上页下页铃结束返回首页 解 例9 由此得 19上页下页铃结束返回首页 公式:注意:为正偶数为大于1的正奇数 例9 20上页下页铃结束返回首页例10 求 解ttxdcos2d21上页下页铃结束返回首页一、定积分的换元法一、定积分的换元法小小 结结二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法22上页下页铃结束返回首页课后练习课后练习习题习题3-6 1 723