数学归纳法课时练习-高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册.docx

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1、高中数学 高二 人教A版（2019） 选择性必修 第二册 第四章 数列 4.4 数学归纳法 课时练习一、单选题1平面内有个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都无公共点，用表示这个圆把平面分割的区域数，那么与之间的关系为（）ABCD2设，那么等于（）ABCD3用数学归纳法证明：“”，设，从到时（）ABCD4用数学归纳法证明时，由“”等式两边需同乘一个代数式，它是（）ABCD5用数学归纳法证明，第一步验证（）An=1Bn=2Cn=3Dn=46设是定义在正整数集上的函数，且满足：当成立时，总有成立.则下列命题总成立的是（）A若成立，则成立B若成立，则当时，均有成立C若成立，则成立D若成立，则当

2、时，均有成立7用数学归纳法证明等式时，从到等式左边需增添的项是（）ABCD8满足122334n(n1)3n23n2的自然数n等于（）A1B1或2C1，2，3D1，2，3，49用数学归纳法证明“1n（nN*）”时，由假设nk（k1，kN“）不等式成立，推证nk+1不等式成立时，不等式左边应增加的项数是（）A2k1B2k1C2kD2k+110用数学归纳法证明：对于任意正偶数n均有，在验证正确后，归纳假设应写成（）A假设时命题成立B假设时命题成立C假设时命题成立D假设时命题成立11用数学归纳法证明： 的过程中，从到时，比共增加了（）A1项B项C项D项二、填空题12已知数列的首项为1，前n项和为，且，

3、则数列的通项公式_.13用数学归纳法证明：，从到，等式左边需增加的代数式为_14用数学归纳法证明34n252n1能被14整除的过程中，当nk1时，34(k1)252(k1)1应变形为_.15对一切自然数，猜出使成立的最小自然数_.16已知函数，对于，定义，则的解析式为_.三、解答题17已知数列的前项和为，其中且.(1)试求：，的值，并猜想数列的通项公式；(2)用数学归纳法加以证明.18证明不等式12 (nN*)19已知等比数列的公比，且，是，的等差中项，数列满足：数列的前项和为.（1）求数列、的通项公式；（2）数列满足：，证明20已知数列的前n项和为，其中且.（1）求；（2）猜想数列的通项公式

4、，并证明21已知数列的前项和，满足，且（1）求、；（2）猜思的通项公式，并用数学归纳法证明22观察下面等式：写出由这些等式归纳的一般规律，用数学归纳法证明学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司答案解析：1B【解析】第个圆与前个圆相交有个交点，这些交点把第个圆分成段圆弧，每段圆弧把它所在区域分成两部分，由此可得增加的区域数，得出结论【详解】依题意得，由个圆增加到个圆，增加了个交点，这个交点将新增的圆分成段弧，而每一段弧都将原来的一块区域分成了2块，故增加了块区域，因此故选：B2C【分析】根据题意，写出，作差即可.【详解】由题意，则，所以，即.故选：C.【注意】本题考查数学归纳法，正

5、确弄清由到时增加和减少的项是解题的关键，属于基础题.3B【分析】计算出，结合的表达式可得出结果.【详解】因为，则，即.故选：B.4D【解析】只需将和分别代入到原式中，得到以及，然后用后式除以前式，则可以得出结果.【详解】由题意有，假设时，成立，则当时，左边 右边由数学归纳法可知上式成立显然等式两边需同乘故选：D.【注意】本题仅仅是考查学生对数学归纳法的运用情况，要求学生会对复杂式子进行变形，以及运用数学归纳法时候能够根据所设条件得出相关类似结论，对学生数学运算能力要求较高，能具备相关推理思维，为中等难度题型.5C【分析】由数学归纳法的一般步骤，第一步需要验证取第一个值时命题是否成立.【详解】由

6、题知，即n的最小值为3，第一步验证n=3时，不等式是否成立.故选：C6D【分析】根据题中的信息，结合不等号的方向可判断A、C的正误；再根据题意可得若f(3)4成立，则当k3时，均有f(k)k+1成立，据此可对B作出判断；同理判断出D的正误.【详解】选项A、C与已知条件不等号方向不同，故A、C错误；选项B中，若f(3)4成立，则当k3时，均有f(k)k+1成立，故B错误；根据题意，若成立，则成立，即成立，结合，所以当时，均有成立.故选：D.7C【解析】分别写出和时，等式左边的表达式，比较2个式子，可得出答案.【详解】当时，左边，共个连续自然数相加，当时，左边，所以从到，等式左边需增添的项是.故选

7、：C.8C【分析】将分别代入等式进行检验可得答案.【详解】当时，左边，右边，等式成立；当时，左边，右边，等式成立；当时，左边，右边，等式成立，当时，左边，右边，等式不成立.故选：C9C【分析】根据数学归纳法的步骤即可求解.【详解】在用数学归纳法证明“（nN*）”时假设当时不等式成立，左边=则当时，左边=则由递推到时不等式左边增加了：共，故选：C10C【分析】依题意根据数学归纳法证明判断即可；【详解】解：因为要证明的是对任意正偶数n均有等式成立，所以在验证正确后，归纳假设应写成：假设时命题成立故选：C11D【解析】时，最后一项为，时，最后一项为，由此可得由变到时，左边增加的项.【详解】由题意，时

8、，最后一项为，时，最后一项为所以由变到时，左边增加的项为，增加了项故选：D12n【分析】先利用累乘法将的通项公式求出，再利用与的关系，求出的通项公式即可.【详解】解：，当时，当时，成立，当时，当时，满足上式，.故答案为：n13【解析】根据等式的结构，分别写出和时，等式的左边，对比即可求解.【详解】当时，等式的左边为：，当，等式的左边为：，所以从到，等式左边需增加的代数式为.故答案为：.【注意】本题主要考查了数学归纳法及其应用，其中根据等式的结构，分别写出和时，等式的左边是解答的关键，着重考查运算能力.1425(34k252k1)5634k2【分析】证明34n252n1能被14整除的过程中，将n

9、k1代入，化简可得答案【详解】当nk1时，34(k1)252(k1)18134k22552k125(34k252k1)5634k2.故答案为：25(34k252k1)5634k2153【解析】运用数学归纳法证明当时，对一切自然数成立,可得答案.【详解】当时，对一切自然数不成立；当时，对一切自然数不成立（如时，）；当时，对一切自然数成立,理由如下：当时，成立，假设当时成立，即，当时，而，所以对一切自然数成立.故答案为：3.【注意】本题考查数学猜想和数学归纳法证明不等式，关键在于证明当时不等式成立，属于中档题.16【分析】分别求出到的值，可猜想，再用数学归纳法证明即可；【详解】解：函数对于，定义，

10、由此可以猜想以下用数学归纳法证明：当时，显然成立；假设时成立，即，则时，也成立故故答案为：17(1)，；【分析】（1）根据递推关系写出，的值，由所得前3项猜想通项公式即可.（2）应用数学归纳法，首先判断时通项公式是否成立，再假设时通项公式成立，进而利用关系求证是否成立即可.【详解】（1）因为且.所以，解得，因为，所以，解得.由，猜想：.（2）当时，等式成立；假设当时猜想成立，即那么，当时，由题设，得，所以，则.因此，所以.这就证明了当时命题成立.由可知：命题对任何都成立.18【分析】利用数学归纳法可证明，先假设nk时成立，再证明nk1时成立即可.【详解】当n1时，左边1，右边2，左边右式，不等

11、式成立；假设时，不等式成立，即，当时，因为在上单调递增，由，得，即，可得，不等式也成立.由得证当，所以.【注意】本题主要考查了等差数列与等比数列通项公式的求法，利用数学归纳法与放缩法证明数列不等式，着重考查了逻辑思维能力和推理论证能力，属于难题.20 （1），；（2）猜想【分析】（1）由，且，分别令，即可求得的值；（2）由，猜想：，利用数学归纳法，即可证明.【详解】（1）由题意，数列满足，且，可得， 即，又由，可得，可得.（2）由，猜想：，证明：当时，由（1）可知等式成立；假设时，猜想成立，即，当时，由题设可得，所以，又由，所以，所以，即当时，命题也成立，综上可得，命题对任意都成立.【注意】对

12、于数学归纳法的证明问题，解答中明确数学归纳证明方法：（1）验证时成立；（2）假设当时成立，证得也成立；（3）得到证明的结论其中在到的推理中必须使用归纳假设21 （1），；（2）猜想，【分析】（1）分别令、，可求得、的值；（2）根据（1）猜想得出，由可知当猜想成立，假设当时猜想成立，可得出，可得出当时，由整理得出，解出即可得出结论成立.【详解】（1）对任意的，且当时，整理得，且，所以；当时，整理得，且，所以；当时，整理得，且，所以；（2）由（1）猜想，下面用数学归纳法加以证明：当时，由（1）知成立；假设当时，成立当时，所以，且，所以，即当时猜想也成立综上可知，猜想对一切都成立【注意】思路注意：“归纳猜想证明”的一般环节：（1）计算：根据条件，准确计算出前若干项，这是归纳、猜想的前题；（2）归纳、猜想：通过观察、分析、比较、综合、联想，猜想出一般的结论；（3）证明：对一般结论利用数学归纳法进行证明.22一般规律：；【分析】总结规律后由数学归纳法证明【详解】一般规律：，证明：（1）时，左=右，等式成立；（2）假设时，等式成立，即，则当时，等式也成立，由（1）（2）得当时等式都成立