矩阵的标准型精选课件.ppt

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1、关于矩阵的标准型第一页，本课件共有59页2.1矩阵的矩阵的Jordan标准型标准型 一一.Cayley-Hamilton定理定理 第二章第二章 矩阵的矩阵的JordanJordan标准型标准型凯莱凯莱英英 A.Cayley(1821.8-1895.1)哈密尔顿哈密尔顿英英 W.R.Hamilton(1805.8-1865.9)约当约当约当约当 法法法法 M.E.C.M.E.C.Jordan Jordan(1838.1-1922.1)(1838.1-1922.1)第二页，本课件共有59页 矩阵的多项式表示矩阵的多项式表示定义：定义：已知已知 和关于变量和关于变量 的多项式的多项式那么我们称那么我

2、们称 为为 的的矩阵多项式矩阵多项式。化零多项式化零多项式化零多项式化零多项式第三页，本课件共有59页 定理定理2.1.c()=|EAn n|则则c(A)=O.注注:c(A)=|AE A|?|EAn n|=a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann=n+an 1 n 1+a1 +a0=n tr(A)n 1+(1)n|A|.第四页，本课件共有59页 c()=n+an 1 n 1+a1 +a0 c(A)=An+an 1An 1+a1A+a0E c(A)=O An+an 1An 1+a1A=a0E=A(An 1+an 1An 2+a1E)当当A可逆时可逆时,a0=(1)n

3、|A|0,于是于是A 1=1a0(An 1+an 1An 2+a1E)A*=|A|A 1=第五页，本课件共有59页则则 c(A)=An+an-1An-1+a0E=0。对于一般的对于一般的n阶矩阵组成的集合，需要取出阶矩阵组成的集合，需要取出n2+1个才能个才能保证是线性相关的。保证是线性相关的。但是对于矩阵序列但是对于矩阵序列I,A,A2,A3，按顺序取到第，按顺序取到第n+1个时，个时，An一定可以被前面的矩阵线性表出。一定可以被前面的矩阵线性表出。则则 An=-an-1An-1-a0E第六页，本课件共有59页 例例1.已知已知A=1 2 2 1 0 3 1 1 2,求求A100.解解:c(

4、)=|EA|=(+1)2(1).分别将分别将 =1,1代入上式得代入上式得 100 99=(100)1=a+b+c,设设 100=c()g()+a 2+b +c,1=a b+c.=c()g()+a 2+b +c =c()g()+c()g()+2a +b 将将 =1代入上式得代入上式得 100=2a+b.于是可得于是可得a=50,b=0,c=49.第七页，本课件共有59页 =50A2 49E 故故A100=c(A)g(A)+50A2 49E=50即即 100=c()g()+50 2 49,3 3 0 8 0 8 2 1 4 2 1 4 2 0 5 2 0 5 4949 0 0 0 0 0 49

5、0 0 49 0 0 0 49 0 0 49=199199 0 400 0 400 100 1 200 100 1 200 100 0 201 100 0 201.例例1.已知已知A=1 2 2 1 0 3 1 1 2,求求A100.第八页，本课件共有59页 A=0 1 1 0 1 0 1 1 2 c()=|EA|=(1)3满足满足c(A)=O f()=(1)2=2 2+1满足满足f(A)=O.c()的次数为的次数为3 f()的次数为的次数为2 不存在更低次数的多项式不存在更低次数的多项式g()使得使得g(A)=O.A的化零多项式的化零多项式 次数最低次数最低,首首项系数为项系数为1 例例2.

6、第九页，本课件共有59页 二二.最小多项式最小多项式 1.定义定义:A的的次数最低次数最低的的最高次项系数为最高次项系数为1的的 化零化零多项式称为多项式称为A的的最小多项式最小多项式.2.性质性质:(1)A的最小多项式的最小多项式|A的任一化零多项式的任一化零多项式.(2)A的最小多项式是唯一的的最小多项式是唯一的,记为记为mA()或简记为或简记为m().(3)则则m(0)=0 c(0)=0.(4)A B mA()=mB().但反之未必但反之未必!第十页，本课件共有59页 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 21 1 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0

7、 2例如例如:与与 的最小多项式都是的最小多项式都是(1)2(2),但是它们的特征多项式分别为但是它们的特征多项式分别为 因而这两个矩阵不相似因而这两个矩阵不相似.(1)3(2)和和(1)2(2)2,第十一页，本课件共有59页定理第十二页，本课件共有59页第十三页，本课件共有59页第十四页，本课件共有59页第十五页，本课件共有59页定理第十六页，本课件共有59页第十七页，本课件共有59页第十八页，本课件共有59页例第十九页，本课件共有59页第二十页，本课件共有59页第二十一页，本课件共有59页第二十二页，本课件共有59页 推论推论.设设A,B分别为分别为s n矩阵和矩阵和n t矩阵矩阵,则则r

8、(AB)r(A)+r(B)n.引理引理.设设A1,A2,As都是都是n阶方阵阶方阵,且且 A1A2 As=O,则则 r(Ai)(s 1)n.i i=1=1s s r(A1A2 As)r(A1)+r(A2 As)n r(A1)+r(A2)+r(A3 As)2n r(A1)+r(A2)+r(As)(s 1)n.三三.最小多项式与对角化的关系最小多项式与对角化的关系 第二十三页，本课件共有59页 定理定理3.A相似于对角矩阵相似于对角矩阵 mA()没有重根没有重根.对角阵的最小多项式对角阵的最小多项式没有重根没有重根.因而因而 r(iE A)(s 1)n,i i=1=1s s 证明证明:()相似的矩

9、阵的最小多项式相同相似的矩阵的最小多项式相同;()设设mA()=(1)(2)(s),则则(1E A)(2E A)(sE A)=O,故故 n r(iE A)n.i i=1=1s s 第二十四页，本课件共有59页第二十五页，本课件共有59页第二十六页，本课件共有59页定理定理：阶矩阵阶矩阵 可以对角化的充分必要条件是可以对角化的充分必要条件是每一个特征值的代数重数等于其几何重数。每一个特征值的代数重数等于其几何重数。有有 个线性无关的特征向量。个线性无关的特征向量。综合综合第二十七页，本课件共有59页 例例3.若若n阶方阵阶方阵A满足满足A2 3A+2E=O,r(A E)=r,则行列式则行列式|A

10、+3E|=_.解解:A2 3A+2E=O (A E)(A 2E)=O 存在可逆矩阵存在可逆矩阵P使得使得P 1AP=|A+3E|=|P 1|A+3E|P|E En n r r O O O O 2 2E Er r 秩秩(A E)=r=|P 1(A+3E)P|=|P 1AP+3E|=4En r O O 5Er=4n r 5r.第二十八页，本课件共有59页 例例4.求解矩阵方程求解矩阵方程X2 5X+6E=O,n阶方阵阶方阵X令令r(A 3E)=r,解解:f(x)=x2 5x+6=(x 3)(x 2)为为X的零化多项式的零化多项式 存在可逆矩阵存在可逆矩阵P使得使得P 1XP=2 2E Er r O

11、 O O O 3E3En n r r由由 X2 5X+6E=O (A 2E)(A 3E)=O f(x)=(x 3)(x 2)无重因式，故为最小多项式无重因式，故为最小多项式 m(x)矩阵矩阵X的特征值为的特征值为3和和2，且，且X可以相似对角化可以相似对角化 2 2E Er r O O O O 3E3En n r r X=P P 1 第二十九页，本课件共有59页 例例5.设设m阶方阵阶方阵J0 0为为为为证明证明:J0 0特征多项式为特征多项式为 c()=(-a)m a a a 1 1 a mm mm O O E Em-1m-1O O O O证明证明:J0 0必不可以对角化。必不可以对角化。J

12、0 0-aE E=NNk 不等于不等于O，Nm=O 第三十页，本课件共有59页 四四.Jordan标准形标准形 0 0 0 1 1 0 mm mm m阶阶Jordan块块:例如例如:(0)0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 注注:0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0=一阶一阶一阶一阶 JordanJordan块是一阶矩阵块是一阶矩阵块是一阶矩阵块是一阶矩阵 第三十一页，本课件共有59页 J1 J2 Js Jordan形矩阵形矩阵:若当块若当块 例如例如:1 0 0 0 2 0 0 0 3 0 1 0 0 0 1 0 0 0 2 1 0 0 2 0

13、0 0 3 1 1 0 0 2 0 0 0 3 但但 不是不是Jordan形矩阵形矩阵.第三十二页，本课件共有59页Jordan标准型标准型定理定理5：设：设A是是n阶复矩阵，则必存在可逆矩阵阶复矩阵，则必存在可逆矩阵S，使得使得其中其中 1,s是是A的互不相同的特征值，的互不相同的特征值，而且这个标准型在除去对角块顺序后是唯一的。而且这个标准型在除去对角块顺序后是唯一的。且且第三十三页，本课件共有59页 若若A与与Jordan形矩阵形矩阵J相似相似,则称则称J为为A的的 Jordan当标准形当标准形.注注:J1 O O J2 O E E O O E E O 1 J2 O O J1=推论推论.

14、两个复方阵相似两个复方阵相似它们具有相同的它们具有相同的 Jordan标准形标准形.推论推论.两个复方阵相似两个复方阵相似，特征值、秩？，特征值、秩？第三十四页，本课件共有59页JordanJordan矩阵的结构与几个结论矩阵的结构与几个结论:(1)(1)Jordan Jordan块的个数块的个数 k k是线性无关特征向量的个数是线性无关特征向量的个数;(2)(2)矩阵可对角化矩阵可对角化,当且仅当当且仅当s s=n n;(3)(3)相应于一个已知特征值相应于一个已知特征值 的的JordanJordan块的个数块的个数是该是该(1)(1)特征值的特征值的几何重数几何重数 ,它是相应的特征子空间

15、的维数它是相应的特征子空间的维数,(2)(2)相应于一个相应于一个 的所有的所有JordanJordan块的块的阶数之和阶数之和是该特征值的是该特征值的代数重数代数重数 .特征值特征值 的几何重的几何重(1)(1)数数 代数重数代数重数(2)(2)(4)(4)矩阵不同特征值对应的特征向量线性无关矩阵不同特征值对应的特征向量线性无关.J的对角元素给出了特征值的信息。的对角元素给出了特征值的信息。第三十五页，本课件共有59页第三十六页，本课件共有59页推论：推论：则下列命题等价：则下列命题等价：(3)A 的的Jordan标准形中的标准形中的 Jordan块都是一阶的。块都是一阶的。第三十七页，本课

16、件共有59页推论推论：阶矩阵阶矩阵 可以对角化的充分必要条件是每可以对角化的充分必要条件是每一个特征值的代数重数等于其几何重数。一个特征值的代数重数等于其几何重数。有有 个线性无关的特征向量。个线性无关的特征向量。综合：综合：第三十八页，本课件共有59页 1,2,s A 11,1q ,1 1 线性无关线性无关线性无关线性无关 11,1q,21,2q ,s1,sq 线性无关线性无关 1 1 2 2 s s 2 2 线性无关线性无关线性无关线性无关 21,2q ,s s 线性无关线性无关线性无关线性无关 s1,sq 相似矩阵相似矩阵P的求法的求法第三十九页，本课件共有59页定理定理5 5：1,s是

17、是n n阶复矩阵阶复矩阵A A的的互不相同的特征值，互不相同的特征值，且且(1)则必存在可逆矩阵则必存在可逆矩阵S，使得，使得则下面是等价的则下面是等价的第四十页，本课件共有59页 则则V V 上必然存在一个线性变换上必然存在一个线性变换T T，使得，使得亦即亦即 中必然存在一组基中必然存在一组基(个个)，使得使得T在这组基下的矩阵为在这组基下的矩阵为第四十一页，本课件共有59页 1,2,s A 11,1q ,1 1 线性无关线性无关线性无关线性无关 11,1q,21,2q ,s1,sq 线性无关线性无关 1 1 2 2 s s 2 2 线性无关线性无关线性无关线性无关 21,2q ,s s

18、线性无关线性无关线性无关线性无关 s1,sq 相似矩阵相似矩阵S的求法的求法第四十二页，本课件共有59页五五.Jordan标准型与最小多项式的关系标准型与最小多项式的关系设设A是是n阶复矩阵，则必存在可逆矩阵阶复矩阵，则必存在可逆矩阵S，使得，使得其中其中 1,s是是A的互不相同的特征值，的互不相同的特征值，且且则则A的最小多项式为：的最小多项式为：第四十三页，本课件共有59页第四十四页，本课件共有59页六六.Jordan标准型的确定标准型的确定 Jordan Jordan标准型标准型 的两个关键要素：的两个关键要素：JordanJordan块的阶数与块数块的阶数与块数波尔曼波尔曼定理定理:J

19、ordan:Jordan标准型标准型唯一性原理第四十五页，本课件共有59页例 P82 例2.3.6,2.3.7 第四十六页，本课件共有59页例 已知矩阵已知矩阵已知矩阵已知矩阵A A的特征多项式为的特征多项式为求矩阵求矩阵求矩阵求矩阵A的的的的Jordan标准形标准形标准形标准形第四十七页，本课件共有59页七、方阵七、方阵A的的Jordan 标准形的求法标准形的求法求可逆矩阵求可逆矩阵求可逆矩阵求可逆矩阵S S和和JordanJordan矩阵矩阵矩阵矩阵J JA A，使，使AS=SJAS=SJA A分析方法：分析方法：分析方法：分析方法：在在在在定理定理5的基础上逆向分析矩阵的基础上逆向分析矩

20、阵的基础上逆向分析矩阵的基础上逆向分析矩阵J JA A 和和和和S的构成。的构成。的构成。的构成。求法与步骤：求法与步骤：求法与步骤：求法与步骤：矩阵矩阵矩阵矩阵A A和和J JA的特征值相等的特征值相等的特征值相等的特征值相等细分矩阵细分矩阵细分矩阵细分矩阵P Pi i 和和和和 J Ji i，在，在，在，在JordanJordan块上，有块上，有块上，有块上，有 Jordan Jordan块的确定按照块的确定按照块的确定按照块的确定按照波尔曼定理波尔曼定理第四十八页，本课件共有59页Jordan链链，y2，ynj特征向量特征向量特征向量特征向量广义特征向量广义特征向量广义特征向量广义特征向

21、量链条中的向量合起来构成可逆矩阵链条中的向量合起来构成可逆矩阵链条中的向量合起来构成可逆矩阵链条中的向量合起来构成可逆矩阵S S，JordanJordan块构成块构成块构成块构成J JA A可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵S S不唯一，不唯一，不唯一，不唯一，J JA A不考虑次序是唯一的不考虑次序是唯一的不考虑次序是唯一的不考虑次序是唯一的第四十九页，本课件共有59页例例6 p77 2.3.3第五十页，本课件共有59页第五十一页，本课件共有59页第五十二页，本课件共有59页第五十三页，本课件共有59页例例9 证明：若证明：若A的所有特征值是的所有特征值是 1,n，则，则Am的所有的所有特征值

22、是特征值是 1m,nm。第五十四页，本课件共有59页第五十五页，本课件共有59页 例例10.设设A=.1 a a 0 a 1+a b 0 0 1(1)求求A的特征值和所有可能的的特征值和所有可能的Jordan标准形标准形.解解:|E A|=(1)3.由此可得由此可得A的特征值为的特征值为 1=2=3=1.因此因此A的所有可能的的所有可能的Jordan标准形如下标准形如下:1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 J1=,1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 J2=,1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0

23、 1 J3=.第五十六页，本课件共有59页 例例10.设设A=.1 a a 0 a 1+a b 0 0 1(2)a,b满足什么条件时满足什么条件时,A相似于对角矩阵相似于对角矩阵?解解:由由(1)知知,A相似于对角矩阵相似于对角矩阵 A相似于相似于E 存在可逆矩阵存在可逆矩阵P使得使得P 1AP=E A=E 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 J1=,1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 J2=,1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 J3=.a=b=0.第五十七页，本课件共有59页 例例10

24、.设设A=.1 a a 0 a 1+a b 0 0 1(3)当当a=1,b=2时时,求求A的的Jordan标准形标准形.解解:当当a=1,b=2时时,A=r(E A)=2.1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 J1=,1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 J2=,1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 J3=.r(E J3)=2.0 0 1 0 1 0 1 2 2 1 2 2 0 0 1 0 0 1,可见可见A的的Jordan标准形为标准形为J3.r(E J2)=1,r(E J1)=0,第五十八页，本课件共有59页感感谢谢大大家家观观看看第五十九页，本课件共有59页