第16课时.ppt

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1、速度与切线速度与切线 单调性与极值单调性与极值 函数的零点函数的零点 最值与不等式最值与不等式设函数在区间设函数在区间I内可导内可导,f(x)0f(x)为增函数为增函数;f(x)0f(x)为减函数为减函数;f(x)0f(x)为常函数为常函数.反之反之,f(x)单调递增单调递增f(x)0恒恒成立成立;f(x)单调递减单调递减f(x)0恒成恒成立立.函函数数的的单单调调性性注意注意,必须检验等号成立的条件必须检验等号成立的条件,避免取等号时避免取等号时,f(x)变成一个常函数变成一个常函数练习练习1.函数函数f(x)x3x23x1的递的递增区间为增区间为 ;函数函数g(x)2x2lnx的递减区间为

2、的递减区间为 .练习练习2.已知向量已知向量 ,若函数若函数 在区间在区间(1,1)上是增函数上是增函数,求实数求实数t 的取值范围的取值范围.t5例例1.已知函数已知函数 的图象在点的图象在点(1,f(1)处的切线方程为处的切线方程为x2y50.(1)求求f(x)的解析式的解析式;(2)求求f(x)的单调区间的单调区间.解解:(1)把把x1代入切线方程代入切线方程,得得y2依题意依题意,f(1)2,f(1)解得解得b1,a6或或b3,a2前者明显不合题意前者明显不合题意,故故b3,a2 故故f(x).练习练习3.已知定义在已知定义在(0,)上的函数上的函数f(x)满满足足xf(x)f(x)0

3、,则当则当0ab时时,有有()A.af(a)f(b)B.bf(b)f(a)C.af(b)bf(a)D.af(b)bf(a)练习练习4.若函数若函数f(x)loga(x3ax)在区间在区间(,0)内递增内递增,则实数则实数a的取值范围是的取值范围是 .练习练习5.设设kR,函数函数f(x)F(x)f(x)kx,试讨论试讨论F(x)的单调性的单调性.C设函数设函数f(x)在点在点x0附近有定义附近有定义,如果对如果对x0附近的所有点附近的所有点x,都有都有f(x0)f(x),则说则说f(x0)是函数的一个极大值是函数的一个极大值;如果对如果对x0附近的所有点附近的所有点x,都有都有f(x0)f(x

4、),则说则说f(x0)是函数的一个极小值是函数的一个极小值.函函数数的的极极值值“函数在某点处导数为函数在某点处导数为0”与与“函数在该点处函数在该点处取极值取极值”是是既不充分也不必要既不充分也不必要的关系的关系;只有在该点两侧函数的单调性相反只有在该点两侧函数的单调性相反(导数异导数异号号),该点才是极值点该点才是极值点.所以所以,求函数的极值时求函数的极值时,要列表要列表.例例2.已知已知a0,求函数求函数f(x)x 的极值的极值.解解:f(x)的定义域为的定义域为(,0)(0,)f(x)1 当当f(x)0时时,xa;当当f(x)0时时,axa;当当f(x)0时时,xa或或xa.当当x变

5、化时变化时,f(x)、f(x)的取值情况如下的取值情况如下表表:故当故当xa时时,f(x)取极小值取极小值,极小值为极小值为2a;当当xa时时,f(x)取极大值取极大值,极大值为极大值为2a.。练习练习6.函数函数f(x)的定义域为区间的定义域为区间(a,b),导函数导函数f(x)在在(a,b)内的图象如图所示内的图象如图所示,则函数则函数f(x)在区间在区间(a,b)内的极小值点的个数为内的极小值点的个数为()练习练习7.已知已知f(x)x3 x2x在在R上有极值上有极值点点,则则b的取值范围是的取值范围是 .A.1个个 B.2个个 C.3个个 D.4个个abxyf(x)Ob2或或b2A练习

6、练习8.已知已知f(x)x a(2lnx),a0,试讨试讨论论f(x)的单调性和极值的情况的单调性和极值的情况.变式变式1.若若f(x)在在(1,2)内单调递减内单调递减,求实数求实数a的取的取值范围值范围.变式变式2.若若f(x)在在(1,2)内不是单调函数内不是单调函数,求实数求实数a的取值范围的取值范围.a3a31.若函数若函数f(x)x3 x26xa有且仅有一有且仅有一个零点个零点,则实数则实数a的取值范围是的取值范围是 .2.已知函已知函数数f(x)ex2xa有零点有零点,则则a的取的取值范围是值范围是 .(,2ln22 a0 3.已知已知f(x)lnxx2bx (1)若函数若函数f

7、(x)在其定义域内是增函数在其定义域内是增函数,求求b的取值范围的取值范围;(2)当当b1时时,设设g(x)f(x)2x2,求证求证:函数函数g(x)只有一个零点只有一个零点.(,4.设函数设函数f(x)2ln(x1)(x1)2 (1)求函数求函数f(x)的单调函数的单调函数;(2)若关于若关于x的方程的方程f(x)x23xa0在区在区间间2,4内恰有两个相异的实根内恰有两个相异的实根,求实数求实数a的的取值范围取值范围.2ln35,2ln24)5.已知函数已知函数f(x)x2alnx(a为常数为常数),g(x)exx.(1)证明证明:eaa;(2)当当a2e时时,讨论函数讨论函数f(x)在区

8、间在区间(1,ea)上的零点的个数上的零点的个数(e为自然对数的底数为自然对数的底数).f(x)f(x)0,得得 0 x ;f(x)0,x由由a2e,得得1 aea定理定理:连续函数连续函数f(x)在闭区间在闭区间a,b上必有最大上必有最大值和最小值值和最小值.具体做法具体做法:求出求出f(x)的所有极值的所有极值;把极值与把极值与f(a),f(b)作比较作比较,最大的是最大值最大的是最大值,最小的是小值最小的是小值.例例1.求出函数求出函数f(x)2x2(x6)在区间在区间2,4上的最大值与最小值上的最大值与最小值.求函数求函数f(x)2 x3 4x 的最大的最大值和最小值值和最小值.例例2

9、.已知已知f(x)ax33x1对于任意的对于任意的x1,1,总有总有f(x)0成立成立,则则a .已知已知aR,函数函数f(x)x(xa),求求f(x)在区间在区间0,2上的最小值上的最小值.例例3.已知函数已知函数f(x)lnx .(1)判断判断f(x)的单调性的单调性;(2)若若f(x)在在1,e上的最小值为上的最小值为2,求求a的的值值.定理定理:连续函数连续函数f(x)在闭区间在闭区间a,b上必有最大上必有最大值和最小值值和最小值.推论推论:开区间开区间(a,b)上的可导函数上的可导函数f(x)如果只有如果只有一个极值点一个极值点,该点必为最值点该点必为最值点.例例4.设设f(x)ln

10、x,g(x)f(x)f(x)(1)求求g(x)的单调区间和最小值的单调区间和最小值;(2)证明证明:g(x)g().例例1.求函数求函数f(x)ln(x1)的最小值的最小值,并证明并证明:当当a,b0时时,lnalnb1 .定理定理:连续函数连续函数f(x)在闭区间在闭区间a,b上必有最大上必有最大值和最小值值和最小值.推论推论:开区间开区间(a,b)上的可导函数上的可导函数f(x)如果只有如果只有一个极值点一个极值点,该点必为最值点该点必为最值点.1.函数函数f(x)lnxx1的最大值是的最大值是 .2.证明证明:对于任意的正整数对于任意的正整数n,ln(1).3.f(x)xlnx,当当a0

11、,b0时时,求证求证:f(a)f(b)(ab)ln2f(ab)4.设设p是是(0,1)内给定的一常数内给定的一常数,求证求证:5p7p3p9p.0已知函数已知函数f(x)x2ax(a1)lnx,a1.(1)讨论函数讨论函数f(x)的单调性的单调性;(2)证明证明:若若a5,则对任意则对任意x1,x2(0,),x1x2,有有 1.5.已知函数已知函数f(x)(1)求求f(x)的最大值的最大值;(2)设设m0,求函数求函数f(x)在在m,2m内的最大值内的最大值;(3)试证明试证明:对任意的对任意的nN*,不等式不等式 恒成立恒成立.1.11江西江西函数函数f(x)x22x4lnx的单调的单调递增

12、区间为递增区间为 .2.若若f(x)x3 x22ax在在(,)内存内存在递增区间在递增区间,则则a的取值范围是的取值范围是 .3.设设aR,若函数若函数yexax有大于零的极值有大于零的极值点点,则则a的取值范围是的取值范围是 .4.函数函数y 在在1,3上的最大值为上的最大值为 .(2,)(,1)1.函数函数f(x)lnxx1的最大值是的最大值是 .2.设直线设直线xt与函数与函数f(x)x2,g(x)lnx的图的图象分别交于点象分别交于点M,N,则当则当|MN|达到最小时达到最小时t 的的值为值为()A.1 B.C.D.3.求证求证:当当x0时时,ln(x1).D0例例2.已知函数已知函数

13、f(x)ax3cxd(a0)是是R上上的奇函数的奇函数,当当x1时时,f(x)取得极值取得极值2(1)求求f(x)的单调区间和极大值的单调区间和极大值;(2)证明证明:对任意对任意x1,x2(1,1),不等式不等式|f(x1)f(x2)|4 恒成立恒成立.(04,天津文天津文)例例3.定义定义:图形图形F1上任一点与图形上任一点与图形F2上的任一点上的任一点的距离的最小值的距离的最小值,叫做图形叫做图形F1与图形与图形 F2的距离的距离.已知曲线已知曲线 与与 C2:(x1)2(y1)2r2的距离为的距离为 ,求求正数正数r的值的值.练习练习1.已知已知f(x)=ax3-6ax2+b在区间在区间-1,2上的最大值是上的最大值是3,最小值是最小值是-29,求求a,b的值的值.练习练习2.一个没有盖的圆柱形容器一个没有盖的圆柱形容器,其底面其底面积与侧面积之和为积与侧面积之和为a(定值定值),当容积最大当容积最大时时,求底面半径与高的比值求底面半径与高的比值.例例1.设设p1,求证求证:对任意的对任意的x0,有有类比类比.设设x0,求证求证:ex1+x.例例2.求数列求数列 的最小的最小项项.