第2课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理的综合应用.ppt

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1、第2课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的综合应用 完成一件事有两类不同方案，在第完成一件事有两类不同方案，在第1 1类方案中类方案中有有m m种不同的方法种不同的方法,在第在第2 2类方案中有类方案中有n n种不同的种不同的方法方法.那么完成这件事共有那么完成这件事共有 种不同种不同的方法的方法.完成一件事需要两个步骤，做第完成一件事需要两个步骤，做第1 1步有步有m m种不同的方种不同的方法法,做第做第2 2步有步有n n种不同的方法种不同的方法.那么完成这件事共有那么完成这件事共有 种不同的方法种不同的方法.1.1.分类加法计数原理：分类加法计数原理：2.2.分步乘法计数原理分步乘法

2、计数原理：分类加法计数原理分类加法计数原理 分步乘法计数原理分步乘法计数原理完成一件事，共有完成一件事，共有n n类类办法，关键词办法，关键词“分类分类”区别区别1 1完成一件事，共分完成一件事，共分n n个个步骤，关键词步骤，关键词“分步分步”区别区别2 2区别区别3 3每类办法都能独立地每类办法都能独立地完成这件事情，它是完成这件事情，它是独立的、一次的、且独立的、一次的、且每次得到的是最后结每次得到的是最后结果，果，只需一种方法就只需一种方法就可完成这件事可完成这件事每一步得到的只是中间结每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一完成这件事，

3、缺少任何一步也不能完成这件事，步也不能完成这件事，只只有各个步骤都完成了，才有各个步骤都完成了，才能完成这件事能完成这件事各类办法是互相独立的各类办法是互相独立的各步之间是互相关联的各步之间是互相关联的即：即：类类独立，步步关联类类独立，步步关联联系联系回答的都是有关做一件事的回答的都是有关做一件事的不同方法种数不同方法种数的问题的问题例例1.(1)51.(1)5名学生报名参加名学生报名参加4 4项体育比赛，每人限报一项，项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？报名方法的种数为多少？(2)5(2)5名学生争夺名学生争夺4 4项比赛冠军（每一名学生参赛项目不限）项比赛冠军（每一名学生参赛

4、项目不限）则冠军获得者可能性有多少种（没有并列冠军）？则冠军获得者可能性有多少种（没有并列冠军）？解：解：（1 1）5 5名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每个学生都有个学生都有4 4种报名方法，种报名方法，5 5名学生都报了项目才能算完成名学生都报了项目才能算完成这一事件这一事件.故报名方法种数为故报名方法种数为 4 44 44 44 44=4=种种 .（2 2）每个项目只有一个冠军，每一名学生都可能）每个项目只有一个冠军，每一名学生都可能获得其中的一项冠军，因此每个项目获冠军的可获得其中的一项冠军，因此每个项目获冠军的可能性有能性有5 5种，故有

5、种，故有n=5n=5=种种 .分析：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：分析：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第一步，选首字符；第二步，选中间字符；第一步，选首字符；第二步，选中间字符；第三步，选末位字符。第三步，选末位字符。解：解：首字符共有首字符共有7+67+61313种不同的选法，种不同的选法，答：答：最多可以给最多可以给10531053个程序命名个程序命名.中间字符和末位字符各有中间字符和末位字符各有9 9种不同的选法种不同的选法根据分步乘法计数原理，最多可以有根据分步乘法计数原理，最多可以有13139 99 910531053种不同的选法种不同的选法.例例2.2.给程序模块命

6、名，需要用给程序模块命名，需要用3 3个字符，其中首字符个字符，其中首字符要求用字母要求用字母A AG G或或U UZ Z，后两个要求用数字，后两个要求用数字1 19 9，问，问最多可以给多少个程序命名？最多可以给多少个程序命名？UUUAAACCCGGG例例3.3.核糖核酸（核糖核酸（RNARNA）分子是在生物细胞中发现的化学）分子是在生物细胞中发现的化学成分成分.一个一个RNARNA分子是一个有着数百个甚至数千个位置分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据学成分所占据.总共有个不同的碱基，总共有

7、个不同的碱基，分别用分别用A A，C C，G G，U U表示表示.在一个在一个RNARNA分子中，各种碱分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关基与其他位置上的碱基无关.假设有一类假设有一类RNARNA分子由分子由100100个碱基组成，那么能有多少种不同的个碱基组成，那么能有多少种不同的RNARNA分子？分子？分析分析:用用100100个位置表示由个位置表示由100100个碱基组成的长链，每个碱基组成的长链，每个位置都可以从个位置都可以从A,C,G,UA,C,G,U中任选一个来占据中任选一个来占据.第第

8、1 1位位 第第2 2位位 第第3 3位位第第100100位位4种4种4种4种解：解：100100个碱基组成的长链共有个碱基组成的长链共有100100个位置，在每个位个位置，在每个位置中，从置中，从A A、C C、G G、U U中任选一个来填入，每个位置有中任选一个来填入，每个位置有4 4种填充方法种填充方法.根据分步乘法计数原理，共有根据分步乘法计数原理，共有种不同的种不同的RNARNA分子分子.例例4.4.电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态.因因此计算机内部

9、就采用了每一位只有此计算机内部就采用了每一位只有0 0或或1 1两种数字的记两种数字的记数法，即二进制，为了使计算机能够识别字符，需要数法，即二进制，为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由个二进制位构成，问位，每个字节由个二进制位构成，问（1 1）一个字节（）一个字节（8 8位）最多可以表示多少个不同的字符？位）最多可以表示多少个不同的字符？（2 2）计算机汉字国标码（）计算机汉字国标码（GBGB码）包含了码）

10、包含了6 7636 763个汉个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？每个汉字至少要用多少个字节表示？第1位第2位第3位第8位2种2种2种2种如如0000000000000000，1000000010000000，11111111.11111111.例例5.5.计算机编程人员在编写好程序以后要对程序进行测计算机编程人员在编写好程序以后要对程序进行测试试.程序员需要知道到底有多少条执行路径（程序员需要知道到底有多少条执行路径（即程序从即程序从开始到结束的路线），开始到结束的路线），以便知道需要提供多少个测试数

11、以便知道需要提供多少个测试数据据.一般地，一个程序模块由许多子模块组成一般地，一个程序模块由许多子模块组成.它是一个它是一个具有许多执行路径的程序模块具有许多执行路径的程序模块.问：这个程序模块有多少条执行路径？另外，为了减问：这个程序模块有多少条执行路径？另外，为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数少测试时间，程序员需要设法减少测试次数.你能帮助你能帮助程序员设计一个测试方法，以减少测试次数吗？程序员设计一个测试方法，以减少测试次数吗？开始开始子模块子模块1 11818条执行路径条执行路径子模块子模块3 32828条执行路径条执行路径子模块子模块2 24545条执行路径条执行路径子模块

12、子模块5 54343条执行路径条执行路径子模块子模块4 43838条执行路径条执行路径结束结束A开始开始子模块子模块1 11818条执行路径条执行路径子模块子模块3 32828条执行路径条执行路径子模块子模块2 24545条执行路径条执行路径子模块子模块5 54343条执行路径条执行路径子模块子模块4 43838条执行路径条执行路径结束结束A A分析：分析：整个模块的整个模块的任意一条路径都分任意一条路径都分两步完成：两步完成：第第1 1步是从开始步是从开始执行到执行到A A点；第点；第2 2步步是从是从A A点执行到结点执行到结束束.而第而第1 1步可由子步可由子模块模块1 1或子模块或子模

13、块2 2或或子模块子模块3 3来完成；来完成；第第2 2步可由子模步可由子模块块4 4或子模块或子模块5 5来完来完成成.因此，分析一因此，分析一条指令在整个模块条指令在整个模块的执行路径需要用的执行路径需要用到两个计数原理到两个计数原理.在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看成在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱，即通过只考察是否执行了正确的子模块一个黑箱，即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块的方式来测试整个模块.这样，他可以先分别单独这样，他可以先分别单独测试测试5 5个模块，以考察每个子模块的工作是否正个模块，以考察每个子模块的工作是否正常常.总共需要的

14、测试次数为：总共需要的测试次数为：18+45+28+38+43=172.18+45+28+38+43=172.再测试各个模块之间的信息交流是否正常，再测试各个模块之间的信息交流是否正常，需要测试的次数为：需要测试的次数为：3 32=6.2=6.如果每个子模块都正常工作，并且各个子模块如果每个子模块都正常工作，并且各个子模块之间的信息交流也正常，那么整个程序模块就之间的信息交流也正常，那么整个程序模块就正常正常.这样，测试整个模块的次数就变为这样，测试整个模块的次数就变为 172+6=178172+6=178（次）（次）显然，显然，178178与与73717371的差距是非常大的的差距是非常大的

15、.例例6.6.随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容.交通管理交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有个不重复的英文字母和个不重复的照都必须有个不重复的英文字母和个不重复的阿拉伯数字，并且个字母必须合成一组出现，阿拉伯数字，并且个字母必须合成一组出现，个数字也必须合成一组出现个数字也必须合成一组出现.那么这种办法共能给那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照多少辆汽车上牌照?1 1由数字由数字1,2,3,4,5,61,2,3,

16、4,5,6可以组成没有重复数字的两位数的可以组成没有重复数字的两位数的 个数是个数是 ()A A1111B B12 C12 C30 30 D D3636C C2.2.如果把两条异面直线看成如果把两条异面直线看成“一对一对”，那么六棱锥的棱，那么六棱锥的棱所在的所在的1212条直线中，异面直线共有（条直线中，异面直线共有（）对）对A.12 A.12 B.24 B.24 C.36 C.36 D.48D.48B B3.3.将数字将数字1,2,3,4,1,2,3,4,填入标号为填入标号为1,2,3,41,2,3,4的四个方格里的四个方格里,每格每格填一个数字填一个数字,则每个格子的标号与所填的数字均不

17、同的填法则每个格子的标号与所填的数字均不同的填法有有_种种.解：解：号方格里可填，三个数字，有种填法号方格里可填，三个数字，有种填法.号方格填好后，再填与号方格内数字相同的号的方格，号方格填好后，再填与号方格内数字相同的号的方格，又有种填法，其余两个方格只有种填法。又有种填法，其余两个方格只有种填法。所以共有所以共有3*3*1=93*3*1=9种不同的方法种不同的方法.9 94.4.一个袋子里装有一个袋子里装有1010张不同的中国移动手机卡，另张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有一个袋子里装有1212张不同的中国联通手机卡张不同的中国联通手机卡(1)(1)某人要从两个袋子中任取一张自己使用

18、的手机某人要从两个袋子中任取一张自己使用的手机卡，共有多少种不同的取法卡，共有多少种不同的取法(2)(2)某人手机是双卡双待机，想得到一张移动卡和某人手机是双卡双待机，想得到一张移动卡和一张联通卡供自己今后使用，问一共有多少种不同一张联通卡供自己今后使用，问一共有多少种不同的取法？的取法？分析：分析：(1)1)从两个袋子中任取一张卡有两类取法，是从两个袋子中任取一张卡有两类取法，是分类加法计数原理；分类加法计数原理；(2)(2)从从两两个个袋袋子子中中各各取取一一张张卡卡，要要分分两两步步完完成成，是是分分步乘法计数原理步乘法计数原理【总结提升总结提升】用两个计数原理解决具体问题时，首先要分清

19、用两个计数原理解决具体问题时，首先要分清是是“分类分类”还是还是“分步分步”，其次要清楚，其次要清楚“分类分类”或或“分步分步”的具体标准，在的具体标准，在“分类分类”时要做到时要做到“不重不不重不漏漏”，在，在“分步分步”时要正确设计时要正确设计“分步分步”的程序，注的程序，注意步与步之间的连续性意步与步之间的连续性 两个原理两个原理的综合应用的综合应用 如果完成一件事情有如果完成一件事情有n n类办法类办法,这这n n类办法彼此之间类办法彼此之间是相互独立的是相互独立的,无论哪一类办法中的哪一种方法都能单无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事情独完成这件事情,求完成这件事情的方法种

20、数求完成这件事情的方法种数,就用分类就用分类加法计数原理加法计数原理.关于分类关于分类 首先要根据问题的特点确定一个分类的标准首先要根据问题的特点确定一个分类的标准,然后再然后再分类分类;分类时要掌握两个原则分类时要掌握两个原则:1.1.完成这件事的任何一种方法都必须属于某一类完成这件事的任何一种方法都必须属于某一类;2.2.分别属于不同两类的方法是不同的方法分别属于不同两类的方法是不同的方法.不重不漏不重不漏(1)(1)确定分步标准确定分步标准;(2)(2)分成的分成的 n n 个步骤要连续完成个步骤要连续完成;(3)(3)每步中任何一种方法都可以与下一步中的任何一每步中任何一种方法都可以与下一步中的任何一种方法连接种方法连接.注：注：既可分类又需分步时既可分类又需分步时,一般一般先分类后分步先分类后分步.关于分步关于分步 如果完成一件事情需要分成如果完成一件事情需要分成n n个步骤个步骤,各个步骤都是各个步骤都是不可缺少的不可缺少的,需要依次完成所有的步骤需要依次完成所有的步骤,才能完成这件事才能完成这件事情情,而完成每一个步骤各有若干种不同的方法而完成每一个步骤各有若干种不同的方法,求完成这求完成这件事情的方法种数就用分步计数原理件事情的方法种数就用分步计数原理.卓越的人一大优点是：在不利与艰难的遭卓越的人一大优点是：在不利与艰难的遭遇里百折不挠遇里百折不挠.贝多芬贝多芬