高二数学三角函数的图像与性质1.ppt

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1、第三节三角函数的图象与性质第三节三角函数的图象与性质(1)(1)基础梳理基础梳理 1.周期函数(1)周期函数的定义一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都有_，那么函数f(x)就叫做周期函数，_叫做这个函数的周期f(x+T)=f(x)非零常数T(2)最小正周期对于一个周期函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个_ _，那么这个_ _就叫做f(x)的最小正周期 最小的正数 最小的正数 2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y=sinxy=cosxy=tanx图象定义域值域单调性在_上递增，kZ Z；在_上递减，kZ Z在_ _上递增，kZ Z；_

2、_上递减，kZ Z在_ _上递增，kZ ZR R R R y|-1y1 y|-1y1 R R 函数y=sin xy=cos xy=tan x最值x=_时，ymax=1(kZ Z)；x=_时，ymin=-1(kZ Z)x=_时，ymax=1(kZ Z)；x=_时，ymin=-1(kZ Z)_奇偶性对称性对称中心：_对称中心：_对称中心：_对称轴l：_对称轴l：_周期_无最值 奇 偶 奇 无 基础达标基础达标1.(必修4P45第1题改编)函数y=5tan(2x+1)的最小正周期是_2.函数y=tan 的定义域是_解析：由已知得x 4k+1，kZ，原函数的定义域为x|x 4k+1，kZ解析：形如 的

3、三角函数的最小正周期是 ，则该函数的最小正周期是 .3.(必修4P45第4题改编)函数y=3-cos 的最大值是_，此时x=_.解析：当cos =-1时，函数有最大值，最大值为4，当且仅当 =2k -，即x=6k -3 ，kZ Z时取得4.(必修4P45第7题改编)函数y=3sin 的单调递减区间是_ 解析：则求函数的单调递减区间等价于求函数 的单调递增区间，解得 故函数的单调递减区间是 5.函数 的值域是_.当 时，解析：当 时，当 时，当 时，y=sinx是增函数，当 时，y=sinx是减函数，综上，时，经典例题经典例题题型一求三角函数的定义域【例1】求下列函数的定义域 分析：求定义域的关

4、键：(1)注意所有函数本身的定义域，如偶次根式的被开方数非负，对数函数的真数应大于0；(2)求三角函数的定义域，常常有两种思路：借助于三角函数的图象和周期，借助于单位圆中的三角函数线解：(1)由题意得 即 分别由三角函数线得(2)要使函数有意义，必须使sinx-cosx0.利用图象，在同一坐标系中画出0,2 上y=sinx和y=cosx的图象，如图所示在0,2 内，满足sinx=cosx的x为 ，再结合正弦、余弦函数的周期是2 ，所以定义域为 题型二三角函数的最值和值域【例2】求下列函数的值域(1)y=sin2x-cosx+2；分析：(1)解析式中只有sin2x，cosx，可以考虑转化为关于c

5、osx的二次函数形式；(2)分离常数，利用单调性求值域或反解sinx，利用sinx的有界性(|sinx|1)构造关于y的不等式求解解：(1)y=sin2x-cosx+2=1-cos2x-cosx+2=-cos2x-cosx+3-1cosx1，1y 函数值域为(2)方法一：当sinx=-1时，y有最小值 函数的值域为 方法二：由 得sinx=又-1sinx1，即y 函数的值域为 变式2-1(1)求y=sin2x-sinxcosx+2()的值域；(2)求函数 的最值及值域 解析：(1)y=sin2x-sinxcosx+2=函数的值域为 为单位圆上的点与点(-2,1)连线所成直线的斜率由题意可知，过

6、Q点且与圆有交点的直线一定存在斜率，设过Q的直线方程为y-1=k(x+2)，即y=kx+2k+1.当直线与圆相切时，存在最值即 =1，整理得3k2+4k=0，解得k=0或k=最大值为0，最小值为 函数的值域为 题型三三角函数的单调性 【例3】求下列函数的单调区间的递减区间；的递减区间；分析：(1)把x-先作为一个整体代入y=sin x的相应单调区间内，求出x的范围即为y的单调区间(2)先把 化为 ，再把 作为一个整体代入y=tan x的相应单调区间内，即可相应求出 的单调区间 解：(1)由 得 函数 的单调减区间为(2)把函数 变为由 得 函数 的单调减区间为 变式3-1(2011 启东期中考

7、试)函数y=|sinx|+|cosx|(xR R)的单调减区间为_解析：y=|sinx|的单调递区间为|sin2x|的单调减区间为 y=|sinx|+|cosx|的单调减区间为 题型四三角函数的周期性与对称性【例4】已知函数(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)令g(x)=f ，判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由 分析：(1)先由三角恒等变形把f(x)化成的形式，再求周期；(2)求出g(x)，利用定义判断g(x)的奇偶性解：f(x)的最小正周期(2)由(1)知 又 函数g(x)是偶函数变式4-1(2011 广东深圳调研)已知函数为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距离为2 .(1)求f(x)的解析式；(2)若 求 的值 解析：(1)图象上相邻的两个最高点之间的距离为2 ，f(x)是偶函数，又(2)由已知得 则 易错警示易错警示【例】求函数y=cos2x+4sinx-3的值域 错解y=cos2x+4sinx-3=-sin2x+4sinx-2=-(sinx-2)2+22，故函数的值域为(-，2 正解 y=cos2x+4sinx-3=-sin2x+4sinx-2=-(sinx-2)2+2.-1sinx1，-3sinx-2-1，-7-(sinx-2)2+21，函数的值域为-7,1