111正弦定理(1).ppt

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1、第一章 解三角形1.1.1 正弦定理(1)创设情境创设情境ABCABC 如图如图,要在河岸两侧要在河岸两侧A,B两点间建一座桥两点间建一座桥.由于环境因素不能直接测量由于环境因素不能直接测量A，B间的距离间的距离.你有办法间接测量你有办法间接测量A,B两点间的距离吗？两点间的距离吗？若已知桥与一侧河岸成若已知桥与一侧河岸成75角角,在这侧河岸在这侧河岸上上取一点取一点C,测得测得C60,AC100m.如何求出如何求出A,B两点间的距离？两点间的距离？ABC7560100例例1、在、在ABC中，已知中，已知A75，C60，AC100，求，求ABabc三角形中的边角关系1、角的关系、角的关系2、边

2、的关系、边的关系3、边角关系、边角关系大角对大边大角对大边（一）三角形中的边角关系（一）三角形中的边角关系（二）直角三角形中的边角关系（如图）（二）直角三角形中的边角关系（如图）1、角的关系、角的关系2、边的关系、边的关系3、边角关系、边角关系复习复习ABCabc斜三角形中这一关系式是否仍成立呢?1、当、当 是锐角三角形时是锐角三角形时,结论是否还成立呢结论是否还成立呢?D如图如图作作AB上的高是上的高是CD,根椐根椐三角形的定义三角形的定义,得到得到BACabcE猜想证明猜想证明 几何法（等高化直）2、当、当 是钝角三角形时是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立以上等式是否仍然成立?BACbc

3、aD 正弦定理正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。的正弦的比相等。你还可以用其它方法 证明正弦定理吗？jACB在锐角在锐角 中，中，过过A作单位向量作单位向量j 垂直于垂直于 ，则有则有j 与与 的夹角为的夹角为 ，j 与与 的夹角为的夹角为 .等式等式怎样建立三角形中边和角间的关系？怎样建立三角形中边和角间的关系？即即同理，过同理，过C作单位向量作单位向量j 垂直于垂直于 ，可得，可得向量法向量法1)在钝角三角形中，怎样将三角形的边用向量表示？怎样引入单位向量？怎样取数量积？jACB在钝角在钝角 中，中，过过A作单位向量作单位向量j 垂直于垂

4、直于 ，则有则有j 与与 的夹角为的夹角为 ，j 与与 的夹角为的夹角为 .等式等式 .同理可得：同理可得：2)外接圆法外接圆法如图:ABCC1abcO 定理涉及三角形的三条边和三个内角定理涉及三角形的三条边和三个内角,每每个等式可视为一个方程个等式可视为一个方程：知三求一知三求一 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等正弦定理的应用正弦定理的应用 2、已知、已知两边两边和和其中一边的对角其中一边的对角，可以求出，可以求出 三角形的其他的边和角。三角形的其他的边和角。1、已知、已知两角两角和和任意一边任意一边，可以求出其他两，可以求出其他两 边

5、和一角。边和一角。例题讲解例题讲解例例1 1 在在 中中,已知已知 ,求求b b（保留两个有效数字）（保留两个有效数字）解解：CBAabc动起手来动起手来例例2 在在ABC中，中，B=30，AB=，AC=2，求求（1）角）角C;(2)ABC的面积的面积.解：解：根据正弦定理，有根据正弦定理，有 所以所以则则C有两解：有两解：1)当当C为锐角时，为锐角时，C=60A=902)当当C为为钝角钝角时，时，C=120A=30ABCCBBCAba=bsinA 一解bsinAab 一解已知两边和其中一边所对的角，三角形解的个数自主探究CAbCAb条件条件解的情况解的情况absinAa=bsinAbsinAab一解一解判断判断三角形的三角形的解的个数方法与条件解的个数方法与条件一解一解一解一解无解无解两解两解【1】小结1、熟记正弦定理：2、正弦定理用于两类解三角形的问题：一是已知任意两角与一边；二是已知两边与其中一边的对角；3、利用正弦定理求角时要注意大边对大角大边对大角，避免漏角。作业作业