反常积分的计算.ppt

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1、上页下页铃结束返回首页反常积分的计算v无穷限的反常积分的定义 在反常积分的定义式中 如果极限是存在的 则称此反常积分收敛 否则称此反常积分发散 连续函数f(x)在区间a)上的反常积分定义为 下页 类似地 连续函数f(x)在区间(b上和在区间()的反常积分定义为 上页下页铃结束返回首页下页一、无穷限的反常积分v无穷限的反常积分的定义 连续函数f(x)在区间a)上的反常积分定义为 反常积分的计算 如果F(x)是f(x)的原函数 则有 可采用如下简记形式：上页下页铃结束返回首页一、无穷限的反常积分v无穷限的反常积分的定义 连续函数f(x)在区间a)上的反常积分定义为 反常积分的计算 如果F(x)是f

2、(x)的原函数 则有 类似地 有 下页上页下页铃结束返回首页 解 例1 下页上页下页铃结束返回首页提示：例2 下页 解 上页下页铃结束返回首页 解 例3 当p1时 此反常积分发散 首页上页下页铃结束返回首页反常积分的计算注：如果函数f(x)在点x0的任一邻域内都无界 那么点x0称为函数f(x)的瑕点(也称为无界间断点)无界函数的反常积分又称为瑕积分 v无界函数反常积分的定义 设函数f(x)在区间(a b上连续 点a为f(x)的瑕点 函数f(x)在(a b上的反常积分定义为下页 在反常积分的定义式中 如果极限是存在的 则称此反常积分收敛;否则称此反常积分发散 上页下页铃结束返回首页 函数f(x)

3、在a c)(c b上(c为瑕点)的反常积分定义为 二、无界函数的反常积分 类似地 函数f(x)在a b)上(b为瑕点)的反常积分定义为下页v无界函数反常积分的定义 设函数f(x)在区间(a b上连续 点a为f(x)的瑕点 函数f(x)在(a b上的反常积分定义为上页下页铃结束返回首页 二、无界函数的反常积分v无界函数反常积分的定义 设函数f(x)在区间(a b上连续 点a为f(x)的瑕点 函数f(x)在(a b上的反常积分定义为反常积分的计算 如果F(x)为f(x)的原函数 可采用简记形式 则f(x)在(a b上的反常积分为 下页上页下页铃结束返回首页 二、无界函数的反常积分v无界函数反常积分

4、的定义 设函数f(x)在区间(a b上连续 点a为f(x)的瑕点 函数f(x)在(a b上的反常积分定义为反常积分的计算 如果F(x)为f(x)的原函数 则f(x)在(a b上的反常积分为 提问：f(x)在a b)上和在a c)(c b上的反常积分如何计算？如何判断反常积分的敛散性？下页上页下页铃结束返回首页所以点a为被积函数的瑕点 解 例4 下页上页下页铃结束返回首页 解 例5 下页当c(acb)为瑕点时 上页下页铃结束返回首页 解 例6 当q1时 此反常积分发散 结束上页下页铃结束返回首页反常积分的计算解：求的无穷间断点,故 I 为反常积分.上页下页铃结束返回首页反常积分的计算反常积分的计

5、算例如,(2)当一题同时含两类反常积分时,应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分.上页下页铃结束返回首页反常积分的计算常积分收敛.注意注意:主值意义下反常积分存在不等于一般意义下反上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页反常积分的反常积分的计算计算,并求其值.解解:令上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页反常积分的反常积分的计算计算1.定义定义上页下页铃结束返回首页反常积分的反常积分的计算计算(1)递推公式证证:(分部积分)注意到:上页下页铃结束返回首页反常积分的计算证证:(3)余元公式:上页下页铃结束返回首页反常积分的计算得应用中常见的积分这表明左端的积分可用 函数来计算.例

6、如,上页下页铃结束返回首页问题问题1:1:曲边梯形的面积曲边梯形的面积问题问题2:2:变速直线运动的路程变速直线运动的路程存在定理存在定理广义积分广义积分定积分定积分定定积积分分的的性性质质定定积积分分的的计计算算法法牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式一、主要内容一、主要内容上页下页铃结束返回首页反常积分的计算反常积分的计算1.用定积分概念与性质求极限用定积分概念与性质求极限2.用定积分性质估值用定积分性质估值3.与变限积分有关的问题与变限积分有关的问题上页下页铃结束返回首页反常积分的计算反常积分的计算1.熟练运用定积分计算的常用公式和方法熟练运用定积分计算的常用公式和方法2.注意特殊形式定积

7、分的计算注意特殊形式定积分的计算3.利用各种积分技巧计算定积分利用各种积分技巧计算定积分4.有关定积分命题的证明方法有关定积分命题的证明方法思考思考:下列作法是否正确下列作法是否正确?上页下页铃结束返回首页反常积分的计算反常积分的计算解解:因为因为时时,所以所以利用夹逼准则得利用夹逼准则得上页下页铃结束返回首页因为因为依赖于依赖于且且1)思考例思考例1下列做法对吗下列做法对吗?利用积分中值定理利用积分中值定理,原式原式不对不对!反常积反常积分的计分的计算算 2)此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项.上页下页铃结束返回首页解：将数列适当放大和缩小，以简

8、化成积分和：解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和：已知已知利用利用夹逼准则夹逼准则可知可知反常积反常积分的计分的计算算上页下页铃结束返回首页思考思考:提示提示:由上题由上题故故上页下页铃结束返回首页反常积反常积分的计分的计算算求极限求极限解：解：原式原式2.求极限求极限提示：提示：原式原式左边左边=右边右边上页下页铃结束返回首页反常反常积分积分的计的计算算估计下列积分值估计下列积分值解解:因为因为即即上页下页铃结束返回首页反常积分的反常积分的计算计算证证:令令则则令令得得故故上页下页铃结束返回首页例例5解：解：上页下页铃结束返回首页例例6解解上页下页铃结束返回首页例例8解解上页下页铃结束返

9、回首页例例9解解令令上页下页铃结束返回首页例例10解解上页下页铃结束返回首页反常积分的计算反常积分的计算解解:令令则则因为被积函数为奇函数因为被积函数为奇函数,故选择故选择 c 使使即即可使原式为可使原式为 0.上页下页铃结束返回首页例例12解解是偶函数是偶函数,上页下页铃结束返回首页反常积分的计反常积分的计算算解解:上页下页铃结束返回首页例例15证证作辅助函数作辅助函数上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页例例16解解(1)上页下页铃结束返回首页(2)上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页反常积反常积分的计分的计算算解：解：且由方程且由方程确定确定 y 是是

10、 x 的函数的函数,求求方程两端对方程两端对 x 求导求导,得得令令 x=1,得得再对再对 y 求导求导,得得故故上页下页铃结束返回首页反常积反常积分的计分的计算算求可微函数求可微函数 f(x)使满足使满足解解:等式两边对等式两边对 x 求导求导,得得不妨设不妨设 f(x)0,则则上页下页铃结束返回首页反常积分的计算反常积分的计算上页下页铃结束返回首页反常积分的计算反常积分的计算解解:令令则则代入代入原方程得原方程得两边求导两边求导:可见可见 f(x)应为二次多项式应为二次多项式,设设代入代入 式比较同次幂系数式比较同次幂系数,得得故故再求导再求导:上页下页铃结束返回首页反常积分的计算反常积分

11、的计算证证:令令则则因此因此又又故所证等式成立故所证等式成立.上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页反常积反常积分的计分的计算算试证试证使使分析分析:要证要证即即故作辅助函数故作辅助函数至少存在一点至少存在一点上页下页铃结束返回首页反常积分反常积分的计算的计算在在上连续上连续,在在至少至少使使即即因在因在上上连续且不为连续且不为0,从而不变号从而不变号,因此因此故所证等式成立故所证等式成立.故由罗尔定理知故由罗尔定理知,存在一点存在一点上页下页铃结束返回首页反常积分的计算反常积分的计算如果能如果能,怎样设辅助函数怎样设辅助函数?要证要证:提示提示:设辅助函数设辅助函数 上页下页铃结束返回

12、首页反常积反常积分的计分的计算算设函数设函数 f(x)在在a,b 上连续上连续,在在(a,b)内可导内可导,且且(1)在在(a,b)内内 f(x)0;(2)在在(a,b)内存在点内存在点 ,使使(3)在在(a,b)内存在与内存在与 相异的点相异的点 ,使使(03考研考研)上页下页铃结束返回首页证证:(1)由由 f(x)在在a,b上连续上连续,知知 f(a)=0.所以所以f(x)在在(a,b)内单调增内单调增,因此因此(2)设设满足柯西中值定理条件满足柯西中值定理条件,于是存在于是存在 上页下页铃结束返回首页即即(3)因因 在在a,上用拉格朗日中值定理上用拉格朗日中值定理代入代入(2)中结论得中

13、结论得因此得因此得 上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页27.27.设设在在 上连续，在上连续，在 可导，可导，且满足且满足证明：存在证明：存在 ，使得，使得上页下页铃结束返回首页28.(01)28.(01)设设则极限则极限29.(04)29.(04)设设则则上页下页铃结束返回首页反常积分的计算反常积分的计算1-2023-1O则函数则函数的图形为（的图形为（）0231-2-110231-2-110231-110231-2-11.上页下页铃结束返回首页31.连续函数连续函数在区间在区间上的图形分别是直径为上的图形分别是直径为1的的上图形分别是直径为上图形分别是直径为2的下、的下、则下列结论正确的是：（则下列结论正确的是：（）上、下半圆周，在区间上、下半圆周，在区间上半圆周，设上半圆周，设上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页第一次第一次 单元测单元测 验验 题题