小学数学奥数基础教程(五年级)目30讲全(20220223205502).pdf

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1、小学奥数基础教程（五年级）-1-小学奥数基础教程(五年级)第 1 讲数字迷（一）第 2 讲 数字谜(二)第 3 讲 定义新运算(一)第 4 讲 定义新运算(二)第 5 讲 数的整除性(一)第 6 讲 数的整除性(二)第 7 讲 奇偶性（一）第 8 讲 奇偶性（二）第 9 讲 奇偶性（三）第 10 讲 质数与合数第 11 讲 分解质因数第 12 讲 最大公约数与最小公倍数（一）第 13 讲最大公约数与最小公倍数（二）第 14 讲 余数问题第 15 讲 孙子问题与逐步约束法第 16 讲 巧算 24 第 17 讲 位置原则第 18 讲 最大最小第 19 讲 图形的分割与拼接第 20 讲 多边形的面积

2、第 21 讲 用等量代换求面积第 22 用割补法求面积第 23 讲 列方程解应用题第 24 讲 行程问题（一）第 25 讲 行程问题（二）第 26 讲 行程问题（三）第 27 讲 逻辑问题（一）第 28 讲 逻辑问题（二）第 29 讲 抽屉原理(一)第 30 讲 抽屉原理(二)第 1 讲 数字谜（一）数字谜的内容在三年级和四年级都讲过，同学们已经掌握了不少方法。例如用猜想、拼凑、排除、枚举等方法解题。数字谜涉及的知识多，思考性强，所以很能锻炼我们的思维。这两讲除了复习巩固学过的知识外，还要讲述数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。例 1 把+，-，四个运算符号，分别填入下面等式的内，使等式成立

3、（每个运算符号只准使用一次）：（5137）（179）=12。分析与解：因为运算结果是整数，在四则运算中只有除法运算可能出现分数，所以应首先确定“”的位置。当“”在第一个内时，因为除数是13，要想得到整数，只有第二个括号内是13 的倍数，此时只有下面一种填法，不合题意。（513-7）（17+9）。当“”在第二或第四个内时，运算结果不可能是整数。当“”在第三个内时，可得下面的填法：（5+137）（17-9）=12。例 2 将 19 这九个数字分别填入下式中的中，使等式成立：=5568。小学奥数基础教程（五年级）-2-解：将 5568 质因数分解为5568=26329。由此容易知道，将 5568 分

4、解为两个两位数的乘积有两种：5896 和 6487，分解为一个两位数与一个三位数的乘积有六种：12464，16 348，24 232，29192，32 174，48 116。显然，符合题意的只有下面一种填法：17432=5896=5568。例 3 在 443 后面添上一个三位数，使得到的六位数能被573整除。分析与解：先用 443000 除以 573，通过所得的余数，可以求出应添的三位数。由443000573=773 71 推知，443000+（573-71）=443502 一定能被 573 整除，所以应添502。例 4 已知六位数33 44是 89 的倍数，求这个六位数。分析与解：因为未知的

5、数码在中间，所以我们采用两边做除法的方法求解。先从右边做除法。由被除数的个位是4，推知商的个位是6；由左下式知，十位相减后的差是1，所以商的十位是9。这时，虽然 8996=8544，但不能认为六位数中间的两个内是85，因为还没有考虑前面两位数。再从左边做除法。如右上式所示，a 可能是 6 或 7，所以 b 只可能是 7 或 8。由左、右两边做除法的商，得到商是3796 或 3896。由 379689=337844，389689=346744 知，商是 3796，所求六位数是337844。例 5 在左下方的加法竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，请你用适当的数字代替字母，

6、使加法竖式成立。分析与解：先看竖式的个位。由Y+N+N=Y 或 Y+10，推知 N要么是 0，要么是 5。如果 N=5，那么要向上进位，由竖式的十位加法有T+E+E+1=T或 T+10，等号两边的奇偶性不同，所以N5，N=0。此时，由竖式的十位加法T+E+E=T或 T+10，E 不是 0 就是 5，但是 N=0，所以 E=5。竖式千位、万位的字母与加数的千位、万位上的字母不同，说明百位、千位加法都要向上进位。因为N=0，所以 I 0，推知 I=1，O=9，说明百位加法向千位进2。再看竖式的百位加法。因为十位加法向百位进1，百位加法向千位进2，且 X0 或 1，所以 R+T+T+1 22，再由

7、R，T都不等于 9 知，T只能是 7 或 8。若 T=7，则 R=8，X=3，这时只剩下数字2，4，6 没有用过，而S 只比 F 大 1，S，F 不可能是 2，4，6 中的数，矛盾。若 T=8，则 R只能取 6 或 7。R=6时，X=3，这时只剩下2，4，7，同上理由，出现矛盾；R=7时，X=4，剩下数字 2，3，6，可取 F=2，S=3，Y=6。所求竖式见上页右式。解这类题目，往往要找准突破口，还要整体综合研究，不能想一步填一个数。这个题目是美国数学月刊上刊登的趣题，竖式中从上到下的四个词分别是 40，10，10，60，而 40+10+10 正好是 60，真是巧极了！例 6 在左下方的减法算

8、式中，每个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字。请你填上适当的数字，使竖式成立。分析与解：按减法竖式分析，看来比较难。同学们都知道，加、减法互为逆运算，是否可以把减法变成加法来研究呢（见右上式）？不妨试试看。因为百位加法只能向千位进1，所以 E=9，A=1，B=0。小学奥数基础教程（五年级）-3-如果个位加法不向上进位，那么由十位加法1+F=10，得 F=9，与 E=9矛盾，所以个位加法向上进1，由 1+F+1=10，得到F=8，这时 C=7。余下的数字有2，3，4，5，6，由个位加法知，G比 D大 2，所以 G，D分别可取 4，2 或 5，3 或 6，4。所求竖式是解这道题启发我们，如

9、果做题时遇到麻烦，不妨根据数学的有关概念、法则、定律把原题加以变换，将不熟悉的问题变为熟悉的问题。另外，做题时要考虑解的情况，是否有多个解。练习 1 1.在一个四位数的末尾添零后，把所得的数减去原有的四位数，差是621819，求原来的四位数。2.在下列竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字。请你用适当的数字代替字母，使竖式成立：3.在下面的算式中填上括号，使得计算结果最大：123456789。4.在下面的算式中填上若干个（），使得等式成立：123456789=2.8。5.将 19 分别填入下式的中，使等式成立：=3634。6.六位数 391是 789 的倍数，求这个六位数。

10、7.已知六位数7 888 是 83 的倍数，求这个六位数。第 2 讲 数字谜（二）这一讲主要讲数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。例 1 在下面的算式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相分析与解：这道题可以从个位开始，比较等式两边的数，逐个确定各个（100000+x）3=10 x+1，300000+3x=10 x+1，7x=299999，x=42857。这种代数方法干净利落，比用传统方法解简洁。我们再看几个例子。例 2 在内填入适当的数字，使左下方的乘法竖式成立。小学奥数基础教程（五年级）-4-求竖式。例 3 左下方的除法竖式中只有一个8，请在内填入适当的数字，使除法竖式成立。解：

11、竖式中除数与8 的积是三位数，而与商的百位和个位的积都是四位数，所以 x=112，被除数为989112=110768。右上式为所求竖式。代数解法虽然简洁，但只适用于一些特殊情况，大多数情况还要用传统的方法。例 4 在内填入适当数字，使下页左上方的小数除法竖式成立。分析与解：先将小数除法竖式化为我们较熟悉的整数除法竖式（见下页右上方竖式）。可以看出，除数与商的后三位数的乘积是 1000=2353的倍数，即除数和商的后三位数一个是23=8 的倍数，另一个是53=125 的奇数倍，因为除数是两位数，所以除数是8 的倍数。又由竖式特点知a=9，从而除数应是96 的两位数的约数，可能的取值有96，48，

12、32，24 和 16。因为，c=5，5 与除数的乘积仍是两位数，所以除数只能是16，进而推知 b=6。因为商的后三位数是125 的奇数倍，只能是125，375，625 和 875 之一，经试验只能取375。至此，已求出除数为 16，商为 6.375，故被除数为6.375 16=102。右式即为所求竖式。求解此类小数除法竖式题，应先将其化为整数除法竖式，如果被除数的末尾出现n 个 0，则在除数和商中，一个含有因子 2n（不含因子 5），另一个含有因子5n（不含因子2），以此为突破口即可求解。例 5 一个五位数被一个一位数除得到下页的竖式（1），这个五位数被另一个一位数除得到下页的竖式（2），求这

13、个五位数。小学奥数基础教程（五年级）-5-分析与解：由竖式（1）可以看出被除数为10*0（见竖式（1），竖式（1）的除数为3 或 9。在竖式（2）中，被除数的前两位数10 不能被整数整除，故除数不是2 或 5，而被除数的后两位数*0 能被除数整除，所以除数是4，6 或 8。当竖式（1）的除数为3 时，由竖式（1）知，a=1 或 2，所以被除数为100*0 或 101*0，再由竖式（2）中被除数的前三位数和后两位数分别能被除数整除，可得竖式（2）的除数为4，被除数为10020；当竖式（1）的除数为 9 时，由能被 9 整除的数的特征，被除数的百位与十位数字之和应为8。因为竖式（2）的除数只能是

14、4，6，8，由竖式（2）知被除数的百位数为偶数，故被除数只有10080，10260，10440 和 10620 四种可能，最后由竖式（2）中被除数的前三位数和后两位数分别能被除数整除，且十位数不能被除数整除，可得竖式（2）的除数为 8，被除数为 10440。所以这个五位数是10020 或 10440。练习 21.下面各算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的2.用代数方法求解下列竖式：3.在内填入适当的数字，使下列小数除法竖式成立：第 3 讲 定义新运算（一）我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。除此之

15、外，还会有什么别的运算吗？这两讲我们就来研究这个问题。这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号，但学习讨论这些新运算，对于开拓思路及今后的学习都大有益处。小学奥数基础教程（五年级）-6-例 1 对于任意数a，b，定义运算“*”：a*b=a b-a-b。求 12*4 的值。分析与解：根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。12*4=124-12-4=48-12-4=32。根据以上的规定，求106 的值。3，x=2，求 x 的值。分析与解：按照定义的运算，=2，x=6。由上面三例看出，定义新运算通常是用某些特殊符号表示特定的运算意义。新运算使用的符号应避免使用课本上

16、明确定义或已经约定俗成的符号，如+，-，等，以防止发生混淆，而表示新运算的运算意义部分，应使用通常的四则运算符号。如例1 中，a*b=a b-a-b，新运算符号使用“*”，而等号右边新运算的意义则用四则运算来表示。分析与解：按新运算的定义，符号“”表示求两个数的平均数。四则运算中的意义相同，即先进行小括号中的运算，再进行小括号外面的运算。按通常的规则从左至右进行运算。小学奥数基础教程（五年级）-7-分析与解：从已知的三式来看，运算“”表示几个数相加，每个加数各数位上的数都是符号前面的那个数，而符号后面的数是几，就表示几个数之和，其中第1 个数是 1 位数，第 2 个数是 2 位数，第 3 个数

17、是 3 位数按此规定，得35=3+33+333+3333+33333=37035。从例 5 知，有时新运算的规定不是很明显，需要先找规律，然后才能进行运算。例 6 对于任意自然数，定义：n！=12 n。例如 4！=1234。那么 1！+2！+3！+100！的个位数字是几？分析与解：1！=1，2！=12=2，3！=123=6，4！=1234=24，5！=1234 5=120，6！=1234 56=720，由此可推知，从5！开始，以后6！，7！，8！，100！的末位数字都是0。所以，要求1！+2！+3！+100！的个位数字，只要把1！至 4！的个位数字相加便可求得：1+2+6+4=13。所求的个位

18、数字是 3。例 7 如果 m，n 表示两个数，那么规定：m n=4n-（m+n）2。求 3（46）12 的值。解：3（46）12=34 6-（4+6）2 12=31912=4 19-（3+19）2 12=6512=412-（65+12）2=9.5。练习 31.对于任意的两个数a 和 b，规定 a*b=3 a-b 3。求 8*9 的值。2.已知 ab 表示 a 除以 3 的余数再乘以b，求 134 的值。3.已知 ab 表示（a-b）（a+b），试计算：（53）（106）。4.规定 ab 表示 a 与 b 的积与 a 除以 b 所得的商的和，求82 的值。5.假定 m n 表示 m的 3 倍减去

19、 n 的 2 倍，即m n=3m-2n。（2）已知 x（41）=7，求 x 的值。小学奥数基础教程（五年级）-8-7.对于任意的两个数P，Q，规定 PQ=（PQ）4。例如：28=（28）4。已知 x（85）=10，求 x 的值。8.定义：a b=ab-3b，ab=4a-b/a。计算：（43）（2b）。9.已知：23=234，45=45678，求（44）（33）的值。第 4 讲 定义新运算（二）例 1 已知 ab=（a+b）-（a-b），求 92 的值。分析与解：这是一道很简单的题，把a=9，b=2 代入新运算式，即可算出结果。但是，根据四则运算的法则，我们可以先把新运算“”化简，再求结果。ab

20、=（a+b）-（a-b）=a+b-a+b=2b。所以，92=22=4。由例 1 可知，如果定义的新运算是用四则混合运算表示，那么在符合四则混合运算的性质、法则的前提下，不妨先化简表示式。这样，可以既减少运算量，又提高运算的准确度。例 2 定义运算：ab=3a+5ab+kb，其中 a，b 为任意两个数，k 为常数。比如：27=3 2+527+7k。（1）已知 52=73。问：85 与 58 的值相等吗？（2）当 k 取什么值时，对于任何不同的数a，b，都有 ab=ba，即新运算“”符合交换律？分析与解：（1）首先应当确定新运算中的常数k。因为 52=35+552+k2 =65+2k，所以由已知

21、5 2=73，得 65+2k=73，求得 k=（73-65）2=4。定义的新运算是：ab=3a+5ab+4b。85=38+58 5+45=244，58=35+55 8+48=247。因为 244247，所以 8558。（2）要使 ab=ba，由新运算的定义，有3a+5ab+kb=3b+5ab+ka，3a+kb-3b-ka=0，3(a-b)-k(a-b)=0，(3-k)(a-b)=0。对于两个任意数a，b，要使上式成立，必有3-k=0，即 k=3。当新运算是ab=3a+5ab+3b 时，具有交换律，即ab=ba。例 3 对两个自然数a 和 b，它们的最小公倍数与最大公约数的差，定义为ab，即 a

22、b=a，b-（a，b）。比如，10 和 14 的最小公倍数是70，最大公约数是2，那么 1014=70-2=68。（1）求 1221 的值；（2）已知 6x=27，求 x 的值。分析与解：（1）1221=12，21-（12，21）=84-3=81；（2）因为定义的新运算“”没有四则运算表达式，所以不能直接把数代入表达式求x，只能用推理的方法。小学奥数基础教程（五年级）-9-因为 6x=6，x-（6，x）=27，而 6 与 x 的最大公约数（6，x）只能是 1，2，3，6。所以 6 与 x 的最小公倍数 6，x只能是 28，29，30，33。这四个数中只有 30 是 6 的倍数，所以 6 与 x

23、 的最小公倍数和最大公约数分别是30 和 3。因为 ab=a，b（a，b），所以 6x=303，由此求得 x=15。例 4 a 表示顺时针旋转90，b 表示顺时针旋转180，c 表示逆时针旋转90，d 表示不转。定义运算“”表示“接着做”。求：ab；bc；ca。分析与解：a b 表示先顺时针转90，再顺时针转 180，等于顺时针转270，也等于逆时针转90，所以 ab=c。bc 表示先顺时针转180，再逆时针转90，等于顺时针转90，所以 bc=a。ca 表示先逆时针转90，再顺时针转90，等于没转动，所以ca=d。对于 a，b，c，d 四种运动，可以做一个关于“”的运算表（见下表）。比如cb

24、，由 c 所在的行和b 所在的列，交叉处 a 就是 cb 的结果。因为运算符合交换律，所以由c 所在的列和b 所在的行也可得到相同的结果。例 5 对任意的数a，b，定义：f（a）=2a+1，g（b）=bb。（1）求 f（5）-g（3）的值；（2）求 f（g（2）+g（f（2）的值；（3）已知 f（x+1）=21，求 x 的值。解：（1）f（5）-g（3）=（25+1）-（33）=2；（2）f（g（2）+g（f（2）=f（22）+g（22+1）=f（4）+g（5）=（24+1）+（55）=34；（3）f（x+1）=2（x+1）+1=2x+3，由 f（x+1）=21，知 2x+3=21，解得 x=

25、9。练习 4 2.定义两种运算“”和“”如下：ab 表示 a，b 两数中较小的数的3 倍，ab 表示 a，b 两数中较大的数的2.5 倍。比如：45=43=12，45=52.5=12.5。计算：(0.6 0.5)+(0.30.8)(1.2 0.7)-(0.640.2)。4.设 m，n 是任意的自然数，A 是常数，定义运算m n=（Am-n）4，并且 23=0.75。试确定常数A，并计算：（57）（22）（32）。5.用 a，b，c 表示一个等边三角形围绕它的中心在同一平面内所作的旋转运动：小学奥数基础教程（五年级）-10-a 表示顺时针旋转240，b 表示顺时针旋转120，c 表示不旋转。运算

26、“”表示“接着做”。试以a，b，c 为运算对象做运算表。6.对任意两个不同的自然数a 和 b，较大的数除以较小的数，余数记为ab。比如 73=1，529=4，420=0。（1）计算：19982000，（519）19，5（195）；（2）已知 11x=4，x 小于 20，求 x 的值。7.对于任意的自然数a，b，定义：f（a）=aa-1，g（b）=b2+1。（1）求 f（g（6）-g（f（3）的值；（2）已知 f（g（x）=8，求 x 的值。第 5 讲 数的整除性（一）三、四年级已经学习了能被2，3，5 和 4，8，9，6 以及 11 整除的数的特征，也学习了一些整除的性质。这两讲我们系统地复习

27、一下数的整除性质，并利用这些性质解答一些问题。数的整除性质主要有：（1）如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。（2）如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。（3）如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。（4）如果一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。（5）几个数相乘，如果其中一个因数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除。灵活运用以上整除性质，能解决许多有关整除的问题。例 1 在里填上适当的数字，使得七位数7358能分别被9，25 和 8 整除。分

28、析与解：分别由能被9，25 和 8 整除的数的特征，很难推断出这个七位数。因为9，25，8 两两互质，由整除的性质（3）知，七位数能被 9 258=1800 整除，所以七位数的个位，十位都是0；再由能被9 整除的数的特征，推知首位数应填 4。这个七位数是4735800。例 2 由 2000 个 1 组成的数 11111 能否被 41 和 271 这两个质数整除？分析与解：因为 41271=11111，所以由每5 个 1 组成的数 11111 能被 41 和 271 整除。按“11111”把 2000 个 1 每五位分成一节，2000 5=400，就有 400 节，因为 2000 个 1 组成的

29、数 1111 能被 11111 整除，而11111 能被 41 和 271 整除，所以根据整除的性质（1）可知，由2000 个 1 组成的数 11111 能被 41 和 271 整除。例 3 现有四个数：76550，76551，76552，76554。能不能从中找出两个数，使它们的乘积能被12 整除？分析与解：根据有关整除的性质，先把12 分成两数之积：12=121=62=34。要从已知的四个数中找出两个，使其积能被12 整除，有以下三种情况：（1）找出一个数能被12 整除，这个数与其它三个数中的任何一个的乘积都能被12 整除；（2）找出一个数能被6 整除，另一个数能被2 整除，那么它们的积就

30、能被12 整除；（3）找出一个数能被4 整除，另一个数能被3 整除，那么它们的积能被12 整除。容易判断，这四个数都不能被12 整除，所以第（1）种情况不存在。对于第（2）种情况，四个数中能被6 整除的只有76554，而 76550，76552 是偶数，所以可以选76554 和 76550，76554和 76552。对于第（3）种情况，四个数中只有76552 能被 4 整除，76551 和 76554 都能被 3 整除，所以可以选76552 和 76551，76552和 76554。综合以上分析，去掉相同的，可知两个数的乘积能被12整除的有以下三组数：76550 和 76554，76552 和

31、 76554，76551和 76552。例 4 在所有五位数中，各位数字之和等于43 且能够被 11 整除的数有哪些？分析与解：从题设的条件分析，对所求五位数有两个要求：各数位上的数字之和等于43；小学奥数基础教程（五年级）-11-能被 11 整除。因为能被 11 整除的五位数很多，而各数位上的数字之和等于43 的五位数较少，所以应选择为突破口。有两种情况：（1）五位数由一个7 和四个 9 组成；（2）五位数由两个8 和三个 9 组成。上面两种情况中的五位数能不能被11 整除？9，8，7 如何摆放呢？根据被11 整除的数的特征，如果奇数位数字之和是27，偶数位数字之和是16，那么差是 11，就

32、能被 11 整除。满足这些要求的五位数是：97999，99979，98989。例 5 能不能将从1 到 10 的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3 整除？分析与解：10 个数排成一行的方法很多，逐一试验显然行不通。我们采用反证法。假设题目的要求能实现。那么由题意，从前到后每两个数一组共有5 组，每组的两数之和都能被3 整除，推知110的和也应能被3 整除。实际上，110 的和等于 55，不能被 3 整除。这个矛盾说明假设不成立，所以题目的要求不能实现。练习 51.已知 4205 和 2813 都是 29 的倍数，1392 和 7018 是不是 29 的倍数？2.如果两个数的和是64

33、，这两个数的积可以整除4875，那么这两个数的差是多少？3.173 是个四位数。数学老师说：“我在这个中先后填入3 个数字，所得到的 3 个四位数，依次可以被9，11，6整除。”问：数学老师先后填入的3 个数字之和是多少？班有多少名学生？6.能不能将从1 到 9 的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3 整除？第 6 讲 数的整除性（二）我们先看一个特殊的数1001。因为 1001=71113，所以凡是1001 的整数倍的数都能被7，11 和 13 整除。能被 7，11 和 13 整除的数的特征：如果数 A的末三位数字所表示的数与末三位数以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被7 或

34、 11 或 13 整除，那么数 A能被 7 或 11 或 13 整除。否则，数A就不能被7 或 11 或 13 整除。例 2 判断 306371 能否被 7 整除？能否被13 整除？解：因为 371-306=65，65 是 13 的倍数，不是7 的倍数，所以306371 能被 13 整除，不能被7 整除。例 3 已知 108971 能被 13 整除，求中的数。解：108-971=1008-971+0=37+0。上式的个位数是7，若是 13 的倍数，则必是13 的 9 倍，由 139-37=80，推知中的数是8。2 位数进行改写。根据十进制数的意义，有因为 100010001 各数位上数字之和是

35、3，能够被 3 整除，所以这个12 位数能被 3 整除。根据能被 7（或 13）整除的数的特征，100010001 与（100010-1=）100009 要么都能被 7（或 13）整除，要么都不能被7（或 13）整除。小学奥数基础教程（五年级）-12-同理，100009 与（100-9=）91 要么都能被 7（或 13）整除，要么都不能被7（或 13）整除。因为 91=713，所以 100010001 能被 7 和 13整除，推知这个12 位数能被7 和 13 整除。分析与解：根据能被7 整除的数的特征，555555 与 999999 都能被 7 因为上式中等号左边的数与等号右边第一个数都能被

36、7 整除，所以等号右边第二个数也能被7 整除，推知5599 能被7 整除。根据能被7 整除的数的特征，99-55=44 也应能被 7 整除。由 44 能被 7 整除，易知内应是6。下面再告诉大家两个判断整除性的小窍门。判断一个数能否被27 或 37 整除的方法：对于任何一个自然数，从个位开始，每三位为一节将其分成若干节，然后将每一节上的数连加，如果所得的和能被27（或 37）整除，那么这个数一定能被27（或 37）整除；否则，这个数就不能被27（或 37）整除。例 6 判断下列各数能否被27 或 37 整除：（1）2673135；（2）8990615496。解：（1）2673135=2，673

37、，135，2+673+135=810。因为 810 能被 27 整除，不能被37 整除，所以2673135 能被 27 整除，不能被37整除。（2）8990615496=8，990，615，496，8+990+615+496=2，109。2，109 大于三位数，可以再对2，109 的各节求和，2+109=111。因为 111 能被 37 整除，不能被27 整除，所以2109 能被 37 整除，不能被27 整除，进一步推知8990615496 能被 37整除，不能被27 整除。由上例看出，若各节的数之和大于三位数，则可以再连续对和的各节求和。判断一个数能否被个位是9 的数整除的方法：为了叙述方便

38、，将个位是9 的数记为 k9（=10k+9），其中 k 为自然数。对于任意一个自然数，去掉这个数的个位数后，再加上个位数的（k+1）倍。连续进行这一变换。如果最终所得的结果等于 k9，那么这个数能被k9 整除；否则，这个数就不能被k9 整除。例 7（1）判断 18937 能否被 29 整除；（2）判断 296416 与 37289 能否被 59 整除。解：（1）上述变换可以表示为：由此可知，296416 能被 59 整除，37289 不能被 59 整除。一般地，每进行一次变换，被判断的数的位数就将减少一位。当被判断的数变换到小于除数时，即可停止变换，得出不能整除的结论。练习 6 1.下列各数哪

39、些能被7 整除？哪些能被13 整除？88205，167128，250894，396500，675696，796842，805532，75778885。2.六位数 17562 是 13 的倍数。中的数字是几？小学奥数基础教程（五年级）-13-7.九位数 87654321 能被 21 整除，求中间中的数。8.在下列各数中，哪些能被27 整除？哪些能被37 整除？1861026，1884924，2175683，2560437，11159126，131313555，266117778。9.在下列各数中，哪些能被19 整除？哪些能被79 整除？55119，55537，62899，71258，186637

40、，872231，5381717。第 7 讲 奇偶性（一）整数按照能不能被2 整除，可以分为两类：（1）能被 2 整除的自然数叫 偶数，例如0，2，4，6，8，10，12，14，16，（2）不能被 2 整除的自然数叫 奇数，例如1，3，5，7，9，11，13，15，17，整数由小到大排列，奇、偶数是交替出现的。相邻两个整数大小相差1，所以肯定是一奇一偶。因为偶数能被2 整除，所以偶数可以表示为2n 的形式，其中n 为整数；因为奇数不能被2 整除，所以奇数可以表示为2n+1 的形式，其中n 为整数。每一个整数不是奇数就是偶数，这个属性叫做这个数的奇偶性。奇偶数有如下一些重要性质：（1）两个奇偶性相

41、同的数的和（或差）一定是偶数；两个奇偶性不同的数的和（或差）一定是奇数。反过来，两个数的和（或差）是偶数，这两个数奇偶性相同；两个数的和（或差）是奇数，这两个数肯定是一奇一偶。（2）奇数个奇数的和（或差）是奇数；偶数个奇数的和（或差）是偶数。任意多个偶数的和（或差）是偶数。（3）两个奇数的乘积是奇数，一个奇数与一个偶数的乘积一定是偶数。（4）若干个数相乘，如果其中有一个因数是偶数，那么积必是偶数；如果所有因数都是奇数，那么积就是奇数。反过来，如果若干个数的积是偶数，那么因数中至少有一个是偶数；如果若干个数的积是奇数，那么所有的因数都是奇数。（5）在能整除的情况下，偶数除以奇数得偶数；偶数除以偶

42、数可能得偶数，也可能得奇数。奇数肯定不能被偶数整除。（6）偶数的平方能被4 整除；奇数的平方除以4 的余数是 1。因为（2n）2=4n2=4n2，所以（2n）2能被 4 整除；因为（2n+1）2=4n2+4n+1=4（n2+n）+1，所以（2n+1）2除以 4 余 1。（7）相邻两个自然数的乘积必是偶数，其和必是奇数。（8）如果一个整数有奇数个约数（包括1 和这个数本身），那么这个数一定是平方数；如果一个整数有偶数个约数，那么这个数一定不是平方数。整数的奇偶性能解决许多与奇偶性有关的问题。有些问题表面看来似乎与奇偶性一点关系也没有，例如染色问题、覆盖问题、棋类问题等，但只要想办法编上号码，成为

43、整数问题，便可利用整数的奇偶性加以解决。例 1 下式的和是奇数还是偶数？1+2+3+4+1997+1998。分析与解：本题当然可以先求出算式的和，再来判断这个和的奇偶性。但如果能不计算，直接分析判断出和的奇偶性，那么解法将更加简洁。根据奇偶数的性质（2），和的奇偶性只与加数中奇数的个数有关，与加数中的偶数无关。11998中共有 999 个奇数，999 是奇数，奇数个奇数之和是奇数。所以，本题要求的和是奇数。例 2 能否在下式的中填上“+”或“-”，使得等式成立？123456 789=66。分析与解：等号左端共有9 个数参加加、减运算，其中有5 个奇数，4 个偶数。5 个奇数的和或差仍是奇数，4

44、 个偶数的和或差仍是偶数，因为“奇数+偶数=奇数”，所以题目的要求做不到。小学奥数基础教程（五年级）-14-例 3 任意给出一个五位数，将组成这个五位数的5 个数码的顺序任意改变，得到一个新的五位数。那么，这两个五位数的和能不能等于99999？分析与解：假设这两个五位数的和等于99999，则有下式：其中组成两个加数的5 个数码完全相同。因为两个个位数相加，和不会大于 9+9=18，竖式中和的个位数是9，所以个位相加没有向上进位，即两个个位数之和等于9。同理，十位、百位、千位、万位数字的和也都等于9。所以组成两个加数的 10 个数码之和等于 9+9+9+9+9=45，是奇数。另一方面，因为组成两

45、个加数的5 个数码完全相同，所以组成两个加数的10 个数码之和，等于组成第一个加数的5 个数码之和的2 倍，是偶数。奇数偶数，矛盾的产生在于假设这两个五位数的和等于99999，所以假设不成立，即这两个数的和不能等于99999。例 4 在一次校友聚会上，久别重逢的老同学互相频频握手。请问：握过奇数次手的人数是奇数还是偶数？请说明理由。分析与解：通常握手是两人的事。甲、乙两人握手，对于甲是握手1 次，对于乙也是握手1 次，两人握手次数的和是2。所以一群人握手，不论人数是奇数还是偶数，握手的总次数一定是偶数。把聚会的人分成两类：A 类是握手次数是偶数的人，B类是握手次数是奇数的人。A类中每人握手的次

46、数都是偶数，所以A类人握手的总次数也是偶数。又因为所有人握手的总次数也是偶数，偶数-偶数=偶数，所以B类人握手的总次数也是偶数。握奇数次手的那部分人即B类人的人数是奇数还是偶数呢？如果是奇数，那么因为“奇数个奇数之和是奇数”，所以得到 B 类人握手的总次数是奇数，与前面得到的结论矛盾，所以B 类人即握过奇数次手的人数是偶数。例 5 五（2）班部分学生参加镇里举办的数学竞赛，每张试卷有50 道试题。评分标准是：答对一道给3 分，不答的题，每道给 1 分，答错一道扣1 分。试问：这部分学生得分的总和能不能确定是奇数还是偶数？分析与解：本题要求出这部分学生的总成绩是不可能的，所以应从每个人得分的情况

47、入手分析。因为每道题无论答对、不答或答错，得分或扣分都是奇数，共有50 道题，50 个奇数相加减，结果是偶数，所以每个人的得分都是偶数。因为任意个偶数之和是偶数，所以这部分学生的总分必是偶数。练习 71.能否从四个3、三个 5、两个 7 中选出 5 个数，使这 5 个数的和等于22？2.任意交换一个三位数的数字，得一个新的三位数，一位同学将原三位数与新的三位数相加，和是999。这位同学的计算有没有错？3.甲、乙两人做游戏。任意指定七个整数（允许有相同数），甲将这七个整数以任意的顺序填在下图第一行的方格内，乙将这七个整数以任意的顺序填在图中的第二行方格里，然后计算出所有同一列的两个数的差（大数减

48、小数），再将这七个差相乘。游戏规则是：若积是偶数，则甲胜；若积是奇数，则乙胜。请说明谁将获胜。4.某班学生毕业后相约彼此通信，每两人间的通信量相等，即甲给乙写几封信，乙也要给甲写几封信。问：写了奇数封信的毕业生人数是奇数还是偶数？5.A 市举办五年级小学生“春晖杯”数学竞赛，竞赛题30 道，记分方法是：底分15 分，每答对一道加5 分，不答的题，每道加 1 分，答错一道扣1 分。如果有333 名学生参赛，那么他们的总得分是奇数还是偶数？6.把下图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。是否有可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？试讲出理由。7.红星影院有1999 个座位，上、下午各放映一场电影。有两所学

49、校各有1999 名学生包场看这两场电影，那么一定有这样的座位，上、下午在这个座位上坐的是两所不同学校的学生，为什么？第 8 讲 奇偶性（二）小学奥数基础教程（五年级）-15-例 1 用 09 这十个数码组成五个两位数，每个数字只用一次，要求它们的和是奇数，那么这五个两位数的和最大是多少？分析与解：有时题目的要求比较多，可先考虑满足部分要求，然后再调整，使最后结果达到全部要求。这道题的几个要求中，满足“和最大”是最容易的。暂时不考虑这五个数的和是奇数的要求。要使组成的五个两位数的和最大，应该把十个数码中最大的五个分别放在十位上，即十位上放5，6，7，8，9，而个位上放 0，1，2，3，4。根据奇

50、数的定义，这样组成的五个两位数中，有两个是奇数，即个位是1 和 3 的两个两位数。要满足这五个两位数的和是奇数，根据奇、偶数相加减的运算规律，这五个数中应有奇数个奇数。现有两个奇数，即个位数是 1，3 的两位数。所以五个数的和是偶数，不合要求，必须调整。调整的方法是交换十位与个位上的数字。要使五个数有奇数个奇数，并且五个数的和尽可能最大，只要将个位和十位上的一个奇数与一个偶数交换，并且交换的两个的数码之差尽可能小，由此得到交换5 与 4 的位置。满足题设要求的五个两位数的十位上的数码是4，6，7，8，9，个位上的数码是0，1，2，3，5，所求这五个数的和是（4+6+7+8+9）10+（0+1+