2004-2012历年考研数学三真题及答案解.pdf

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1、2012 年全国硕士研究生入学统一考试生命不息 -1-奋斗不止2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：18 小题，每小题4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。(1)已知当0 x时，函数()3sinsin 3f xxx与是kcx等价无穷小，则(A)1,4kc (B)1,4kc(C)3,4kc (D)3,4kc(2)已知()f x在0 x处可导，且(0)0f,则2330()2()limxx f xfxx(A)2(0)f (B)(0)f (C)(0)f (D)0(3)设nu是数列，则下列命题正确的是(A

2、)若1nnu收敛，则2121()nnnuu收敛(B)若2121()nnnuu收敛，则1nnu收敛(C)若1nnu收敛，则2121()nnnuu收敛(D)若2121()nnnuu收敛，则1nnu收敛(4)设40ln(sin)Ix dx,40ln(cot)Jx dx,40ln(cos)Kx dx则I,J,K的大小关系是(A)IJK (B)IKJ (C)JIK (D)KJI(5)设A为 3 阶矩阵，将A的第 2 列加到第1 列得矩阵B，再交换B的第 2 行与第 3行得单位矩阵记为1100110001P，2100001010P，则A(A)12PP (B)112PP (C)21PP (D)121PP20

3、12 年全国硕士研究生入学统一考试生命不息 -2-奋斗不止(6)设A为43矩阵,1,2,3是非齐次线性方程组Ax的 3 个线性无关的解，1k,2k为任意常数，则Ax的通解为(A)23121()2k(B)23221()2k(C)23131221()()2kk(D)23221331()()2kk(7)设1()F x,2()F x为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x,1()fx是连续函数，则必为概率密度的是(A)12()()fx fx (B)212()()fx F x(C)12()()fx Fx (D)1221()()()()f x Fxfx F x(8)设总体X服从参数(0)的泊松分布，1

4、1,(2)nXXXn为来自总体的简单随即样本，则对应的统计量111niiTXn，121111niniTXXnn(A)1212,ETETDTDT (B)1212,ETET DTDT(C)1212,ETET DTDT (D)1212,ETET DTDT二、填空题：914 小题，每小题4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.(9)设0()lim(13)xttf xxt，则()fx_.(10)设函数(1)xyxzy，则(1,1)|dz_.(11)曲线tan()4yxye在点(0,0)处的切线方程为_.(12)曲线21yx，直线2x及x轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积 _.(

5、13)设二次型123(,)Tf XXXx Ax的秩为 1，A中行元素之和为3，则f在正交变换下xQy的标准型为 _.2012 年全国硕士研究生入学统一考试生命不息 -3-奋斗不止(14)设二维随机变量(,)X Y服从22(,;,;0)N，则2()E XY_.三、解答题：15 23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10 分)求极限012sin1limln(1)xxxxx.(16)(本题满分10 分)已 知 函 数(,)f u v具 有 连 续 的 二 阶 偏 导 数，(1,1)2f是(,)f u v的 极 值，(),(

6、,)zfxyfx y。求2(1,1)|zx y.(17)(本题满分10 分)求arcsinlnxxdxx(18)(本题满分10 分)证明44arctan303xx恰有 2 实根。(19)(本题满分10 分)()f x在0,1有 连 续 的 导 数，(0)1f，且()()ttDDfxy dxdyf t dxdy，(,)|0,0,0(01)tDx yxtytxytt，求()fx的表达式。(20)(本题满分11 分)设 3 维向量组11,0,1T（），20,1,1T（），31,3,5T（）不能由11,1Ta（），21,2,3T（），31,3,5T（）线性标出。求：()求a；()将1，2，3由1，2，

7、3线性表出.(21)(本题满分11 分)已知A为三阶实矩阵，()2R A，且111100001111A，2012 年全国硕士研究生入学统一考试生命不息 -4-奋斗不止求：()求A的特征值与特征向量；()求A(22)(本题满分11 分)已知X，Y的概率分布如下：X 0 1 Y-1 0 1 P 1/3 2/3 P 1/3 1/3 1/3 且22P()1XY，求：()()XY，的分布；()ZXY的分布；()XY.(23)(本题满分11 分)设(,)X Y在G上服从均匀分布，G由0 xy，2xy与0y围成。求：()边缘密度()Xfx；()|(|)X Yfx y。2012 年研究生入学考试数学三真题解析

8、（纯word）版一、1.解析：C 2012 年全国硕士研究生入学统一考试生命不息 -5-奋斗不止由lim1,1xyy得为水平渐近线由1lim1xyx得为垂直渐近线由11lim,12xyx得非垂直渐近线，选（C）2.解析：A 2221()(2)(2)(1)2()(1)(2)(0)1(1)(1)(1)(1)!xxnxxxnxxxnxnfxeeeeeeneenefnn选（A）3.解析：B 原式=22242202()xx xdxf xydy4.解析：D 1211sin,nnn且11(1)sinnnnn绝对收敛.131.22即又21(1)nnn条件收敛.02112322，选 D 5.解析：C 2012

9、年全国硕士研究生入学统一考试生命不息 -6-奋斗不止343400cc,34与1成比例.1与3+4线性相关,134，线性相关，选C 或134134011,0110ccc134,线性相关，选C 6.解析：B 111100100100110110110000001001QPQAQPAP100110011011100012001100100100110110010002001002，选 B.7.解析：D 1,0,1)()()0,xyx yfxyfx fy（，其他221(,)4DDSP XYf x y dDS，选8.解析：B 2012 年全国硕士研究生入学统一考试生命不息 -7-奋斗不止21212(0,

10、2)(0,1)2XXXXNN2343422(0,2)(0,1)2XXXXNN2341221 (1)22XXXXt即1234(1),2XXtXX选 B 二、9.解析：2.e解：原式=tan11cossintan14lim(1(tan1)xxxxxx=41 sincoslimcos cossin2xxxxxee.10.解析：4 0()()(1)(0)xdyff xfxdxdyffdx而1()2xfx时，0(1)(0)2.4.xdyffdx于是11.解析：02xdzdxdy2012 年全国硕士研究生入学统一考试生命不息 -8-奋斗不止解：令22(1).xy则(,)220(),(0,1)1f x yx

11、yf(,)12(1)0()f x yxy(0,1)(0,1)2,(0,1)1,2.xyffdzdxdy12.解析：4 ln2 解：12014(4)Sxx dxx dxx1324ln 24ln 22213.解析：-27 解：|3.BA*2|3|27.BABAA14.解析：34解：()()()(|)1()()P ABCP ABP ABCP AB CP CP CAC，ABC.1()32(|)21()43P ABP AB CP C.三、15.2012 年全国硕士研究生入学统一考试生命不息 -9-奋斗不止解析：原式22 2cos2 2cos401limxxxxeex2430022cos2(sin)lim

12、lim4xxxxxxxx2011cos1lim.2312xxx16.解析：xDe xydxdy110 xxxxe dxydy1122001111(1)0222xxxxe dxex e dx2111121(22)022222xeeexxe.17.解析：1）设成本函数为(,),C x y则(,)202,xxCx y对 x 积分得，2(,)20(),4xC x yxy再对 y 求导有，(,)()6yCx yyy，再对 y 积分有，21()62yyyc所以，221(,)20642xC x yxyyc(0,0)10000,10000,Cc于是221(,)2061000042xC x yxyy2012 年

13、全国硕士研究生入学统一考试生命不息 -10-奋斗不止2）若50 xy，则50(250)yxx，代入到成本函数得221()206(50)(50)1000042xC xxxx=2336115504xx所以，令3()360,24,26,2Cxxxy得总成本最小为(24,26)11118C3）总产量为50 件且总成本最小时甲产品的边际成本为(24,26)32,xC即在要求总产量为 50 件时，在甲产品为24 件时，改变一个单位的产量，成本会发生32 万元的改变。18.证明：令21()lncos1.(0)0.12xxxxxx212()lnsin11xxxxxxx2211lnsin11xxxxxx01x时

14、.1ln01xx,2211xxxx，又sin xx.()0 x；10 x时，1ln01xx，2211xxxx,又sin xx.()0 x.0 x为()x在（-1，1）内最小点，而（0）=0当-1x1 时.()0 x，即21lncos112xxxxx2012 年全国硕士研究生入学统一考试生命不息 -11-奋斗不止19.解析：1)212202,1212()()2()0(),xxfxfxfxf xC eC e代入12()()20,1.xfxf xeCC得()xfxe2）220.xxtyeedt22021.xxtyxeedt22222220002422(12)2.xxxxtxttyeedtx eedt

15、xxedtx令00.yx得当0 x时.0y,当0 x时，0y故(0，0)为曲线220()()xyf xftdt的拐点.20.解析：（I）534A1(1)1a aa（II）当1a及1a时，Ax=b 有无穷多个解.当1a时，=11100120101100110000002012 年全国硕士研究生入学统一考试生命不息 -12-奋斗不止通解为12111010 xk当1a时.1100110010011010101100110001101001000000通解为10111010 xk21.解析：(1)ATA=1010010111aa1010111001aa22201011113aaaaaaTT(A A)x

16、x秩为2.TT(A A)2(A A)(A)2)rrr也可以利用TA A01a(T22A A(3)(1)aa)(II)令T202A A=B=0222242012 年全国硕士研究生入学统一考试生命不息 -13-奋斗不止由E解0,2,6当时,由(0)0EA x即 Ax=0 得1111.当2时,由(2)0EA x110.当6时,由(6E-A)x=0112.取1r=231111111,1,1.326102rr令2223111326111.3261203626Qfxx xQyyy22.解析：1）142,212P XYP XY22,11,20P XYP XYP XY2012 年全国硕士研究生入学统一考试生命

17、不息 -14-奋斗不止2,10,1,20.P XYP XY11(1,1.3P XYP XY(,)X Y联合分布律为Y X 0 1 2 ip0 1 2 140 140 130 1120 112121316jp1313131 2 0,02,1P XYP XYP XY=11044.2）cov(,)cov(,).XY YX YDYEXYEXEYDY2252,1,.333EXEYEYEXY2012 年全国硕士研究生入学统一考试生命不息 -15-奋斗不止2252cov(,)11.3333XY Ycov(,)0,0.XYX YEXYEXEY23.解析：1）10(1)()0,0 xXexXEFxx10(1)(

18、)0,0yYeyYEFyy.()min(,)VFxPX Yx1min(,)1,PX YxP Xx Yx1P Xx P Yx11()1()XYFxFx21,000 xexx.220()00 xvexfxx.2）()max(,),UFxPX YxP Xx Yx22(1),0()0,0 xXexP Xx P YxxxF.2(1),0()0,0 xxUeexfxx.20002(1)22xxxxEUxeedxxe dxxedx2012 年全国硕士研究生入学统一考试生命不息 -16-奋斗不止2012(2)(2)(2)2xx edx1132 1(2)2 1-1=22222001112(2)(2)(2)222

19、xxEVxedxx edx.()2.E UV2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题选择题：18 小题，每小题4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）曲线221xxyx渐近线的条数为（）（A）0（B）1（C）2（D）3（2）设函数2()(1)(2)xxnxf xeeen（-），其中 n 为正整数，则(0)f=（）（A）1(1)(1)!nn（B）(1)(1)!nn（C）1(1)!nn（D）(1)!nn（3）设函数()f t连续，则二次积分22202cos()df rrdr=（）（A）2224222202()x

20、x xdxxy f xydy（B）22242202()xx xdxf xydy（C）2222220214()2xdxxy f xydyxx2012 年全国硕士研究生入学统一考试生命不息 -17-奋斗不止（D）22220214()2xdxf xydyxx（4）已知级数11(1)sinninn绝对收敛，21(1)nin条件收敛，则范围为（）（A）012（B）12 1（C）132（D）320a）。2012 年全国硕士研究生入学统一考试生命不息 -45-奋斗不止（）求L的方程；（）当L与直线yax所围成平面图形的面积为83时，确定a的值。（19）（本题满分10 分）求幂级数1211121nnnxnn的

21、收敛域及和函数()s x。（20）（本题满分13 分）设 4 维向量组TTT12341,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,aaaT4,4,4,4a问a为何值时1234,线性相关？当1234,线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出。（21）（本题满分13 分）设 3 阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量TT121,2,1,0,1,1是线性方程组0Ax的两个解。（）求A的特征值与特征向量；（）求正交矩阵Q和对角矩阵,使得TQ AQ；（）求A及632AE，其中E为 3 阶单位矩阵。（22）（本题满分13 分）设随机变量X的概率密度为1,1021,02

22、40,Xxfxx其他，令2,YXF x y为二维随机变量(,)X Y的分布函数。（）求Y的概率密度Yfy；（）Cov(,)X Y；2012 年全国硕士研究生入学统一考试生命不息 -46-奋斗不止（）1,42F。（23）（本题满分13 分）设总体X的概率密度为,01,;1,12,0,xfxx其他,其中是未知参数01，12n,.,XXX为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值12,.,nx xx中小于 1 的个数。（）求的矩估计；（）求的最大似然估计。2012 年全国硕士研究生入学统一考试生命不息 -47-奋斗不止2005年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题：本题共6 小题，每小题4

23、分，满分24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.(1)极限22limsin1xxxx_.(2)微分方程0 xyy满足初始条件12y的特解为 _.(3)设二元函数1 ln 1xyzxexy，则1,0dz_.(4)设行 向量 组2,1,1,1,2,1,3,2,1,4,3,2,1a aa线 性 相关，且1a，则a_.(5)从数1,2,3,4中任取一个数，记为X，再从1,X中任取一个数，记为Y，则2P Y_.(6)设二维随机变量,X Y的概率分布为XY0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 若随机事件0X与1XY相互独立，则a_，b_.二、选择题：本题共8 小题，每小题4 分，满分24 分.在每小题给

24、出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(7)当a取下列哪个值时，函数322912fxxxxa恰有两个不同的零点.（A）2（B）4（C）6（D）8(8)设2222222123cos,cos,cosDDDIxy dIxydIxyd，其中22,1Dx yxy，则（A）321III（B）123III（C）213III（D）312III(9)设0,1,2,nan若1nna发散，111nnna收敛，则下列结论正确的是2012 年全国硕士研究生入学统一考试生命不息 -48-奋斗不止（A）211nna收敛，21nna发散（B）21nna收敛，211nna发散（C）212

25、1nnnaa收敛（D）2121nnnaa收敛(10)设sincosfxxxx，下列命题中正确的是（A）0f是极大值，2f是极小值（B）0f是极小值，2f是极大值（C）0f是极大值，2f也是极大值（D）0f是极小值，2f也是极小值(11)以下四个命题中，正确的是（A）若fx在0,1内连续，则fx在0,1内有界（B）若fx在0,1内连续，则fx在0,1内有界（C）若fx在0,1内有界，则fx在0,1内有界（D）若fx在0,1内有界，则fx在0,1内有界(12)设矩阵3 3ijAa满足*TAA，其中*A为A的伴随矩阵，TA为A的转置矩阵.若111213,aaa为三个相等的正数，则11a为（A）33（

26、B）3（C）13（D）3(13)设12,是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为12,，则112,A线性无关的充分必要条件是（A）10（B）20（C）10（D）20(14)（注：该题已经不在数三考纲范围内）2012 年全国硕士研究生入学统一考试生命不息 -49-奋斗不止三、解答题：本题共9 小题，满分94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分8 分）求011lim1xxxex.（16）（本题满分8 分）设f u具有二阶连续导数，且,yxg x yfyfxy，求222222ggxyxy.（17）（本题满分9 分）计算二重积分221

27、Dxyd，其中,01,01Dx yxy.（18）（本题满分9 分）求幂级数211121nnxn在区间1,1内的和函数S x.（19）（本题满分8 分）设,fxg x在0,1上的导数连续，且00,0,0ffxgx.证明：对任何0,1，有1001ag x fx dxfx gx dxfa g（20）（本题满分13 分）已知齐次线性方程组（）123123123230,2350,0,xxxxxxxxax和（）12321230,210,xbxcxxb xcx同解，求,a b c的值.（21）（本题满分13 分）设TACDCB为正定矩阵，其中,A B分别为 m 阶，n 阶对称矩阵，C为mn阶矩阵.2012

28、年全国硕士研究生入学统一考试生命不息 -50-奋斗不止（）计算TP DP，其中1mnEA CPOE；（）利用（）的结果判断矩阵1TBC A C是否为正定矩阵，并证明你的结论.（22）（本题满分13 分）设二维随机变量,X Y的概率密度为0,01,02,1,xyxfx y其它.求：（）,X Y的边缘概率密度,XYfxfy；（）2ZXY的概率密度Zfz；（）1122P YX.（23）（本题满分13 分）设12,2nXXXn为来自总体20,N的简单随机样本，其样本均值为X，记,1,2,iiYXX in.（）求iY的方差,1,2,iDY in；（）求1Y与nY的协方差1,nCov Y Y；（）若21nc YY是2的无偏估计量，求常数c.