五年级奥数正式教材老师用.pdf

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1、智合教育暑期蓝天行动-1-目录目录.-1-（一）数的整除.-2-（二）数字谜.-6-横式字谜.-6-竖式字谜.-8-（三）定义新运算.-11-（四）行程问题.-15-追击及遇问题.-15-火车过桥.-19-（五）列方程解应用题.-22-（六）抽屉原理.-27-（七）不规则图形面积计算（1）.-30-（八）不规则图形面积计算（2）.-34-（九）逻辑推理.-39-（十）牛吃草.-41-（十一）流水行船.-45-（十二）奇数与偶数.-48-（十三）周期性问题.-52-（十四）植树问题.-56-（十五）有趣的树阵图.-60-（十六）有趣的树阵图练习.-64-智合教育暑期蓝天行动-2-（一）数的整除如

2、果整除 a 除以不为零数 b，所得的商为整数而余数为0，我们就说 a 能被b 整除，或叫 b 能整除 a。如果 a 能被 b 整除，那么，b 叫做 a 的约数，a 叫做b 的倍数。数的整除的特征：（1）能被 2 整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是2、4、6、8、0，那么这个整数一定能被2 整除。（2）能被 3（或 9）整除的数的特征：如果一个整数的各个数字之和能被3（或 9）整除，那么这个整数一定能被3（或 9）整除。（3）能被 4（或 25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或 25）整除，那么这个数就一定能被4（或 25）整除。（4）能被 5 整除的数的特征：如果一个整数

3、的个位数字是0 或 5，那么这个整数一定能被 5 整除。（5）能被 6 整除的数的特征：如果一个整数能被2 整除，又能被 3 整除，那么这个数就一定能被6 整除。（6）能被 7（或 11 或 13）整除的数的特征：一个整数分成两个数，末三位为一个数，其余各位为另一个数，如果这两个数之差是0 或是 7（或 11 或 13）的倍数，这个数就能被7（或 11 或 13）整除。（7）能被 8（或 125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或 125）整除，那么这个数就一定能被8（或 125）整除。（8）能被 11 整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能

4、被11 整除，那么它必能被11 整除。一、例题与方法指导例 1.一个六位数 2356是 88的倍数,这个数除以 88所得的商是 _或_.思路导航：一个数如果是 88 的倍数,这个数必然既是 8 的倍数,又是 11 的倍数.根据 8的倍数,它的末三位数肯定也是8 的倍数,从而可知这个六位数个位上的数是0或 8.而 11 的倍数奇偶位上数字和的差应是0 或 11的倍数,从已知的四个数看,这个六位数奇偶位上数字的和是相等的,要使奇偶位上数字和差为0,两个方框内填入的数字是相同的,因此这个六位数有两种可能23 0 56 0 或 23 8 56 8 又 23056088=2620 23856888=27

5、11 所以,本题的答案是 2620 或 2711.例 2.123456789,这个十一位数能被 36整除,那么这个数的个位上的智合教育暑期蓝天行动-3-数最小是 _.思路导航：因为 36=94,所以这个十一位数既能被9 整除,又能被 4 整除.因为 1+2+,+9=45，由能被 9 整除的数的特征，（可知+之和是 0（0+0）、9（1+8，8+1，2+7，7+2，3+6，6+3，4+5，5+4）和 18（9+9）.再由能被 4 整除的数的特征:这个数的末尾两位数是4 的倍数,可知是 00,04,，36，,，72，,96.这样,这个十一位数个位上有0,2,6 三种可能性.所以,这个数的个位上的数

6、最小是0.例 3.下面一个 1983位数 33,344,4中间漏写了一个数字(方框),已 991个 991个知这个多位数被 7 整除，那么中间方框内的数字是_.思路导航：33,344,4 991个 991个=33,310993+3410990+44,4 990 个 990个因为 111111能被 7 整除，所以 33,3 和 44,4 都能被 7 整除,所以只要 990个 990个34 能被 7 整除，原数即可被7 整除.故得中间方框内的数字是6.例 4.有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是 11的倍数.这三个数是 _.思路导航：三个连续的两位数其和必是3的倍数,已知其和是 11的倍

7、数,而 3与 11互质,所以和是 33 的倍数,能被 33 整除的两位数只有 3 个,它们是 33、66、99.所以有当和为 33 时,三个数是 10,11,12；当和为 66 时,三个数是 21,22,23；当和为 99 时,三个数是 32,33,34.所以，答案为 10,11,12或 21,22,23 或 32,33,34。注 “三个连续自然数的和必能被3 整除”可证明如下：设三个连续自然数为n,n+1,n+2,则n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1)所以，)2()1(nnn能被 3 整除.二、巩固训练1.有这样的两位数,它的两个数字之和能被4 整除,而且比这个两位数大1的数,

8、它的两个数字之和也能被4 整除.所有这样的两位数的和是 _.智合教育暑期蓝天行动-4-2.一个小于 200的自然数,它的每位数字都是奇数,并且它是两个两位数的乘积,那么这个自然数是 _.3.任取一个四位数乘3456,用A表示其积的各位数字之和,用B表示A的各位数字之和,C表示 B的各位数字之和,那么 C是_.4.有 0、1、4、7、9 五个数字，从中选出四个数字组成不同的四位数，如果把其中能被 3 整除的四位数从小到大排列起来，第五个数的末位数字是 _.1.118 符合条件的两位数的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,如果十位数不变,则个位增加 1,其和便不能整除4,因此个位数一

9、定是9,这种两位数有:39、79.所以,所求的和是 39+79=118.2 195 因为这个数可以分解为两个两位数的积，而且1515=225200,所以其中至少有 1 个因数小于 15,而且这些因数均需是奇数,但 11不可能符合条件,因为对于小于 200 的自然数凡 11 的倍数,具有隔位数字之和相等的特点,个位百位若是奇数,十位必是偶数.所以只需检查 13 的倍数中小于 200的三位数 13 13=169不合要求,1315=195适合要求.所以,答案应是 195.3.9 根据题意,两个四位数相乘其积的位数是七位数或八位数两种可能.因为 3456=384 9,所以任何一个四位数乘3456,其积

10、一定能被 9 整除,根据能被 9 整除的数的特征,可知其积的各位数字之和A也能被 9整除,所以 A有以下八种可能取值:9,18,27,36,45,54,63,72.从而 A的各位数字之和 B总是 9,B的各位数字之和 C也总是 9.4.9 0+1+4+7+9=21能被 3 整除,从中去掉 0 或 9 选出的两组四个数字组成的智合教育暑期蓝天行动-5-四位数能被 3整除.即有 0,1,4,7或 1,4,7,9两种选择组成四位数,由小到大排列为:1047,1074,1407,1470,1479,1497,.所以第五个数的末位数字是9.三、拓展提升1.找出四个互不相同的自然数,使得对于其中任何两个数

11、,它们的和总可以被它们的差整除,如果要求这四个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小,那么这四个数里中间两个数的和是多少？2 只修改 21475的某一位数字,就可知使修改后的数能被225整除,怎样修改？3 500 名士兵排成一列横队.第一次从左到右 1、2、3、4、5（1 至 5）名报数；第二次反过来从右到左1、2、3、4、5、6（1 至 6）报数，既报 1 又报 6的士兵有多少名？4.试问,能否将由 1 至 100这 100个自然数排列在圆周上,使得在任何 5 个相连的数中,都至少有两个数可被3 整除？如果回答：“可以”，则只要举出一种排法；如果回答：“不能”，则需给出说明.答案1.如果最小的

12、数是1,则和 1 一起能符合“和被差整除”这一要求的数只有 2 和 3 两数，因此最小的数必须大于或等于2.我们先考察 2、3、4、5 这四个数,仍不符合要求,因为 5+2=7,不能被 5-2=3 整除.再往下就是 2、3、4、6,经试算,这四个数符合要求.所以,本题的答案是(3+4)=7.2.因为 225=25 9,要使修改后的数能被25整除,就要既能被 25 整除,又能被 9 整除,被 25 整除不成问题,末两位数 75 不必修改,只要看前三个数字即可,根据某数的各位数字之和是9 的倍数,则这个数能被 9 整除的特征,因为2+1+4+7+5=19,19=18+1,19=27-8,所以不难排

13、出以下四种改法:把 1 改为 0；把 4改为 3；把 1 改为 9；把 2 改为 1.3.若将这 500名士兵从右到左依次编号,则第一次报数时,编号能被 5整除的士兵报 1；第二次报数时，编号能被6 整除的士兵报 6，所以既报 1 又报 6 的士兵的编号既能被5 整除又能被 6 整除，即能被 30 整除，在 1 至 500 这 500 个自然数中能被 30 整除的数共有 16 个，所以既报 1 又报 6 的士兵共有 16 名.4.不能.假设能够按照题目要求在圆周上排列所述的100 个数,我们来按所排列顺序将它们每 5 个分为一组,可得 20 组,其中每两组都没有共同的数,于是,在每一组的 5个

14、数中都至少有两个数是3 的倍数.从而一共有不少于 40个数是 3 的倍数.但事实上,在 1 至 100 的自然数中有 33 个数是 3 的倍数,导致矛盾.智合教育暑期蓝天行动-6-（二）数字谜小朋友们都玩过字谜吧，就是一种文字游戏，例如“空中码头”（打一城市名）。谜底你还记得吗？记不得也没关系，想想“空中”指什么？“天”。这个地名第 1 个字可能是天。“码头”指什么呢？码头又称渡口，联系这个地名开头是“天”字，容易想到“天津”这个地名，而“津”正好又是“渡口”的意思。这样谜底就出来了：天津。算式谜又被称为“虫食算”，意思是说一道算式中的某些数字被虫子吃掉了无法辨认，需要运用四则运算各部分之间的

15、关系，通过推理判定被吃掉的数字，把算式还原。“虫食算”主要指横式算式谜和竖式算式谜，其中未知的数字常常用、等图形符号或字母表示。文字算式谜是前两种算式谜的延伸，用文字或字母来代替未知的数字，在同一道算式中不同的文字或字母表示不同的数字，相同的数字或字母表示同一个数字。文字算式谜也是最难的一种算式谜。在数学里面，文字也可以组成许许多多的数学游戏，就让我们一起来看看吧。横式字谜一、例题与方法指导例 1，8，97 在上面的 3 个方框内分别填入恰当的数字，可以使得这3 个数的平均数是150。那么所填的 3 个数字之和是多少？思路导航：150*3-8-97-5=340 所以 3 个数之和为 3+4+5

16、=12。例 2 在下列算式的中填上适当的数字，使得等式成立：（1）6456=0，（2）7837=1，（3）332=17，（4）8 58=6。分析：（1）6104/56=109（2）7548/37=204（3）3393/29=117（4）8468/58=146 例 3 在算式 40796=99,98的各个方框内填入适当的数字后，就可以使其成为正确的等式。求其中的除数。分析：40796/102=399.98。例 4 我学数学乐我学数学乐=数数数学数数学学数学在上面的乘法算式中，“我、学、数、乐”分别代表的4 个不同的数字。如智合教育暑期蓝天行动-7-果“乐”代表 9，那么“我数学”代表的三位数是多

17、少？分析：学=1，我=8，数=6 ，81619*81619=6661661161 例 5 （）=24在式中的 4 个方框内填入 4 个不同的一位数，使左边的数比右边的数小，并且等式成立。思路导航：这 样，我 们 可 以 先 用 字 母 代 替 数 字，原 等 式 写 成：a/(b/c/d)=a/(b/c*d)=a*c*d/b，(abc、”等。表示运算意智合教育暑期蓝天行动-12-义的表达式，通常是使用四则运算符号，例如ab=3a-3b，新运算使用的符号是，而等号右边表示新运算意义的则是四则运算符号。正确解答定义新运算这类问题的关键是要确切理解新运算的意义，严格按照规定的法则进行运算。如果没有给

18、出用字母表示的规则，则应通过给出的具体的数字表达式，先求出表示定义规则的一般表达式，方可进行运算。值得注意的是：定义新运算一般是不满足四则运算中的运算律和运算性质，所以，不能盲目地运用定律和运算性质解题。一、例题与方法指导例 1.设 ab 都表示数，规定 ab 表示 a 的 4 倍减去 b 的 3 倍，即 ab=4a-3b,试计算 56，65。解 56-54-63=20-18=2 65=64-53=24-15=9 说明例 1 定义的没有交换律，计算中不得将前后的数交换。例 2.对于两个数 a、b,规定 ab 表示 3a+2b,试计算（56）7，5（67）。思路导航：先做括号内的运算。解（56）

19、7=（53+62）7=277=273+72=95 5（67）=5（63+72）=532=53+322=79 说明本题定义的运算不满足结合律。这是与常规的运算有区别的。例 3.已知 23=234，42=45，一般地，对自然数a、b，ab 表示 a(a+1),（a+b-1）.计算（63）-（52）。思路导航：原式=67-5 6 =336-30 规定：a=a+(a+1)+(a+2)+,+（a+b-1）,其中 a,b 表示自然数。例 4.求 1100的值。已知 x10=75,求 x.思路导航：（1）原式=1+2+3+,+100=（1+100）1002=5050（2）原式即 x+(x+1)+(x+2)+

20、,+（X+9）=75,所以10X+(1+2+3+,+9)=75 10 x+45=75 10 x=30 x=3 二、巩固训练智合教育暑期蓝天行动-13-1.若对所有 b,a b=ax,x 是一个与 b 无关的常数；ab=(a+b)2,且（13）3=1（33）。求（14）2 的值。分析注意本题有两种运算，由（13）3=1（33），可求出 x.解因为（13）3=1（33），所以（1x）即（x+3）2=x x+3=2x x=3 因为（14）2 =（14）2 =（4+2）2 =3 2.如果规定：=234，=345，=456，,，=8910，求+-+-+-的值。解题思路依题意可以看出：定义的新运算为连续三

21、个数的乘积，而且，里的数就是三个连续数中的中间的哪个数，即是2，3，4 三个连续的乘积，是3，4，5三个连续睡的乘积，从而不难求出+-+-+-的值。解：原式=8910+789-678+567-456+345-234=720+504+-339+210-120+60-24=1014 三、能力提升智合教育暑期蓝天行动-14-答案智合教育暑期蓝天行动-15-（四）行程问题行程问题是小学奥数中变化最多的一个专题，不论在奥数竞赛中还是在“小升初”的升学考试中，都拥有非常重要的地位。行程问题中包括：火车过桥、流水行船、沿途数车、猎狗追兔、环形行程、多人行程，等等。每一类问题都有自己的特点，解决方法也有所不同

22、，但是，行程问题无论怎么变化，都离不开“三个量，三个关系”：这三个量是：路程(s)、速度(v)、时间(t)三个关系：1.简单行程：路程=速度 时间2.相遇问题：路程和 =速度和 时间3.追击问题：路程差 =速度差 时间牢牢把握住这三个量以及它们之间的三种关系，就会发现解决行程问题还是有很多方法可循的。追击及遇问题一、例题与方法指导例 1.有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙相背而行。甲每分钟走40 米，乙每分钟走 38 米，丙每分钟走36 米。在途中，甲和乙相遇后 3 分钟和丙相遇。问：这个花圃的周长是多少米？思路导航：这个三人行程的问题由两个相遇、一

23、个追击组成，题目中所给的条件只有三个人的速度，以及一个“3分钟”的时间。智合教育暑期蓝天行动-16-第一个相遇：在 3 分钟的时间里，甲、丙的路程和为（40+36）3=228（米）第一个追击：这 228米是由于在开始到甲、乙相遇的时间里，乙、丙两人的速度差造成的，是逆向的追击过程，可求出甲、乙相遇的时间为228（38-36）=114（分钟）第二个相遇：在 114分钟里，甲、乙二人一起走完了全程所以花圃周长为（40+38）114=8892（米）我们把这样一个抽象的三人行程问题分解为三个简单的问题，使解题思路更加清晰。例 2.东西两地间有一条公路长217.5千米，甲车以每小时25 千米的速度从东到

24、西地，1.5 小时后，乙车从西地出发，再经过3 小时两车还相距15 千米。乙车每小时行多少千米？思路导航：从图中可以看出，要求乙车每小时行多少千米，关键要知道乙车已经行了多少路程和行这段路程所用的时间。解：（1）甲车一共行多少小时？1.5+3=4.5（小时）（2）甲车一共行多少千米路程？25 4.5=112.5（千米）（3）乙车一共行多少千米路程？217.5-112.5=105（千米）（4）乙车每小时行多少千米？(105-15)3=30（千米）答：乙车每小时行30 千米。例 3.兄妹二人同时从家里出发到学校去，家与学校相距1400 米。哥哥骑自行车每分钟行 200 米，妹妹每分钟走80 米。哥

25、哥刚到学校就立即返回来在途中与妹妹相遇。从出发到相遇，妹妹走了几分钟？相遇处离学校有多少米？思路导航：从图中可以看出，哥与妹妹相遇时他们所走的路程的和相当于从家到学校距离的2 倍。因此本题可以转化为“哥哥妹妹相距 2800米，两人同时出发，相向而行，哥哥每分钟行 200 米，妹妹每分钟行 80 米，经过几分钟相遇？”的问题，解答就容易了。解：（1）从家到学校的距离的2 倍：1400 2=2800（米）（2）从出发到相遇所需的时间：2800（200+80）=10（分）（3）相遇处到学校的距离：1400-80 10=600（米）答：从出发到相遇，妹妹走了10 分钟，相遇处离学校有600 米。二、巩

26、固训练智合教育暑期蓝天行动-17-1.两城市相距 328 千米，甲、乙两人骑自行车同时从两城出发，相向而行。甲每小时行 28 千米，乙每小时行 22 千米，乙在中途修车耽误1 小时，然后继续行驶，与甲相遇，求出发到相遇经过多少时间？分析:如果乙在中途不停车，那么甲、乙两人从出发到相遇共行路程的和：328+22 1=350（千米），两车的速度和：28+22=50（千米/小时），然后根据相遇问题“路程和 速度和=相遇时间”得 350 50=7（小时）解：（328+22 1）（28+22）=350 50=7（小时）解法 2：（328-22 1）（28+22）=300 50=6（小时）6+1=7（小时

27、）答：从出发到相遇经过了7 小时。2.快车和慢车同时从甲乙两地相对开出，已知快车每小时行40千米，经过3 小时快车已过中点12 千米与慢车相遇，慢车每小时行多少千米？分析:从图中可知：快车3 小时行的路程 40 3=120 千米，比全程的一半多12 千米，全程的一半是 120-12=108千米。而慢车 3 小时行的路程比全程的一半还少12 千米，所以慢车 3 小时行的路程是 108-12=96千米，由此可以求出慢车的速度。解：甲乙两地路程的一半：40 3-12=108（千米）慢车 3 小时行的路程：108-12=96（千米）慢车的速度：96 3=32（千米）答：慢车每小时行32 千米。3.小华

28、和小明同时从甲、乙两城相向而行，在离甲城85 千米处相遇，到达对方城市后立即以原速沿原路返回，又在离甲城35 千米处相遇，两城相距多少千米？分析:智合教育暑期蓝天行动-18-从图上可以看出，小华和小明两人第一次相遇时，行了一个全程，小华行了85千米。当小华和小明第二次相遇时，共行了3 个全程，这时小华共行了3 个 85千米，如果再加上35 千米，相当于小华行了2 个全程，甲乙两地全长也就可以求出来了。解：（1）甲乙出发到第二次相遇时，小华共行了多少千米？85 3=255（千米）（2）甲乙两城相距多少千米？（255+35）2=290 2=145（千米）答：两城相距 145 千米。三、拓展提升1.

29、客车和货车同时从甲、乙两地相对开出，客车每小时行54 千米，货车每小时行 48 千米，两车相遇后又以原来的速度继续前进，客车到达乙站后立即返回，货车到达甲站后也立即返回，两车再次相遇时，客车比货车多行216 千米。求甲乙两站相距多少千米？分析如图，从出发到第二次相遇时，客车和货车共行3 个全程，在这段时间里客车一共比货车多行 216 千米，客车每小时比货车快54-48=6千米，这样可以求出行3个全程的时间为 216 6=36 小时，由此可求出行一个全程时间：36 3=12小时，因而可以求出甲乙两站的距离。解：从出发到第二次是两车行驶的时间：216（54-48）=36（小时）从出发到第一次相遇所

30、用的时间：36 3=12（小时）甲乙两站的距离：（54+48）12=1224（千米）答：求甲乙两站相距1224 千米。2.甲、乙、丙三辆车同时从A 地出发到 B 地去，甲、乙两车速度分别为每小时 60 千米和 48 千米，有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后6小时、7 小时、8 小时先后与甲、乙、丙三车相遇。求丙车的速度。分析:智合教育暑期蓝天行动-19-解答的关键是求出卡车的速度，从图上明显看出，甲车6 小时的行程与乙车7小时的行程差正好是卡车的速度。再根据速度和、相遇时间和路程三者之间的关系，求出丙车速度。解：（1）卡车的速度：（60 6-48 7）（7-6）=24 1=24（千米）（2）

31、AB 两地之间的距离：（60+24）6=504（千米）（3）丙车与卡车的速度和：504 8=64（千米）（4）丙车的速度：64-24=40（千米/小时）答：丙车的速度每小时40千米。3.两列火车从某站相背而行，甲车每小时行58 千米，先开出2 小时后，车以每小时 62 千米才开出，乙车开出5 小时后，两列火车相距多少千米？火车过桥过桥问题也是行程问题的一种。首先要弄清列车通过一座桥是指从车头上桥到车尾离桥。列车过桥的总路程是桥长加车长，这是解决过桥问题的关键。过桥问题也要用到一般行程问题的基本数量关系：过桥问题的一般数量关系是：因为：过桥的路程=桥长+车长所以有：通过桥的时间=（桥长+车长）车

32、速车速=（桥长+车长）过桥时间公式的变形：桥长=车速过桥时间 车长车长=车速过桥时间 桥长后三个都是根据第二个关系式逆推出的。火车通过隧道的问题和过桥问题的道理是一样的，也要通过上面的数量关系来解决。一、例题与方法指导例 1.一列客车经过南京长江大桥，大桥长6700米，这列客车长100米，火车每分钟行 400 米，这列客车经过长江大桥需要多少分钟？思路导航：智合教育暑期蓝天行动-20-从火车头上桥，到火车尾离桥，这之间是火车通过这座大桥的过程，也就是过桥的路程是桥长+车长。通过“过桥的路程”和“车速”就可以求出火车过桥的时间。（1）过桥路程：6700+100=6800（米）（2）过桥时间：68

33、00400=17（分）答：这列客车通过南京长江大桥需要17 分钟。例 2.一列火车长 160米，全车通过 440 米的桥需要 30 秒钟，这列火车每秒行多少米？思路导航：要想求火车过桥的速度，就要知道“过桥的路程”和过桥的时间。（1）过桥的路程：160+440=600（米）（2）火车的速度：60030=20（米）答：这列火车每秒行20 米。例 3.某列火车通过 360 米的第一个隧道用了24秒钟，接着通过第二个长216 米的隧道用了 16秒钟，求这列火车的长度？思路导航：火车通过第一个隧道比通过第二个隧道多用了8秒，为什么多用8 秒呢？原因是第一个隧道比第二个隧道长360216=144（米），

34、这 144米正好和 8 秒相对应，这样可以求出车速。火车24 秒行进的路程包括隧道长和火车长，减去已知的隧道长，就是火车长。（1）第一个隧道比第二个长多少米？360216=144（米）（2）火车通过第一个隧道比第二个多用几秒？2416=8（秒）（3）火车每秒行多少米？1448=18（米）（4）火车 24 秒行多少米？1824=432（米）（5）火车长多少米？432360=72（米）答：这列火车长 72 米。二、巩固训练智合教育暑期蓝天行动-21-1.某列火车通过 342 米的隧道用了 23 秒，接着通过 234 米的隧道用了 17秒，这列火车与另一列长88米，速度为每秒 22 米的列车错车而过

35、，问需要几秒钟？思路导航：通过前两个已知条件，我们可以求出火车的车速和火车的车身长。（342234）（2317）=18（米）,车速1823342=72（米）,车身长两车错车是从车头相遇开始，直到两车尾离开才是错车结束，两车错车的总路程是两个车身之和，两车是做相向运动，所以，根据“路程速度和=相遇时间”，可以求出两车错车需要的时间。（72+88）（18+22）=4（秒）答：两车错车而过，需要4 秒钟。2.一列火车全长 265 米，每秒行驶 25 米，全车要通过一座 985米长的大桥，问需要多少秒钟？（265+985）25=50（秒）答：需要 50秒钟。3.一列长 50 米的火车，穿过 200 米

36、长的山洞用了 25 秒钟，这列火车每秒行多少米？（200+50）25=10（米）答：这列火车每秒行10 米。三、拓展提升1.一列长 240 米的火车以每秒 30 米的速度过一座桥，从车头上桥到车尾离桥用了 1 分钟，求这座桥长多少米？1 分=60 秒3060240=1560（米）答：这座桥长 1560米。2.一列货车全长 240 米，每秒行驶 15 米，全车连续通过一条隧道和一座桥，共用 40 秒钟，桥长 150 米，问这条隧道长多少米？1540240150=210（米）答：这条隧道长 210 米。3.一列火车开过一座长1200 米的大桥，需要 75 秒钟，火车以同样的速度开过路旁的电线杆只需

37、15 秒钟，求火车长多少米？1200（7515）=20（米）2015=300（米）答：火车长 300米。智合教育暑期蓝天行动-22-4.在上下行轨道上，两列火车相对开来，一列火车长182 米，每秒行 18米，另一列火车每秒行17米，两列火车错车而过用了10 秒钟，求另一列火车长多少米？（18+17）10182=168（米）答：另一列火车长168米。（五）列方程解应用题同学们在解答数学问题时，经常遇到一些数量关系较复杂的，或较隐蔽的逆向问题。用算术方法解答比较困难，如果用方程解就简便得多。它可以进一步培养我们分析问题和解决问题的能力，抽象思维能力，列方程解应用题一般分为五步：（一）审题；（弄清已

38、知数和未知数以及它们之间的关系）（二）用字母表示未知数；（通常用“x”表示）（三）根据等量关系列出方程；（四）解方程求出未知数的值；（五）验算并答题。一、例题与方法指导例 1.金台小学学生参加申奥植树活动，六年级共植树252 棵，比五年级植树总数的114倍少 8 棵，五年级植树多少棵？思路导航：六年级比五年级植树总数的114倍少 8 棵，就是六年级的114倍的数少 8，等于六年级植树的总数。等量关系是：五年级的114倍8六年级的植树总数。解：设五年级植树x 棵，根据题意列方程，得1148252x1142528x114260 xxx260114208验算：把x208代入原方程左边11420882

39、52智合教育暑期蓝天行动-23-右边 252 左边右边x208是原方程的解。答：五年级植树208棵。例 2.一瓶农药 700 克，其中水比硫磺粉的6 倍还多 25 克，含硫磺粉的重量是石灰的 2 倍，这瓶农药里，水、硫磺粉和石灰粉各多少克？思路导航：这是道比较复杂的“和倍应用题”，硫磺粉和水有直接关系，硫磺粉和石灰也有直接关系，因此应设未知数硫磺粉为x 克。水的重量是硫磺的6 倍还多 25克，也就是（6x25）克，石灰的重量就是硫磺粉的重量除以2，也就是12x克。等量关系式表示为：水硫磺粉石灰农药重量解：设硫磺粉的重量是x 克，那么，水的重量是（625x）克，石灰重量是12x克。根据题意列方程

40、，解。62512700 xxx71270025x75675.xx90验算：把x90代入原方程左边69025901290700右边 700 左边右边x90是原方程的解。例 3.两袋米同样重，第一袋吃去 18 千克，第二袋吃去 25 千克，余下的第一袋刚好是第二袋的2 倍，两袋原来各有多少千克？思路导航：题中告诉我们原来两袋大米同样重，解答时可以设两袋大米原来各重x 千克，第一袋剩下的则是()x18千克，第二袋剩下的则是()x25千克。根据题意，第一袋剩下的大米是第二袋剩下的2 倍，也就是说，如果把第二袋剩下的扩大2倍就和第一袋剩下的相等。解：设两袋大米原来的重量各为x 千克，根据题意，列方程得(

41、)xx2521825018xx智合教育暑期蓝天行动-24-25018xxx32验算：左边()3225214右边 321814 左边右边 x32 是原方程的解答：两袋大米原来各重32千克。二、巩固训练1.李红看一本小说，上午看了 60页，相当于下午看的页数的78又 4 页，李红这天共看了多少页小说？思路导航：这道题和求的问题是这一天共看了多少页小说。题目中已知上午看了60 页，所以，只要求出下午看的页数，就可以了。题目中明确告诉了我们等量关系即“上午看了 60 页，相当于下午看的页数的78又 4 页”。等量关系：下午看的页数784上午看的页数解：法（一）：设下午看了 x 页。78460 x786

42、04x7856xxx567864 6064124 页答：这天共看了124页。解：解法（二）：这一天共看了 x 页。()x6078460786078460 x78605254x.781085x.智合教育暑期蓝天行动-25-xx108578124.答：这一天共看了124页。2.已知一个长方形的长是20米，如果把它的宽减少4 米，新得到一个长方形，它的面积想法于原来长方形的面积的57，原来长方形的周长是多少？思路导航：这道题的所求问题是求原来长方形的周长，而题目中明确告诉了我们等量关系即“新得到的长方形的面积相当于原来长方形面积的57。”如果没有原来长方形的宽为 x 米，原来长方形的面积就是20 x

43、 平方米；新的长方形的宽就是（x4）米；新的长方形面积就是204()x平方米。等量关系：原长方形面积57新长方形面积解：设原长方形的宽是x 米根据题意列方程，得2042057()xx20801007xx20100780 xx40780 xxx8040714()1420268答：原来长方形的周长是68 米。3.两根绳共长 90米，已知第一根绳长的25等于第二根绳长的12，求两根绳各长多少米？思路导航：智合教育暑期蓝天行动-26-解答时，首先抓住题目中的等量关系“第一根绳长的25等于第二根绳长的12”再根据第一根绳长为（90 x）米，就可以列出方程。等量关系：第一根绳长25第二根绳长12解：设第一

44、根绳长x 米，第二根绳长（90 x）米，根据题意列方程，得251290 xx()254512xx91045xxx4591050 905040 答：第一根绳长50米，第二根绳长40米。三、拓展提升 1.甲乙两个粮仓共有粮食55 万千克，如果甲仓运出35，乙仓运出 6 万千克，则甲乙两仓存粮相等，甲、乙两仓原来各存粮多少万千克？解：设甲仓原有粮食有x 万千克，则乙仓原有粮食（55x）万千克。根据题意列方程，得()135556xx2549xxxx25497549xxx497535 553520 答：甲仓原有 35 万千克，乙仓原有20万千克。2.用 5千克含盐 20%的盐水，如果把它稀释为含盐15%

45、的盐水，需要加水多少千克？智合教育暑期蓝天行动-27-解：设需要加水x 千克。()515%520%x015025.xx123答：需要加水123千克。3.有甲、乙两筐苹果，如果从甲筐取10 千克放入乙筐，则两筐相等；如果从两筐中各取出10 千克，这时甲筐余下的310比乙筐余下的13多 5 千克。求两筐苹果原来各多少千克？解：设乙筐原有苹果x 千克。()()xx10135201031013103510310 xx()131233103xx130113xx40 402060 答：甲筐原有苹果60 千克，乙筐原有 40 千克。4.同学们到郊区野炊。一个同学到老师那里去领碗，老师问他领多少，他说领 55

46、 个。又问“多少人吃饭”，他说：“一人一个饭碗，两人一个菜碗，三人一个汤碗。”算一算，有多少人吃饭。解：设参加野炊活动的人数为x 人。xxx12135515655xxx5515630答：参加野炊活动的有30人。（六）抽屉原理智合教育暑期蓝天行动-28-如果将 5 个苹果放到 3 个抽屉中去，那么不管怎么放，至少有一个抽屉中放的苹果不少于 2 个。道理很简单，如果每个抽屉中放的苹果都少于2 个，即放 1个或不放，那么 3 个抽屉中放的苹果的总数将少于或等于3，这与有 5 个苹果的已知条件相矛盾，因此至少有一个抽屉中放的苹果不少于2 个。同样，有 5 只鸽子飞进 4 个鸽笼里，那么一定有一个鸽笼至

47、少飞进了2 只鸽子。以上两个简单的例子所体现的数学原理就是“抽屉原理”，也叫“鸽笼原理”。抽屉原理 1：将多于 n 件的物品任意放到n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于 2 件。说明这个原理是不难的。假定这n个抽屉中，每一个抽屉内的物品都不到2件，那么每一个抽屉中的物品或者是一件，或者没有。这样，n 个抽屉中所放物品的总数就不会超过n 件，这与有多于 n 件物品的假设相矛盾，所以前面假定“这n 个抽屉中，每一个抽屉内的物品都不到2 件”不能成立，从而抽屉原理 1 成立。从最不利原则也可以说明抽屉原理1。为了使抽屉中的物品不少于2 件，最不利的情况就是 n 个抽屉中每个都放入1 件物品

48、，共放入 n 件物品，此时再放入1 件物品，无论放入哪个抽屉，都至少有1 个抽屉不少于 2 件物品。这就说明了抽屉原理 1。一、例题与方法指导例 1.某幼儿园有367 名 1996 年出生的小朋友，是否有生日相同的小朋友？分析与解：1996年是闰年，这年应有366 天。把 366 天看作 366 个抽屉，将 367名小朋友看作 367 个物品。这样，把 367 个物品放进 366 个抽屉里，至少有一个抽屉里不止放一个物品。因此至少有2 名小朋友的生日相同。例 2.在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3 整除？分析与解：因为任何整数除以3，其余数只可能是0，1，2 三种情形。我

49、们将余数的这三种情形看成是三个“抽屉”。一个整数除以 3 的余数属于哪种情形，就将此整数放在那个“抽屉”里。将四个自然数放入三个抽屉，至少有一个抽屉里放了不止一个数，也就是说至少有两个数除以3 的余数相同。这两个数的差必能被3 整除。例 3.在任意的五个自然数中，是否其中必有三个数的和是3 的倍数？分析与解：根据例2 的讨论，任何整数除以3 的余数只能是 0，1，2。现在，对于任意的五个自然数，根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有两个或两个以上的数，于是可分下面两种情形来加以讨论。第一种情形。有三个数在同一个抽屉里，即这三个数除以 3 后具有相同的余数。因为这三个数的余数之和是其中一个余数的3 倍

50、，故能被 3 整除，所以这三个数之和能被 3 整除。第二种情形。至多有两个数在同一个抽屉里，那么每个抽屉里都有数，在每个抽屉里各取一个数，这三个数被3 除的余数分别为0，1，2。因此这三个数之和能被 3 整除。综上所述，在任意的五个自然数中，其中必有三个数的和是3 的倍数。智合教育暑期蓝天行动-29-二、巩固训练1.有苹果和桔子若干个，任意分成5 堆，能否找到这样两堆，使苹果的总数与桔子的总数都是偶数？分析与解：由于题目只要求判断两堆水果的个数关系，因此可以从水果个数的奇、偶性上来考虑抽屉的设计。对于每堆水果中的苹果、桔子的个数分别都有奇数与偶数两种可能，所以每堆水果中苹果、桔子个数的搭配就有