三年级奥数教程.pdf

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1、目录第一讲速算与巧算.3(一)加减法中的计算 .3(二)乘除法中的计算 .4 第二讲找规律.7（一）竖列规律 .7（二）图形规律 .9 第三讲数字谜.10（一）横式字谜 .10（二）竖式字谜 .13（三）趣味九宫格 .16 第四讲图解法解应用题.18 第五讲列方程式解应用题.21 第六讲植树问题.22 第七讲鸡兔同笼问题.25 第八讲移多补少平均数.27 第九讲归一问题.29 第十讲倒推法.33 第十一讲列举法.38 第十二讲奇数与偶数.43 第十三讲周期性问题.46 第十四讲有趣的几何图形 .49 第十五讲逻辑推理.53 第十六讲一笔画.55 第十七讲火柴棍游戏.58(一)摆图形游戏 .58

2、(二)移动火柴，变换图形游戏.59(三)去掉火柴，变换图形游戏.60 第一讲速算与巧算计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。森林王国的歌舞比赛进行得既紧张又激烈。选手们为争夺冠军，都在舞台上发挥着自己的最好水平。台下的工作人员小熊和小白兔正在统计着最后的得分。由于他们对每个选手分数的及时通报，台下的观众频频为选手取得的好成绩而热烈鼓掌，同时，观众也带着更浓厚的兴趣边看边猜测谁能拿到冠军。观众的情绪也影响着两位分数统计者。只见分数一

3、到小白兔手中，就像变魔术般地得出了答案。等小熊满头大汗地算出来时，小白兔已欣赏了一阵比赛，结果每次小熊算得结果和小白兔是一样的。小熊不禁问：“白兔弟弟，你这么快就算出了答案，有什么决窍吗？”小白兔说：“比如 2 号选手是 93、95、98、96、88、89、87、91、93、91，去掉最高分 98，去掉最低分 87，剩下的都接近90 为基准数，超过90 的表示成90+零头数，不足 90 的表示成 90 零头数。于是（93+95+96+88+89+91+93+91）8=90+（3+5+621+1+3+1）8=90+2=92。你可以试一试。”小熊照着小白兔说的去做，果然既快又对。这下小熊明白了，掌

4、握了速算的技巧，在工作和生活中的作用很大。它不仅可以节省运算时间，更主要的是提高了我们的工作效率。我们在进行速算时，要根据题目的具体情况灵活运用有关定律和法则，选择合理的方法。下面介绍在整数加减法运算中常用的几种速算方法。(一)加减法中的计算一、例题与方法指导：例 1、用简便方法计算下面各题：（1）63+48+173+37+52 （2）9+99+999+9999+4 例 2、用简便方法计算计算下面各题：100090802010 （2）150856161 例 3、用简便方法计算计算下面各题：576（432176）1689999689 例 4、计算（222426283032）（2123252729

5、31）二、训练巩固1用简便方法计算计算下面各题：136297363827 74432485567245 2下面各题，怎样简便就怎样计算：18861998 54262995 3计算：10889888836 499994999499494 4.计算：10399103971061029898101+102 三、拓展提升1用简便方法计算下面各题：9999999999 499639932992199198 2下面各题，怎样简便就怎样计算：93928889909188879489 2019181716151413121110987654321 3.计算下面各题：（384246505458626670）（3

6、74145495357616569）（199919971995,31）（199819961994,42）(二)乘除法中的计算一、例题与方法指导：两个数之和等于 10，则称这两个数 互补。在整数乘法运算中，常会遇到像7278，2686 等被乘数与乘数的十位数字相同或互补，或被乘数与乘数的个位数字相同或互补的情况。7278的被乘数与乘数的十位数字相同、个位数字互补，这类式子我们称为“头相同、尾互补”型；2686的被乘数与乘数的十位数字互补、个位数字相同，这类式子我们称为“头互补、尾相同”型。计算这两类题目，有非常简捷的速算方法，分别称为“同补”速算法 和“补同”速算法。例 1（1）7674？（2）

7、3139？思路导航：本例两题都是“头相同、尾互补”类型。（1）由乘法分配律和结合律，得到7674（76）（70+4）（706）70（76）4 707067070464 70（7064）64 70（7010）64 7（7+1）10064。于是，我们得到下面的速算式：（2）与（1）类似可得到下面的速算式：由例 1 看出，在“头相同、尾互补”的两个两位数乘法中，积的末两位数是两个因数的个位数之积（不够两位时前面补0，如 1909），积中从百位起前面的数是被乘数（或乘数）的十位数与十位数加1 的乘积。“同补”速算法简单地说就是：积的末两位是“尾尾”，前面是“头（头+1）”。我们在学到的 1515，25

8、25，,，9595 的速算，实际上就是“同补”速算法。例 2（1）7838？（2）4363？思路导航：本例两题都是“头互补、尾相同”类型。（1）由乘法分配律和结合律，得到7838（708）（308）（708）30（708）8 7030+83070888 70308（3070）88 73100810088（738）10088。于是，我们得到下面的速算式：（2）与（1）类似可得到下面的速算式：由例 2 看出，在“头互补、尾相同”的两个两位数乘法中，积的末两位数是两个因数的个位数之积（不够两位时前面补0，如 3309），积中从百位起前面的数是两个因数的十位数之积加上被乘数（或乘数）的个位数。“补同”

9、速算法简单地说就是：积的末两位数是“尾尾”，前面是“头头+尾”。例 1 和例 2 介绍了两位数乘以两位数的“同补”或“补同”形式的速算法。当被乘数和乘数多于两位时，情况会发生什么变化呢？我们先将互补的概念推广一下。当两个数的和是10，100，1000，,时，这两个数互为补数，简称互补。如 43 与 57 互补，99 与 1 互补，555 与 445 互补。在一个乘法算式中，当被乘数与乘数前面的几位数相同，后面的几位数互补时，这个算式就是“同补”型，即“头相同，尾互补”型。例如70 7770 23，因为被乘数与乘数的前两位数相同，都是70，后两位数互补，7723100，所以是“同补”型。又如1

10、48 1 52，23 8 23 2 等都是“同补”型。当被乘数与乘数前面的几位数互补，后面的几位数相同时，这个乘法算式就是“补同”型，即“头互补，尾相同”型。例如，73 427 4，98 262 26，6 814 81 等都是“补同”型。在计算多位数的“同补”型乘法时，例1 的方法仍然适用。例 3（1）702708=？（2）17081792？解：（1）（2）计算多位数的“同补”型乘法时，将“头（头+1）”作为乘积的前几位，将两个互补数之积作为乘积的后几位。注意：互补数如果是n 位数，则应占乘积的后2n 位，不足的位补“0”。在计算多位数的“补同”型乘法时，如果“补”与“同”，即“头”与“尾”的

11、位数相同，那么例2 的方法仍然适用（见例4）；如果“补”与“同”的位数不相同，那么例 2 的方法不再适用，因为没有简捷实用的方法，所以就不再讨论了。例 4 28657265？解：二、训练巩固计算下列各题：1.68 62；2.93 97；3.27 87；4.79 39；5.42 62；6.603 607；7.693 607；8.40856085。第二讲找规律（一）竖列规律按照一定次序排列起来的一列数，叫做数列。如自然数列：1、2、3、4,；双数列：2、4、6、8,。我们研究数列，目的就是为了发现数列中数排列的规律，并依据这个规律来填写空缺的数。按照一定的顺序排列的一列数，只要从连续的几个数中找到

12、规律，那么就可以知道其余所有的数。寻找数列的排列规律，除了从相邻两数的和、差考虑，有时还要从积、商考虑。善于发现数列的规律是填数的关键。一、例题与方法指导例 1 在括号内填上合适的数。（1）3，6，9，12，（），（）（2）1，2，4，7，11，（），（）（3）2，6，18，54，（），（）思路导航：（1）在数列 3，6，9，12，（），（）中，前一个数加上3 就等于后一个数，相邻两个数的差都是3，根据这一规律，可以确定（）里分别填 15和 18；（2）在数列 1，2，4，7，11，（），（）中，第一个数增加 1 等于第二个数，第二个数增加2 等于第三个数，也就是相邻两个数的差依次是1，2，3

13、，4,这样下一个数应为11 增加 5，所以应填 16；再下一个数应比 16 大 6，填 22。（3）在数列 2，6，18，54，（），（）中，后一个数是前一个数的3 倍，根据这一规律可知道（）里应分别填 162 和 486。例 2 先找出规律，再在括号里填上合适的数。（1）15，2，12，2，9，2，（），（）；（2）21，4，18，5，15，6，（），（）；思路导航：（1）在 15，2，12，2，9，2，（），（）中隔着看，第一个数减3 是第三个数，第三个数减 3 是第五个数，第二、四、六的数不变。根据这一规律，可以确定括号里分别应填6、2；（2）在 21，4，18，5，15，6，（），（）

14、中，隔着看第一个数减3 为第三个数，第三个数减 3 为第五个数。第二个数增加1 为第四个数，第四个数增加1是第六个数。根据这一规律，可以确定括号里分别应填12 和 7。二、训练巩固1，在括号里填数。（1）2，4，6，8，10，（），（）（2）1，2，5，10，17，（），（）2，按规律填数。（1）2，8，32，128，（），（）（2）1，5，25，125，（），（）3，先找规律再填数。（1）2，1，4，1，6，1，（），（）（2）3，2，9，2，27，2，（），（）（3）12，1，10，1，8，1，（），（）4，在括号里填数。答（1）18，3，15，4，12，5，（），（）（2）1，15，3，

15、13，5，11，（），（）（3）1，2，5，14，（），（）（二）图形规律一、例题与方法指导例：根据前面图形里的数的排列规律，填入适当的数。思路导航：（1）横着看，右边的比左边的数多5，竖着看，下面的数比上面的数多4。根据这一规律，方格里填18；（2）通过观察可以发现，前两个图形三个数之间有这样的关系：482=16，784=14，也就是说中心数是上面的数与左下方数的乘积除以右下方的数。根据这个规律，第三个图形空格中的数为943=12；（3）横着看，第一行和第二行中，第一个数除以3 等于第二个数，第一个数乘 3 等于第三个数。根据这一规律，363=108就是空格中的数。二、训练巩固1.根据规律，

16、在空格内填数。（1）187，286，385，（），（）；思路导航：（1）在 187，286，385，（），（）中，十位上的数字8 不变，百位上的数字是 1，2，3,依次增加1，个位上的数字是7，6，5,依次减少1，并且百位上的数字与个位上的数字的和为8。根据这一规律，括号里应填484，583；（2）通过观察可以发现，前两个图形之间有一定联系：左上数十位上的数字和右上数个位上的数字分别与下面数的千位、个位上的数字相同；左上数与右上数十位上的数字之和为下面数的百位上的数字，左上数与右上数个位上的数字之和为下面数的十位上的数字。根据这一规律，空格内应填3594。第三讲数字谜小朋友们都玩过字谜吧，就是

17、一种文字游戏，例如“空中码头”（打一城市名）。谜底你还记得吗？记不得也没关系，想想“空中”指什么？“天”。这个地名第 1 个字可能是天。“码头”指什么呢？码头又称渡口，联系这个地名开头是“天”字，容易想到“天津”这个地名，而“津”正好又是“渡口”的意思。这样谜底就出来了：天津。算式谜又被称为“虫食算”，意思是说一道算式中的某些数字被虫子吃掉了无法辨认，需要运用四则运算各部分之间的关系，通过推理判定被吃掉的数字，把算式还原。“虫食算”主要指横式算式谜和竖式算式谜，其中未知的数字常常用、等图形符号或字母表示。文字算式谜是前两种算式谜的延伸，用文字或字母来代替未知的数字，在同一道算式中不同的文字或字

18、母表示不同的数字，相同的数字或字母表示同一个数字。文字算式谜也是最难的一种算式谜。在数学里面，文字也可以组成许许多多的数学游戏，就让我们一起来看看吧。（一）横式字谜一、例题与方法指导例 1，8，97 在上面的 3 个方框内分别填入恰当的数字，可以使得这3 个数的平均数是150。那么所填的 3 个数字之和是多少？思路导航：150*3-8-97-5=340 所以 3 个数之和为 3+4+5=12。例 2 在下列算式的中填上适当的数字，使得等式成立：（1）6456=0，（2）7837=1，（3）332=17，（4）8 58=6。分析：（1）6104/56=109（2）7548/37=204（3）33

19、93/29=117（4）8468/58=146 例 3 在算式 40796=99,98的各个方框内填入适当的数字后，就可以使其成为正确的等式。求其中的除数。分析：40796/102=399.98。例 4 我学数学乐我学数学乐=数数数学数数学学数学在上面的乘法算式中，“我、学、数、乐”分别代表的4 个不同的数字。如果“乐”代表 9，那么“我数学”代表的三位数是多少？分析：学=1，我=8，数=6 ，81619*81619=6661661161 例 5 （）=24在式中的 4 个方框内填入 4 个不同的一位数，使左边的数比右边的数小，并且等式成立。思路导航：这 样，我 们 可 以 先 用 字 母 代

20、 替 数 字，原 等 式 写 成：a/(b/c/d)=a/(b/c*d)=a*c*d/b，(abcd)当 a=1 时，有 6*8/2=24，8*9/3=24；当 a=2 时，有 4*9/3=12，6*8/4=12，8*9/6=12；所以，满足要求的等式有：1（268）=24，1（389）=24，2（349）=24，2（468）=24，2（689）=24。例 6 =5；12+=，把 1 至 9 这 9 个数字分别填入上面两个算式的各个方框中，使等式成立，这里有3 个数字已经填好。分析：根据第一个等式，只有两种可能：7*8=56，6*9=54；如果为 7*8=56，则余下的数字有：3、4、9，显然

21、不行；而当6*9=54 时，余下的数字有：3、7、8，那么，12+3-7=8 或 12+3-8=7 都能满足。二、训练巩固1.迎迎春春=杯迎迎杯，数数学学=数赛赛数，春春春春=迎迎赛赛在上面的 3 个算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。如果这 3 个等式都成立，那么，“迎+春+杯+数+学+赛”等于多少？分析：考察上面三个等式，可以从最后一个等式入手：能够满足：春春春春=迎迎赛赛的只有 88*88=7744，于是，春=8，迎=7，赛=4；这样，不难得到第一个为：77*88=6776，第二个为：55*99=5445；所以，迎+春+杯+数+学+赛=7+8+6+5+9+4=39

22、。2.迎+春春=迎春，（迎+杯）（迎+杯）=迎杯在上面的两个横式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。那么“迎+春+杯”等于多少？分析：同样可以从第二个算式入手，发现满足要求的只有（8+1）*（8+1）=81，于是，迎=8；这样，第一个算式显然只有：8+9*9=89；所以，迎+春+杯=8+9+1=18。三、拓展提升1.在下列各式的中分别填入相同的两位数：(1)5=2；(2)6 3。2.将 39 中的数填入下列各式，使算式成立，要求各式中无重复的数字：(1)=；(2)。3.在下列各式的中填入合适的数字：(1)448=；(2)2822 =；(3)13 =46。4.在下列各式的中填

23、入合适的数：(1)328,31；(2)573 32,29；(3)4837 74,27。答案与提示练习 22 4.(1)287；(2)17；()65。（二）竖式字谜例 1 在图 4-1 所示的算式中，每一个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字那么“喜欢”这两个汉字所代表的两位数是多少？分析：首先看个位，可以得到“欢”是0 或 5，但是“欢”是第二个数的十位，所以“欢”不能是0，只能是 5。再看十位，“欢”是5，加上个位有进位 1，那么，加起来后得到的“人”就应该是偶数，因为结果的百位也是“人”，所以“人”只能是2；由此可知，“喜”等于8。所以，“喜欢”这两个汉字所代表的两位数就是85。例

24、2 在图 4-2 所示的竖式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字如果：巧+解+数+字+谜=30，那么“数字谜”所代表的三位数是多少？分析：还是先看个位，5 个“谜”相加的结果个位还是等于“谜”，“谜”必定是 5（0 显然可以排出）；接着看十位，四个“字”相加再加上进位2，结果尾数还是“字”，那说明“字”只能是6；再看百位，三个“数”相加再加上进位 2，结果尾数还是“数”，“数”可能是4 或 9；再看千位，（1）如果“数”为 4，两个“解”相加再加上进位1，结果尾数还是“解”，那说明“解”只能是 9；5+6+4+9=24，30-24=6，“巧”等于 6 与“字”等于 6 重复，

25、不能；（2）如果“数”为 9，两个“解”相加再加上进位2，结果尾数还是“解”，那说明“解”只能是8；5+6+9+8=28，30-28=2，可以。所以“数字谜”代表的三位数是 965。例 3 在图 4-3 所示的加法算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字请把这个竖式翻译成数字算式分析：首先万位上“华”=1；再看千位，“香”只能是 8 或 9，那么“人”就相应的只能是 0或 1。但是“华”=1，所以，“人”就是 0；再看百位，“人”=0，那么，十位上必须有进位，否则“港”+“人”还是“港”。由此可知“回”比“港”大 1，这样就说明“港”不是9，百位向千位也没有进位。于是可以确定

26、“香”等于 9 的；再看十位，“回”+“爱”=“港”要有进位的，而“回”比“港”大 1，那么“爱”就等于8；同时，个位必须有进位；再看个位，两数相加至少 12，至多 13，即只能是 5+7或 6+7，显然“港”=5，“回”=6，“归”=7。这样，整个算式就是：9567+1085=10652。例 4 图 4-4 是一个加法竖式，其中E，F，I，N，O，R S，T，X，Y分别表示从 0 到 9 的不同数字，且 F，S不等于零那么这个算式的结果是多少？分析：先看个位和十位，N应为 0，E应为 5；再看最高位上，S比 F大 1；千位上 O最少是 8；但因为 N等于 0，所以，I 只能是 1，O只能是

27、9；由于百位向千位进位是 2，且 X不能是 0，因此决定了 T、R只能是 7、8 这两个；如果 T=7，X=3，这是只剩下了 2、4、6 三个数，无法满足 S、F是两个连续数的要求。所以，T=8、R=7；由此得到 X=4；那么，F=2，S=3，Y=6。所以，得到的算式结果是31486。二、训练巩固1.在图 4-5 所示的减法算式中，每一个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字那么D+G等于多少？分析：先从最高位看，显然A=1，B=0，E=9；接着看十位，因为E等于9，说明个位有借位，所以F只能是 8；由 F=8可知，C=7；这样，D、G有 2、4，3、5 和 4、6 三种可能。所以，DG就

28、可以等于 6，8 或 10。2.王老师家的电话号码是一个七位数，把它前四位组成的数与后三位组成的数相加得 9063，把它前三位数组成的数与后四位数组成的数相加得2529求王老师家的电话号码分析：我们可以用abcdefg 来表示这个七位数电话号码。由题意知，abcd+efg=9063，abc+defg=2529；首先从第一个算式可以看出，a=8，从第二个算式可以看出，d=1；再回到第一个算式，g=2，掉到第二个算式，c=7；又回到第一个算式，f=9，掉到第二个算式，b=3；那么，e=6。所以，王老师家的电话号码是8371692。3.将一个四位数的各位顺序颠倒过来，得到一个新的四位数如果新数比原数

29、大 7902，那么在所有符合这样条件的四位数中，原数最大是多少？分析：用 abcd 来表示愿四位数，那么新四位数为 dcba，dcba-abcd=7902；由最高为看起，a 最大为 2，则 d=9；但个位上 10+a-d=2，所以，a 只能是 1；接下来看百位，b 最大是 9，那么，c=8 正好能满足要求。所以，原四位数最大是1989。三、拓展提升1.已知图 4-6 所示的乘法竖式成立那么ABCDE 是多少？分析：由 1/7 的特点易知，ABCDE=42857。142857*3=428571。2.某个自然数的个位数字是4，将这个 4 移到左边首位数字的前面，所构成的新数恰好是原数的4 倍问原数

30、最小是多少？分析：由个位起逐个递推：4*4=16，原十位为 6；4*6+1=25，原百位为5；4*5+2=22，原千位为 2；4*2+2=10，原万位为 0；1*4=4，正好。所以，原数最小是102564。3.在图 4-7 所示的竖式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字则符合题意的数“迎春杯竞赛赞”是多少？分析：同第 10 题一样，也是利用1/7 的特点。因为每个字母代表不同的数字，因此“好”只有3 和 6 可选：好=3，则：142857*3=428571；好=6，则：142857*6=857142；两个都能满足，所以，符合题意的数“迎春杯竞赛赞”可能是428571或 857

31、142。（三）趣味九宫格九宫格型数字推理即在九宫格中已知8 个数，根据已知数之间的关系，求出未知的项。此种类型的观察角度为横向、纵向、对角线，考查最多的是横向，一般考查三个数之间的线性关系，可从大数入手考虑。有时，会整体考，比如行列各个数之和的关系。1A7 B5 C3 D9【答案】C。解析：每行三个数字之和依次是20，（30），40，是等差数列。2 A 27 B8 C21 D18【答案】D。解析：每行前两个数字之差除以3 等于第三个数。（63-9）3=（18）。3A142 B164 C186 D15【答案】A。解析：每行第一个数字加1 等于后两个数字之和。4A61 B53 C4 D2【答案】D

32、。解析：从每行来看，第一个数字加2，再乘以第三个数字等于中间数字。5A204 B186 C116 D86【答案】B。解析：每行第三个数字减去第二个数字，再乘以2 等于第一个数字。第四讲图解法解应用题一、例题与方法指导例 1 小明早晨起床,要完成这几件事:起床穿衣 5分钟,刷牙洗脸 6分钟,在火炉上烧水煮面要 16分钟,整理房间 8分钟,为了尽快做完这些事,最少要分钟.思路导航：用图表示:所以是 5+16=21(分)例 2 少先队员参加植树劳动,每人植树 2 棵,如果一个人挖坑,一个要 25 分,运树苗一趟(最多可运 4 棵)要 20 分,提一桶水(可浇 4棵树)要 10分,栽好一棵树要 10

33、分.现以两个人为一小组合作,完成植树任务最少要分钟.思路导航：所以:75+10=85(分)例 3 甲、乙两地相距 6 千米,小晶从甲地、小红从乙地同时相向而行,在两村之间不断地往返行走,在出发后 40 分钟,两人第一次相遇.小红到达甲村后返回,在离甲村 2 千米处,两人第二次相遇,求小晶和小红的速度各是、.思路导航：小晶 5 千米/小时;小红 4 千米/小时.3 4 5 分起床5 16 分烧、煮2 1 8 分整理 6 分刷牙、洗脸挖 3个坑运苗种 1 棵树栽 3 棵树挖 1 个坑提水完成20 分乙甲75 分10 分25 分10 分甲相遇相遇红晶乙合走 1 个全程要 40 分,3 个应是 403

34、60=2(小时)晶:(6+4)2=5(千米/小时)红:(6+2)2=4(千米/小时)例 4 早上 10 点 8 分,小明放学回家,8 分钟后,周老师骑车追他,在离学校 4千米的地方追上了他,然后周老师立即回校,回到校后又追小明,第二次追上时刚好离家 8 千米,求这时是时分.思路导航：早上 10点 8分放学,小明从学校回家,8 分钟后,周老师骑车追他,追上时离校4千米,后来老师马上回校后又追他,追上时小明也只走了4千米,从下图可知,照后来速度算,周老师前面应走 43=12(千米).因为少走 8 分钟,所以少走 12-4=8千米.所以现在时间应是:10:08+0.08+0.16=10:32.二、巩

35、固训练1.A,B,C,D,E 五位同学进行象棋单循环比赛,已知 A,B,C,D 已经赛过的盘数依次为 4,3,2,1盘,此时,E 赛了盘.2.有号码为 1,2,3,4 四名运动员,在一次比赛中获得了前4名,已知:每个运动员的号码都与自己的名次不符;某运动员的名次是第四名运动员的号码,而此人的号码又是2 号运动员的名次.3 号运动员不是第一名,那么 1 号得名,二号得名,三号得名,四号得名.3.四名棋手进行循环比赛,胜一局得 2分,平一局得 1分,负一局得 0 分.如果各人得的总分不同,第一名不是全胜,那么,至多有局平局.4.京华小学五年级学生采集标本,采集昆虫标本的有25 人,采集植物标本的有

36、 19 人,两种标本都采集的有8 人,全班共 40 人,没有采集标本的有人.答案：1.两盘.用连线表示两人已赛过一场,A应画四条线,B 应画 3 条,但不能连 D,又有一条 AB,所以,B只画 BC,BE.从 C出发应有两条,已有.所以 E只赛了两盘.2.1号第三,2 号第一,3 号第四,4 号第二.由、可知,第一名是 2 或 4,依题意画图如下:校明4 千米周4 千米时间一样A E B D C 以上六种情况中,符合题意的只有方案.3.3局.四名棋手应赛 432=6(局),应决出 26=12(分)又各人得分不同,且第一名不是全胜,可知他们得分只有:12=5+4+2+1 或12=5+4+3+0两

37、种.再由“平局最多”可决定甲5 分,乙 4 分,丙 2 分,丁 1 分.这样应:4.4人.作下图:40-(25+19-8)=4(人)三、拓展提升1.有 100名旅客,其中有 10 人不懂英语又不懂俄语,有 75人懂英语,83 人懂俄语,既懂英语又懂俄语的有人.2.某班数字、英语的期中考试成绩如下,英语得 100 分的有 12人,数学得 100分的有 10 人,两门功课都得 100 分的有 3 人,两门功课都未得 100 分的有 26 人,这个班有学生人.答案：9.68人.作下图:1 4 3 2 3 4 1 4 1 3 1 2 3 3 1 2 2 1 4 甲丙乙丁胜平平平胜胜25 人8 人19

38、人昆虫、植物标本植物标本昆虫标本英语75 人俄语83 人不懂的有10 人都懂的75+83-(100-10)=68(人)10.45名.作下图:12+(10-3)+26=45(人)第五讲列方程式解应用题一、例题与方法指导例 1 买来一批苹果,分给幼儿园大班的小朋友,如果每人分 3 个,那么还剩 32个.如果每人分 8 个,还有 5 个小朋友分不到苹果.这批苹果的个数是多少个?苹果数不变(抓不变量)、间接设未知数例 2 一条鲨鱼，头长 3 米，身长等于头长加尾长，尾长等于头长再加上半个身长，这条鱼全长多少米？间接设未知数设鲨鱼身长 x 米。身长=头长+尾长，尾长=x23 身长 3x23，例 3 鸡、

39、兔共 60 只，鸡脚比兔脚多60 只。问：鸡、兔各多少只?解答：假设 60 只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚120只，而兔的脚数为零。这样鸡脚比兔脚多120 只，而实际上只多60 只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多 120-60=60(只)。现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2 只，兔脚增加 4 只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4+2=6(只)，而 606=10，因此有兔子 10 只，鸡 60-10=50(只)。二、巩固训练1.有一些糖，每人分 5 块多 10块；如果现有的人数增加到原人数的1.5 倍，那么每人 4 块就少 2 块.问这些糖共有多少块?解，等量关系为两种分法的糖总数不变设

40、开始共有 x 人，12 人10 人两门都不得 100 26 人两门 100 英语 100 数学 100 3 人5x+10=41.5x-2，解得 x=12，所以这些糖共有 125+10=70块2.甲、乙、丙、丁四人今年分别是16、12、11、9 岁。问：多少年前，甲、乙的年龄和是丙、丁年龄和的2 倍？解答：这是一道年龄问题，也可以用方程来解决。等量关系为：多少年前，甲、乙的年龄和是丙、丁年龄和的2 倍。关键：在相同的时间内，每个人增加或减少的年龄是相同的。设 x 年前，甲乙的年龄和是丙、丁年龄和的2 倍.16+12-2x=2(11+9-2x),解得 x=6.所以，6 年前，甲、乙的年龄和是丙、丁

41、年龄和的2 倍.第六讲植树问题只要我们稍加留意，都会看到在马路两旁一般都种有树木。细心观察，这些树木的间距一般都是等距离种植的。路长、间距、棵数之间存在着确定的关系，我们把这种关系叫做“植树问题”。而植树问题，一般又可分为封闭型的和不封闭型的（开放型的）。封闭型的和不封闭型的植树问题，区别在于间隔数（段数）与棵数的关系：1、不封闭型的（多为直线上），一般情况为两端植树，如下图所示，其路长、间距、棵数的关系是：但如果只在一端植树，如右图所示，这时路长、间距、棵数的关系就是：如果两端都不植树，那么棵数比一端植树还要再少一棵，其路长、间距、棵数的关系就是：2、封闭型的情况（多为圆周形），如下图所示，

42、那么：植树问题的三要素：总路线长、间距(棵距)长、棵数只要知道这三个要素中任意两个要素，就可以求出第三个植树问题的分类：直线型的植树问题封闭型植树问题特殊类型的植树问题一、例题与方法指导例 1 有一条公路长 1000 米，在公路的一侧每隔5 米栽一棵垂柳，可种植垂柳多少棵?思路导航：每隔 5米栽一棵垂柳，即以两棵垂柳之间的距离5米为一段。公路的全长 1000米，分成 5 米一段，那么里包含有 10005=200 段。由于公路的两端都要求种树，所以要种植的棵数比分成的段数多1，所以，可种植垂柳200+1=201棵。例 2 某一淡水湖的周长1350 米，在湖边每隔9 米种柳树一株，在两株柳树中间种

43、植 2 株夹枝桃，可栽柳树多少株?可栽夹枝桃多少株?两株夹枝桃之间相距多少米?思路导航：在圆周上植树时，由于可栽的株数等于分成的段数，所以，可栽柳树=13509=150 株；由于两株柳树之间等距离地栽株夹枝桃，而间隔数（段数）为 150，所以栽夹枝桃的株数=2150=300株；每隔 9 米种柳树一株，在两株夹枝桃之间等距地栽2 株夹枝桃，这就变成两端都不植树的情形，即 2 株等距离栽在 9 米的直线上，不含两端，所以，每两株之间的距离=9(2+1)=3(米)。例 3 一条街上，一旁每隔8 米有一个广告牌，从头到尾有16 个广告牌，现在要进行调整，变成每12 米有一个广告牌。那么除了两端的广告牌

44、外，中间还有几个牌不需要移动？思路导航：16 个广告牌，每相邻的两个广告牌的间隔为8 米，则共有 16-1=15 个间隔，这条街的总长度为815120（米）；现在要调整为每12 米一个广告牌，那么不 移 动 的牌 离端 点的 距 离 一 定 既是 8 的倍 数，同 时 也是12 的倍 数；83=122=24，也就是说，每24 米及其倍数处的广告牌可以不需要移动；120245，即段数为 5 个，但要扣除两端的2 个，所以，中间不需要移动的有5-1=4 个。事实上，所谓植树问题只是我们对这一种类型问题的总称，并不单指植树问题。例如，与之类似的还有爬楼（梯）问题、队列问题、敲钟问题、锯木头问题的等。

45、所以，植树问题又称上楼梯问题。二、巩固训练1 某人要到一座高层楼的第8 层办事，不巧停电，电梯停开。如果他从1 层走到 4 层需要 48 秒，请问以同样的速度走到八层，还需要多少秒？思路导航：要求还需要多少秒才能到达，必须先求出上一层楼梯需要几秒，并且知道从4 楼走到 8 楼共需要走几层楼梯。从1 层走到 4 层，事实所爬的层数只是4-1=3层，所以上一层楼梯需要的时间是48（4-1）=16（秒）；又，从 4 楼走到 8 楼共需走 8-4=4 层楼梯，所以还需要的时间是164=64秒。2 光华路小学三年级学生有125人参加运动会入场式，他们每5 人一行，前后每行间隔为 2 米，主席台长 42

46、米，他们以每分钟 45米的速度通过主席台需要多少分钟?思路导航：125 人参加运动会入场式，每5 人一行，共排了 1255=25 行，那么这里 25行就相当于直线上的25 棵树，所以，这列队的长度为两端植树的路的长度，全长是 2(25-1)=48 米；这列队伍通过主席台，所走的总路程应该是队伍长度与主席台长度之和，即：48+42=90米，所以，他们通过主席台的时间是9045=2分钟。3 下图是五个大小相同的铁环连在一起的图形，它的长度是多少？十个这样的铁环连在一起有多长？思路导航：根据上图所示，要求出它的总长度是多少，关键是求出重叠部分需要扣除的长度。每一个铁环的厚度为6 毫米，注意到重叠部分

47、，后面连上的铁环将有2个厚度是重叠的，也就是说实际每加一个铁环所延伸的长度为4 厘米-26毫米=40毫米-12 毫米=28毫米；根据我们前面所讲的植树问题，五个铁环连在一起，“环扣”数为5-14(个)，所以，五个大小相同的铁环连在一起时，总长度为40+428 152(毫 米)。同理，十 个 铁 环 连 在 一 起的 长 度 为 40+(10-1)28=292(毫米)。4 一个木工把一根长24 米的木条锯成了3 米长的小段，每锯断一次要用5分钟，共需多少分钟?思路导航：要求需要的时间，我们就要弄清楚共需锯几次。24 米长的木条里面包含有 243=8个 3米，8 段有 8-1=7 个间隔，即木工只

48、需锯 7 次，那么，每次 5 分钟,一共需要用时 57=35分钟。三、巩固训练1 一个街心花园如下图所示，它由四个大小相等的等边三角形组成。已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有9 棵花。问大三角形边上栽有多少棵花？整个花园中共栽多少棵花？思路导航：由题意可知，大三角形的边长是小三角形边长的2 倍，因为每个小三角形的边上均匀栽 9 株，而大三角形的每条边由两个小三角形的边重叠一个顶点而成，所以，大三角形的每条边上栽的棵数为：92-1=17 棵；又大三角形三个顶点上栽的一棵花是相邻的两条边公有的，所以，大三角形三条边上共栽花：（17-1）3=48 棵；再看图中间的阴影小三角形，每边所

49、栽花的棵数就是一个两端不种树的植树问题，所以小三角形每条边上栽花的棵数为9-2=7 棵，中间共栽花：73=21棵，所以，整个花坛共栽花：48+21=69棵。2 时钟 4 点敲 4 下，用 12 秒敲完。那么 6 点钟敲 6 下，几秒钟敲完？思路导航：4 点钟敲 4 下，共 12 秒，而 4 下中间有 3 个间隔，说明每一个间隔的秒数为12（41）=4 秒；12 点敲 12 下，中间有 11 个间隔，所以一共需要4（121）=44秒敲完。3 铁路旁每隔50 米有一根电线杆，某旅客为了计算火车速度，测量出从经过第 1 根电线杆起到经过第37 根电线杆止共用了2 分。火车的速度是多少？思路导航：从第

50、 1 根电线杆起到第 37 根电线杆，共有 37-1=36 个间隔；每隔 50 米有一根电线杆，也就是说间隔为 50 米；那么，行使的总路程为：50（371）=1800米；2 分钟=260 秒=120 秒，共行 1800 米，所以，火车速度为：180012015 米秒。第七讲鸡兔同笼问题鸡兔同笼问题是指鸡与兔同在一个笼中，已知鸡与兔的总头数以及鸡与兔的总足数，求鸡和兔各是多少只的应用题。这种类型题是古代趣题，在现实生活和生产中应用广泛，有着十分重要的使用价值。鸡兔问题，也叫简换问题。解答时，一般采用假设法，即假定全部的只数都是鸡或者是兔，算出假定情况下的足数和实际上的足数和、足数差，然后推算出