五年级奥数讲义.pdf

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1、1 奥数讲义第 1 讲 数字谜（一）数字谜用猜想、拼凑、排除、枚举等方法解题。数字谜涉及的知识多，思考性强，所以很能锻炼我们的思维。这两讲除了复习巩固学过的知识外，还要讲述数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。例 1 把+，-，四个运算符号，分别填入下面等式的 内，使等式成立（每个运算符号只准使用一次）：（5137）（179）=12。分析与解：因为运算结果是整数，在四则运算中只有除法运算可能出现分数，所以应首先确定“”的位置。当“”在第一个 内时，因为除数是13，要想得到整数，只有第二个括号内是13 的倍数，此时只有下面一种填法，不合题意。（5 13-7）（17+9）。当“”在第二或第四个 内

2、时，运算结果不可能是整数。当“”在第三个 内时，可得下面的填法：（5+137）（17-9）=12。例 2 将 19 这九个数字分别填入下式中的 中，使等式成立：=5568。解：将 5568 质因数分解为 5568=26 3 29。由此容易知道，将5568 分解为两个两位数的乘积有两种：58 96 和 6487，分解为一个两位数与一个三位数的乘积有六种：12 464，16 348，24232，29 192，32 174，48116。显然，符合题意的只有下面一种填法：17432=5896=5568。例 3 在 443 后面添上一个三位数，使得到的六位数能被573 整除。2 分析与解：先用 4430

3、00 除以 573，通过所得的余数，可以求出应添的三位数。由443000573=773 71推知，443000+（573-71）=443502 一定能被 573 整除，所以应添 502。例 4 已知六位数 3344 是 89 的倍数，求这个六位数。分析与解：因为未知的数码在中间，所以我们采用两边做除法的方法求解。先从右边做除法。由被除数的个位是4，推知商的个位是6；由左下式知，十位相减后的差是 1，所以商的十位是9。这时，虽然 8996=8544，但不能认为六位数中间的两个 内是 85，因为还没有考虑前面两位数。再从左边做除法。如右上式所示，a 可能是 6 或 7，所以 b 只可能是 7 或

4、8。由左、右两边做除法的商，得到商是3796 或 3896。由 379689=337844，389689=346744 知，商是 3796，所求六位数是 337844。例 5 在左下方的加法竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，请你用适当的数字代替字母，使加法竖式成立。分析与解：先看竖式的个位。由Y+N+N=Y 或 Y+10，推知 N 要么是 0，要么是 5。如果 N=5，那么要向上进位，由竖式的十位加法有T+E+E+1=T 或 T+10，等号两边的奇偶性不同，所以N5，N=0。此时，由竖式的十位加法T+E+E=T 或 T+10，E 不是 0 就是 5，但是 N=0，所以

5、 E=5。3 竖式千位、万位的字母与加数的千位、万位上的字母不同，说明百位、千位加法都要向上进位。因为N=0，所以 I 0，推知 I=1，O=9，说明百位加法向千位进 2。再看竖式的百位加法。因为十位加法向百位进1，百位加法向千位进2，且 X0或 1，所以 R+T+T+1 22，再由 R，T 都不等于 9 知，T 只能是 7 或 8。若 T=7，则 R=8，X=3，这时只剩下数字2，4，6 没有用过，而 S 只比 F 大1，S，F 不可能是 2，4，6 中的数，矛盾。若 T=8，则 R 只能取 6 或 7。R=6 时，X=3，这时只剩下 2，4，7，同上理由，出现矛盾；R=7 时，X=4，剩下

6、数字 2，3，6，可取 F=2，S=3，Y=6。所求竖式见上页右式。解这类题目，往往要找准突破口，还要整体综合研究，不能想一步填一个数。这个题目是美国数学月刊上刊登的趣题，竖式中从上到下的四个词分别是40，10，10，60，而 40+10+10 正好是 60，真是巧极了！例 6 在左下方的减法算式中，每个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字。请你填上适当的数字，使竖式成立。分析与解：按减法竖式分析，看来比较难。同学们都知道，加、减法互为逆运算，是否可以把减法变成加法来研究呢（见右上式）？不妨试试看。因为百位加法只能向千位进1，所以 E=9，A=1，B=0。如果个位加法不向上进位，那么由十

7、位加法1+F=10，得 F=9，与 E=9 矛盾，所以个位加法向上进1，由 1+F+1=10，得到 F=8，这时 C=7。余下的数字有2，3，4，5，6，由个位加法知，G 比 D 大 2，所以 G，D 分别可取 4，2 或 5，3 或6，4。4 所求竖式是解这道题启发我们，如果做题时遇到麻烦，不妨根据数学的有关概念、法则、定律把原题加以变换，将不熟悉的问题变为熟悉的问题。另外，做题时要考虑解的情况，是否有多个解。练习 1 1.在一个四位数的末尾添零后，把所得的数减去原有的四位数，差是 621819，求原来的四位数。2.在下列竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字。请你用适当

8、的数字代替字母，使竖式成立：3.在下面的算式中填上括号，使得计算结果最大：1 2 3 4 5 6 7 8 9。4.在下面的算式中填上若干个（），使得等式成立：1 2 3 4 5 6 7 8 9=2.8。5.将 19 分别填入下式的 中，使等式成立：=3634。6.六位数 391是 789 的倍数，求这个六位数。7.已知六位数 7888 是 83 的倍数，求这个六位数。第 2 讲 数字谜（二）这一讲主要讲数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。例 1 在下面的算式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相分析与解：这道题可以从个位开始，比较等式两边的数，逐个确定各个5（100000+x）3=1

9、0 x+1，300000+3x=10 x+1，7x=299999，x=42857。这种代数方法干净利落，比用传统方法解简洁。我们再看几个例子。例 2 在 内填入适当的数字，使左下方的乘法竖式成立。求竖式。例 3 左下方的除法竖式中只有一个8，请在 内填入适当的数字，使除法竖式成立。解：竖式中除数与8 的积是三位数，而与商的百位和个位的积都是四位数，所以 x=112，被除数为 989112=110768。右上式为所求竖式。6 代数解法虽然简洁，但只适用于一些特殊情况，大多数情况还要用传统的方法。例 4 在 内填入适当数字，使下页左上方的小数除法竖式成立。分析与解：先将小数除法竖式化为我们较熟悉的

10、整数除法竖式（见下页右上方竖式）。可以看出，除数与商的后三位数的乘积是1000=23 53的倍数，即除数和商的后三位数一个是23=8 的倍数，另一个是53=125 的奇数倍，因为除数是两位数，所以除数是8 的倍数。又由竖式特点知a=9，从而除数应是 96 的两位数的约数，可能的取值有96，48，32，24 和 16。因为，c=5，5 与除数的乘积仍是两位数，所以除数只能是16，进而推知 b=6。因为商的后三位数是125 的奇数倍，只能是125，375，625 和 875 之一，经试验只能取375。至此，已求出除数为 16，商为 6.375，故被除数为 6.375 16=102。右式即为所求竖式

11、。求解此类小数除法竖式题，应先将其化为整数除法竖式，如果被除数的末尾出现 n 个 0，则在除数和商中，一个含有因子2n（不含因子 5），另一个含有因子5n（不含因子 2），以此为突破口即可求解。7 例 5 一个五位数被一个一位数除得到下页的竖式（1），这个五位数被另一个一位数除得到下页的竖式（2），求这个五位数。分析与解：由竖式（1）可以看出被除数为10*0（见竖式（1），竖式（1）的除数为 3 或 9。在竖式（2）中，被除数的前两位数10 不能被整数整除，故除数不是 2 或 5，而被除数的后两位数*0 能被除数整除，所以除数是4，6 或 8。当竖式（1）的除数为 3 时，由竖式（1）知，a=

12、1 或 2，所以被除数为 100*0或 101*0，再由竖式（2）中被除数的前三位数和后两位数分别能被除数整除，可得竖式（2）的除数为 4，被除数为 10020；当竖式（1）的除数为 9 时，由能被 9 整除的数的特征，被除数的百位与十位数字之和应为 8。因为竖式（2）的除数只能是 4，6，8，由竖式（2）知被除数的百位数为偶数，故被除数只有10080，10260，10440 和 10620 四种可能，最后由竖式（2）中被除数的前三位数和后两位数分别能被除数整除，且十位数不能被除数整除，可得竖式（2）的除数为 8，被除数为 10440。所以这个五位数是10020 或 10440。练习 2 1.

13、下面各算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的8 2.用代数方法求解下列竖式：3.在 内填入适当的数字，使下列小数除法竖式成立：第 3 讲 定义新运算（一）我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。除此之外，还会有什么别的运算吗？这两讲我们就来研究这个问题。这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号，但学习讨论这些新运算，对于开拓思路及今后的学习都大有益处。例 1 对于任意数 a，b，定义运算“*”：a*b=a b-a-b。求 12*4 的值。分析与解：根据题目定义的运算要求，直接代入后

14、用四则运算即可。12*4=124-12-4=48-12-4=32。根据以上的规定，求106 的值。9 3，x=2，求 x 的值。分析与解：按照定义的运算，=2，x=6。由上面三例看出，定义新运算通常是用某些特殊符号表示特定的运算意义。新运算使用的符号应避免使用课本上明确定义或已经约定俗成的符号，如+，-，等，以防止发生混淆，而表示新运算的运算意义部分，应使用通常的四则运算符号。如例 1 中，a*b=a b-a-b，新运算符号使用“*”，而等号右边新运算的意义则用四则运算来表示。分析与解：按新运算的定义，符号“”表示求两个数的平均数。四则运算中的意义相同，即先进行小括号中的运算，再进行小括号外面

15、的运算。按通常的规则从左至右进行运算。10 分析与解：从已知的三式来看，运算“”表示几个数相加，每个加数各数位上的数都是符号前面的那个数，而符号后面的数是几，就表示几个数之和，其中第 1个数是 1 位数，第 2 个数是 2 位数，第 3 个数是 3 位数 按此规定，得35=3+33+333+3333+33333=37035。从例 5 知，有时新运算的规定不是很明显，需要先找规律，然后才能进行运算。例 6 对于任意自然数，定义：n！=12 n。例如 4！=1 2 3 4。那么 1！+2！+3！+100！的个位数字是几？分析与解：1！=1，2！=12=2，3！=12 3=6，4！=12 3 4=2

16、4，5！=12 3 4 5=120，6！=12 3 4 5 6=720，由此可推知，从5！开始，以后 6！，7！，8！，100！的末位数字都是0。11 所以，要求 1！+2！+3！+100！的个位数字，只要把1！至 4！的个位数字相加便可求得：1+2+6+4=13。所求的个位数字是3。例 7 如果 m，n 表示两个数，那么规定：m n=4n-（m+n）2。求 3（4 6）12 的值。解：3（4 6）12=3 4 6-（4+6）2 12=3 19 12=4 19-（3+19）2 12=6512=412-（65+12）2=9.5。练习 3 1.对于任意的两个数a 和 b，规定 a*b=3 a-b

17、3。求 8*9 的值。2.已知 ab 表示 a 除以 3 的余数再乘以 b，求 134 的值。3.已知 ab 表示（a-b）（a+b），试计算：（53）（106）。4.规定 ab 表示 a 与 b 的积与 a 除以 b 所得的商的和，求82 的值。5.假定 mn 表示 m 的 3 倍减去 n 的 2 倍，即mn=3m-2n。（2）已知 x（41）=7，求 x 的值。12 7.对于任意的两个数P，Q，规定 PQ=（PQ）4。例如：28=（2 8）4。已知 x（85）=10，求 x 的值。8.定义：ab=ab-3b，ab=4a-b/a。计算：（43）（2b）。9.已知：23=23 4，45=45

18、6 7 8，求（44）（33）的值。第 4 讲 定义新运算（二）例 1 已知 ab=（a+b）-（a-b），求 92 的值。分析与解：这是一道很简单的题，把a=9，b=2 代入新运算式，即可算出结果。但是，根据四则运算的法则，我们可以先把新运算“”化简，再求结果。ab=（a+b）-（a-b）=a+b-a+b=2b。所以，92=22=4。由例 1 可知，如果定义的新运算是用四则混合运算表示，那么在符合四则混合运算的性质、法则的前提下，不妨先化简表示式。这样，可以既减少运算量，又提高运算的准确度。例 2 定义运算：ab=3a+5ab+kb，其中 a，b 为任意两个数，k 为常数。比如：27=32+

19、52 7+7k。13（1）已知 52=73。问：85 与 58 的值相等吗？（2）当 k 取什么值时，对于任何不同的数a，b，都有 ab=ba，即新运算“”符合交换律？分析与解：（1）首先应当确定新运算中的常数k。因为 52=35+55 2+k2=65+2k，所以由已知52=73，得 65+2k=73，求得 k=（73-65）2=4。定义的新运算是：ab=3a+5ab+4b。85=38+58 5+45=244，58=35+55 8+48=247。因为 244247，所以 855 8。（2）要使 ab=ba，由新运算的定义，有3a+5ab+kb=3b+5ab+ka，3a+kb-3b-ka=0，3

20、(a-b)-k(a-b)=0，(3-k)(a-b)=0。对于两个任意数a，b，要使上式成立，必有3-k=0，即 k=3。当新运算是 ab=3a+5ab+3b 时，具有交换律，即ab=ba。例 3 对两个自然数 a 和 b，它们的最小公倍数与最大公约数的差，定义为ab，即 ab=a，b-（a，b）。比如，10 和 14 的最小公倍数是 70，最大公约数是 2，那么 1014=70-2=68。（1）求 1221 的值；（2）已知 6x=27，求 x 的值。分析与解：（1）1221=12，21-（12，21）=84-3=81；14（2）因为定义的新运算“”没有四则运算表达式，所以不能直接把数代入表达

21、式求 x，只能用推理的方法。因为 6x=6，x-（6，x）=27，而 6 与 x 的最大公约数（6，x）只能是 1，2，3，6。所以 6 与 x 的最小公倍数 6，x只能是 28，29，30，33。这四个数中只有 30 是 6 的倍数，所以6 与 x 的最小公倍数和最大公约数分别是30 和 3。因为 a b=a，b （a，b），所以 6 x=303，由此求得 x=15。例 4 a 表示顺时针旋转 90，b 表示顺时针旋转180，c 表示逆时针旋转 90，d 表示不转。定义运算“”表示“接着做”。求：ab；bc；ca。分析与解：ab 表示先顺时针转 90，再顺时针转 180，等于顺时针转 270

22、，也等于逆时针转 90，所以 ab=c。bc 表示先顺时针转 180，再逆时针转 90，等于顺时针转 90，所以 bc=a。ca 表示先逆时针转 90，再顺时针转 90，等于没转动，所以ca=d。对于 a，b，c，d 四种运动，可以做一个关于“”的运算表（见下表）。比如cb，由 c 所在的行和 b 所在的列，交叉处 a 就是 cb 的结果。因为运算符合交换律，所以由 c 所在的列和 b 所在的行也可得到相同的结果。例 5 对任意的数 a，b，定义：f（a）=2a+1，g（b）=bb。（1）求 f（5）-g（3）的值；（2）求 f（g（2）+g（f（2）的值；（3）已知 f（x+1）=21，求

23、x 的值。15 解：（1）f（5）-g（3）=（2 5+1）-（3 3）=2；（2）f（g（2）+g（f（2）=f（2 2）+g（2 2+1）=f（4）+g（5）=（2 4+1）+（5 5）=34；（3）f（x+1）=2（x+1）+1=2x+3，由 f（x+1）=21，知 2x+3=21，解得 x=9。练习 4 2.定义两种运算“”和“”如下：ab 表示 a，b 两数中较小的数的3 倍，ab 表示 a，b 两数中较大的数的2.5 倍。比如：45=43=12，45=52.5=12.5。计算：(0.60.5)+(0.3 0.8)(1.20.7)-(0.64 0.2)。4.设 m，n 是任意的自然数

24、，A 是常数，定义运算mn=（Am-n）4，并且 23=0.75。试确定常数 A，并计算：（57）（22）（32）。5.用 a，b，c 表示一个等边三角形围绕它的中心在同一平面内所作的旋转运动：a 表示顺时针旋转240，16 b 表示顺时针旋转120，c 表示不旋转。运算“”表示“接着做”。试以 a，b，c 为运算对象做运算表。6.对任意两个不同的自然数a 和 b，较大的数除以较小的数，余数记为 ab。比如 73=1，529=4，420=0。（1）计算：19982000，（519）19，5（195）；（2）已知 11x=4，x 小于 20，求 x 的值。7.对于任意的自然数a，b，定义：f（a

25、）=aa-1，g（b）=b2+1。（1）求 f（g（6）-g（f（3）的值；（2）已知 f（g（x）=8，求 x 的值。第 5 讲 数的整除性（一）三、四年级已经学习了能被2，3，5 和 4，8，9，6 以及 11 整除的数的特征，也学习了一些整除的性质。这两讲我们系统地复习一下数的整除性质，并利用这些性质解答一些问题。数的整除性质主要有：（1）如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。（2）如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。（3）如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。（4）如果一

26、个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。17（5）几个数相乘，如果其中一个因数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除。灵活运用以上整除性质，能解决许多有关整除的问题。例 1 在 里填上适当的数字，使得七位数 7358能分别被 9，25 和 8 整除。分析与解：分别由能被 9，25 和 8 整除的数的特征，很难推断出这个七位数。因为 9，25，8 两两互质，由整除的性质（3）知，七位数能被9 25 8=1800 整除，所以七位数的个位，十位都是0；再由能被 9 整除的数的特征，推知首位数应填 4。这个七位数是4735800。例 2 由 2000 个 1 组成的数

27、 11111 能否被 41 和 271 这两个质数整除？分析与解：因为41 271=11111，所以由每 5 个 1 组成的数 11111 能被 41和 271 整除。按“11111”把 2000 个 1 每五位分成一节，20005=400，就有 400节，因为 2000 个 1 组成的数 1111 能被 11111 整除，而 11111 能被 41 和 271整除，所以根据整除的性质（1）可知，由 2000 个 1 组成的数 11111 能被 41和 271 整除。例 3 现有四个数：76550，76551，76552，76554。能不能从中找出两个数，使它们的乘积能被12 整除？分析与解：

28、根据有关整除的性质，先把 12 分成两数之积：12=121=62=34。要从已知的四个数中找出两个，使其积能被12 整除，有以下三种情况：（1）找出一个数能被12 整除，这个数与其它三个数中的任何一个的乘积都能被 12 整除；18（2）找出一个数能被6 整除，另一个数能被2 整除，那么它们的积就能被12 整除；（3）找出一个数能被4 整除，另一个数能被3 整除，那么它们的积能被12整除。容易判断，这四个数都不能被12 整除，所以第（1）种情况不存在。对于第（2）种情况，四个数中能被6 整除的只有 76554，而 76550，76552是偶数，所以可以选76554 和 76550，76554 和

29、 76552。对于第（3）种情况，四个数中只有76552 能被 4 整除，76551 和 76554 都能被 3 整除，所以可以选76552 和 76551，76552 和 76554。综合以上分析，去掉相同的，可知两个数的乘积能被12 整除的有以下三组数：76550 和 76554，76552 和 76554，76551 和 76552。例 4 在所有五位数中，各位数字之和等于43 且能够被 11 整除的数有哪些？分析与解：从题设的条件分析，对所求五位数有两个要求：各数位上的数字之和等于43；能被 11 整除。因为能被 11 整除的五位数很多，而各数位上的数字之和等于43 的五位数较少，所以

30、应选择为突破口。有两种情况：（1）五位数由一个7 和四个 9 组成；（2）五位数由两个8 和三个 9 组成。上面两种情况中的五位数能不能被11 整除？9，8，7 如何摆放呢？根据被11整除的数的特征，如果奇数位数字之和是27，偶数位数字之和是16，那么差是11，就能被 11 整除。满足这些要求的五位数是：97999，99979，98989。例 5 能不能将从 1 到 10 的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被 3 整除？19 分析与解：10 个数排成一行的方法很多，逐一试验显然行不通。我们采用反证法。假设题目的要求能实现。那么由题意，从前到后每两个数一组共有5 组，每组的两数之和都能

31、被3 整除，推知 110 的和也应能被 3 整除。实际上，110的和等于 55，不能被 3 整除。这个矛盾说明假设不成立，所以题目的要求不能实现。练习 5 1.已知 4205 和 2813 都是 29 的倍数，1392 和 7018 是不是 29 的倍数？2.如果两个数的和是64，这两个数的积可以整除4875，那么这两个数的差是多少？3.173 是个四位数。数学老师说：“我在这个 中先后填入 3 个数字，所得到的 3 个四位数，依次可以被9，11，6 整除。”问：数学老师先后填入的3 个数字之和是多少？班有多少名学生？6.能不能将从 1 到 9 的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3

32、整除？第 6 讲 数的整除性（二）20 我们先看一个特殊的数 1001。因为 1001=711 13，所以凡是 1001 的整数倍的数都能被7，11 和 13 整除。能被 7，11 和 13 整除的数的特征：如果数 A 的末三位数字所表示的数与末三位数以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被 7 或 11 或 13 整除，那么数 A 能被 7 或 11 或 13 整除。否则，数 A 就不能被 7 或 11 或 13 整除。例 2 判断 306371 能否被 7 整除？能否被 13 整除？解：因为 371-306=65，65 是 13 的倍数，不是 7 的倍数，所以 306371 能被13 整

33、除，不能被 7 整除。例 3 已知 108971 能被 13 整除，求 中的数。解：108-971=1008-971+0=37+0。上式的个位数是7，若是 13 的倍数，则必是 13 的 9 倍，由 13 9-37=80，推知 中的数是 8。2 位数进行改写。根据十进制数的意义，有因为 100010001 各数位上数字之和是3，能够被 3 整除，所以这个12 位数能被 3 整除。根据能被 7（或 13）整除的数的特征，100010001 与（100010-1=）100009要么都能被 7（或 13）整除，要么都不能被7（或 13）整除。同理，100009 与（100-9=）91 要么都能被 7

34、（或 13）整除，要么都不能被 7（或 13）整除。21 因为 91=713，所以 100010001 能被 7 和 13 整除，推知这个 12 位数能被 7和 13 整除。分析与解：根据能被7 整除的数的特征，555555 与 999999 都能被 7 因为上式中等号左边的数与等号右边第一个数都能被7 整除，所以等号右边第二个数也能被 7 整除，推知 5599能被 7 整除。根据能被 7 整除的数的特征，99-55=44也应能被 7 整除。由 44能被 7 整除，易知 内应是 6。下面再告诉大家两个判断整除性的小窍门。判断一个数能否被27 或 37 整除的方法：对于任何一个自然数，从个位开始

35、，每三位为一节将其分成若干节，然后将每一节上的数连加，如果所得的和能被27（或 37）整除，那么这个数一定能被27（或 37）整除；否则，这个数就不能被27（或 37）整除。例 6 判断下列各数能否被27 或 37 整除：（1）2673135；（2）8990615496。解：（1）2673135=2，673，135，2+673+135=810。因为 810 能被 27 整除，不能被 37 整除，所以 2673135 能被 27 整除，不能被 37 整除。（2）8990615496=8，990，615，496，8+990+615+496=2，109。2，109 大于三位数，可以再对2，109 的

36、各节求和，2+109=111。22 因为 111 能被 37 整除，不能被 27 整除，所以 2109 能被 37 整除，不能被27 整除，进一步推知8990615496 能被 37 整除，不能被 27 整除。由上例看出，若各节的数之和大于三位数，则可以再连续对和的各节求和。判断一个数能否被个位是9 的数整除的方法：为了叙述方便，将个位是9 的数记为k9（=10k+9），其中 k 为自然数。对于任意一个自然数，去掉这个数的个位数后，再加上个位数的（k+1）倍。连续进行这一变换。如果最终所得的结果等于k9，那么这个数能被k9 整除；否则，这个数就不能被k9 整除。例 7（1）判断 18937 能

37、否被 29 整除；（2）判断 296416 与 37289 能否被 59 整除。解：（1）上述变换可以表示为：由此可知，296416 能被 59 整除，37289 不能被 59 整除。一般地，每进行一次变换，被判断的数的位数就将减少一位。当被判断的数变换到小于除数时，即可停止变换，得出不能整除的结论。练习 6 1.下列各数哪些能被7 整除？哪些能被13 整除？88205，167128，250894，396500，675696，796842，805532，75778885。23 2.六位数 17562是 13 的倍数。中的数字是几？7.九位数 87654321 能被 21 整除，求中间 中的数。

38、8.在下列各数中，哪些能被27 整除？哪些能被 37 整除？1861026，1884924，2175683，2560437，11159126，131313555，266117778。9.在下列各数中，哪些能被19 整除？哪些能被 79 整除？55119，55537，62899，71258，186637，872231，5381717。第 7 讲 奇偶性（一）整数按照能不能被2 整除，可以分为两类：（1）能被 2 整除的自然数叫偶数，例如0，2，4，6，8，10，12，14，16，（2）不能被 2 整除的自然数叫奇数，例如1，3，5，7，9，11，13，15，17，整数由小到大排列，奇、偶数是交替

39、出现的。相邻两个整数大小相差1，所以肯定是一奇一偶。因为偶数能被2 整除，所以偶数可以表示为2n 的形式，其中 n为整数；因为奇数不能被2 整除，所以奇数可以表示为2n+1 的形式，其中 n 为整数。每一个整数不是奇数就是偶数，这个属性叫做这个数的奇偶性。奇偶数有如下一些重要性质：24（1）两个奇偶性相同的数的和（或差）一定是偶数；两个奇偶性不同的数的和（或差）一定是奇数。反过来，两个数的和（或差）是偶数，这两个数奇偶性相同；两个数的和（或差）是奇数，这两个数肯定是一奇一偶。（2）奇数个奇数的和（或差）是奇数；偶数个奇数的和（或差）是偶数。任意多个偶数的和（或差）是偶数。（3）两个奇数的乘积是

40、奇数，一个奇数与一个偶数的乘积一定是偶数。（4）若干个数相乘，如果其中有一个因数是偶数，那么积必是偶数；如果所有因数都是奇数，那么积就是奇数。反过来，如果若干个数的积是偶数，那么因数中至少有一个是偶数；如果若干个数的积是奇数，那么所有的因数都是奇数。（5）在能整除的情况下，偶数除以奇数得偶数；偶数除以偶数可能得偶数，也可能得奇数。奇数肯定不能被偶数整除。（6）偶数的平方能被4 整除；奇数的平方除以4 的余数是 1。因为（2n）2=4n2=4n2，所以（2n）2能被 4 整除；因为（2n+1）2=4n2+4n+1=4（n2+n）+1，所以（2n+1）2除以 4 余 1。（7）相邻两个自然数的乘积

41、必是偶数，其和必是奇数。（8）如果一个整数有奇数个约数（包括1 和这个数本身），那么这个数一定是平方数；如果一个整数有偶数个约数，那么这个数一定不是平方数。整数的奇偶性能解决许多与奇偶性有关的问题。有些问题表面看来似乎与奇偶性一点关系也没有，例如染色问题、覆盖问题、棋类问题等，但只要想办法编上号码，成为整数问题，便可利用整数的奇偶性加以解决。例 1 下式的和是奇数还是偶数？1+2+3+4+1997+1998。分析与解：本题当然可以先求出算式的和，再来判断这个和的奇偶性。但如果能不计算，直接分析判断出和的奇偶性，那么解法将更加简洁。根据奇偶数的25 性质（2），和的奇偶性只与加数中奇数的个数有关

42、，与加数中的偶数无关。11998 中共有 999 个奇数，999 是奇数，奇数个奇数之和是奇数。所以，本题要求的和是奇数。例 2 能否在下式的 中填上“+”或“-”，使得等式成立？123456789=66。分析与解：等号左端共有9 个数参加加、减运算，其中有5 个奇数，4 个偶数。5 个奇数的和或差仍是奇数，4 个偶数的和或差仍是偶数，因为“奇数+偶数=奇数”，所以题目的要求做不到。例 3 任意给出一个五位数，将组成这个五位数的5 个数码的顺序任意改变，得到一个新的五位数。那么，这两个五位数的和能不能等于99999？分析与解：假设这两个五位数的和等于99999，则有下式：其中组成两个加数的5

43、个数码完全相同。因为两个个位数相加，和不会大于9+9=18，竖式中和的个位数是9，所以个位相加没有向上进位，即两个个位数之和等于 9。同理，十位、百位、千位、万位数字的和也都等于9。所以组成两个加数的 10 个数码之和等于9+9+9+9+9=45，是奇数。另一方面，因为组成两个加数的5 个数码完全相同，所以组成两个加数的10个数码之和，等于组成第一个加数的5 个数码之和的 2 倍，是偶数。奇数 偶数，矛盾的产生在于假设这两个五位数的和等于99999，所以假设不成立，即这两个数的和不能等于99999。例 4 在一次校友聚会上，久别重逢的老同学互相频频握手。请问：握过奇数次手的人数是奇数还是偶数？

44、请说明理由。26 分析与解：通常握手是两人的事。甲、乙两人握手，对于甲是握手1 次，对于乙也是握手 1 次，两人握手次数的和是2。所以一群人握手，不论人数是奇数还是偶数，握手的总次数一定是偶数。把聚会的人分成两类：A 类是握手次数是偶数的人，B 类是握手次数是奇数的人。A 类中每人握手的次数都是偶数，所以A 类人握手的总次数也是偶数。又因为所有人握手的总次数也是偶数，偶数-偶数=偶数，所以 B 类人握手的总次数也是偶数。握奇数次手的那部分人即B 类人的人数是奇数还是偶数呢？如果是奇数，那么因为“奇数个奇数之和是奇数”，所以得到 B 类人握手的总次数是奇数，与前面得到的结论矛盾，所以B 类人即握

45、过奇数次手的人数是偶数。例 5 五（2）班部分学生参加镇里举办的数学竞赛，每张试卷有 50 道试题。评分标准是：答对一道给3 分，不答的题，每道给1 分，答错一道扣 1 分。试问：这部分学生得分的总和能不能确定是奇数还是偶数？分析与解：本题要求出这部分学生的总成绩是不可能的，所以应从每个人得分的情况入手分析。因为每道题无论答对、不答或答错，得分或扣分都是奇数，共有 50 道题，50 个奇数相加减，结果是偶数，所以每个人的得分都是偶数。因为任意个偶数之和是偶数，所以这部分学生的总分必是偶数。练习 7 1.能否从四个 3、三个 5、两个 7 中选出 5 个数，使这 5 个数的和等于 22？27 2

46、.任意交换一个三位数的数字，得一个新的三位数，一位同学将原三位数与新的三位数相加，和是999。这位同学的计算有没有错？3.甲、乙两人做游戏。任意指定七个整数（允许有相同数），甲将这七个整数以任意的顺序填在下图第一行的方格内，乙将这七个整数以任意的顺序填在图中的第二行方格里，然后计算出所有同一列的两个数的差（大数减小数），再将这七个差相乘。游戏规则是：若积是偶数，则甲胜；若积是奇数，则乙胜。请说明谁将获胜。4.某班学生毕业后相约彼此通信，每两人间的通信量相等，即甲给乙写几封信，乙也要给甲写几封信。问：写了奇数封信的毕业生人数是奇数还是偶数？5.A 市举办五年级小学生“春晖杯”数学竞赛，竞赛题30

47、 道，记分方法是：底分 15 分，每答对一道加5 分，不答的题，每道加1 分，答错一道扣 1 分。如果有333 名学生参赛，那么他们的总得分是奇数还是偶数？6.把下图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。是否有可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？试讲出理由。7.红星影院有 1999 个座位，上、下午各放映一场电影。有两所学校各有1999名学生包场看这两场电影，那么一定有这样的座位，上、下午在这个座位上坐的是两所不同学校的学生，为什么？第 8 讲 奇偶性（二）例 1 用 09 这十个数码组成五个两位数，每个数字只用一次，要求它们的和是奇数，那么这五个两位数的和最大是多少？28 分析与解：有时题目的要求

48、比较多，可先考虑满足部分要求，然后再调整，使最后结果达到全部要求。这道题的几个要求中，满足“和最大”是最容易的。暂时不考虑这五个数的和是奇数的要求。要使组成的五个两位数的和最大，应该把十个数码中最大的五个分别放在十位上，即十位上放5，6，7，8，9，而个位上放 0，1，2，3，4。根据奇数的定义，这样组成的五个两位数中，有两个是奇数，即个位是1 和 3 的两个两位数。要满足这五个两位数的和是奇数，根据奇、偶数相加减的运算规律，这五个数中应有奇数个奇数。现有两个奇数，即个位数是1，3 的两位数。所以五个数的和是偶数，不合要求，必须调整。调整的方法是交换十位与个位上的数字。要使五个数有奇数个奇数，

49、并且五个数的和尽可能最大，只要将个位和十位上的一个奇数与一个偶数交换，并且交换的两个的数码之差尽可能小，由此得到交换 5 与 4的位置。满足题设要求的五个两位数的十位上的数码是4，6，7，8，9，个位上的数码是 0，1，2，3，5，所求这五个数的和是（4+6+7+8+9）10+（0+1+2+3+5）=351。例 2 7 只杯子全部杯口朝上放在桌子上，每次翻转其中的2 只杯子。能否经过若干次翻转，使得7 只杯子全部杯口朝下？分析与解：盲目的试验，可能总也找不到要领。如果我们分析一下每次翻转后杯口朝上的杯子数的奇偶性，就会发现问题所在。一开始杯口朝上的杯子有7只，是奇数；第一次翻转后，杯口朝上的变

50、为5 只，仍是奇数；再继续翻转，因为只能翻转两只杯子，即只有两只杯子改变了上、下方向，所以杯口朝上的杯子数仍是奇数。类似的分析可以得到，无论翻转多少次，杯口朝上的杯子数永远是奇数，不可能是偶数0。也就是说，不可能使7 只杯子全部杯口朝下。29 例 3 有 m（m 2）只杯子全部口朝下放在桌子上，每次翻转其中的（m-1）只杯子。经过若干次翻转，能使杯口全部朝上吗？分析与解：当 m 是奇数时，（m-1）是偶数。由例2 的分析知，如果每次翻转偶数只杯子，那么无论经过多少次翻转，杯口朝上（下）的杯子数的奇偶性不会改变。一开始 m 只杯子全部杯口朝下，即杯口朝下的杯子数是奇数，每次翻转（m-1）即偶数只