数学分析1期末考试讲解.pdf

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1、.-优选数学分析题目讲解.-优选一、单项选择题（每小题 2 分，共 14 分）.-优选1、设数列nx满足1112nnnxxx且limnnx，则为【】A、0 B、1 C、12D、2.-优选2、已 知tan,0,()1,0,xxf xxx则0 x是()f x 的【】A、第一类不连续点B、第二类不连续点C、连续点.-优选D、可去不连续点3、已知1sin,0()0,0 xxf xxx，则()f x 在0 x处【】.-优选A、左可导B、右可导C、可微D、不连续4、若0lim()xxf x 存 在，下 列 说 法 一 定 正 确 的 是.-优选【】A、()f x 在0 x的任一邻域内有界B、()f x 在

2、0 x的某一邻域内无界C、()f x 在0 x的某一邻域内有界D、()f x 在0 x的任一邻域内无界.-优选5、若()f x 在0 x处连续，并且220()limhf hch，则【】A、(0)0f且(0)f存在B、(0)0f且(0)f存在C、(0)fc且(0)f存在D、(0)fc且(0)f存在.-优选6、若()f x 在点0 x处存在左、右导数，则()f x 在点0 x处必然【】A、可导B、不可导C、连续.-优选D、不连续7、下列叙述错误的是【】.-优选A、若()f x 在点0 x可导，则()f x 在点0 x可微；B、若()f x 在点0 x可导，则()f x 在点0 x连续；C、若()f

3、 x 在点0 x可导，则0()0f x=；D、设()f x 在点0 x可导，则0 x是极值点当仅当0()0fx.参考答案：1.B 2.C 3.A 4.C 5.B 6.C.-优选7.D 二、填空题（每小题 3 分，共 21 分）1、33561lim141xxxxxx.-优选2、曲线lnyx上平行于直线115yx的切线的方程为3、设()1fa，则0(2)(3)limhf ahf ahh.-优选4、曲线22xyxe的斜渐近线为5、函 数32()92415f xxxx的 极 小 值 点 x_ _.-优选6、已知当0 x时ln(1)ax 与1xe等价，则 a7、()5nx.-优选参考答案：1.114e；

4、2.15ln55yx；3.5；4.2yx；.-优选5.4；6.1；7.ln 5 5nx三、计算题（每小题 6 分，共 36 分）.-优选1、计算111lim12nnnnn.-优选1、计算111lim12nnnnn解：设11112nxnnnn，由于1nnnxnnn，lim1nnnn，lim11nnn，（4 分）.-优选由夹逼性，lim1nnx，即原极限为 1。（6 分）2.求极限2011limtanxxxx.-优选220020011tanlimlim (1)tantansincoslim (2)sinsinlim2 sinxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解：分分20 (4)cos1lim

5、 (5)2cossin1 (6)xxxxxx分分分.-优选3.已知()f u任意次可微，求(ln)yfx 的二阶微分2d y.-优选3.已知()f u任意次可微，求(ln)yfx 的2d y.解：令lnux，则d1()dyfuxx，（2 分）.-优选2222222d()d11()(3)dd11()()()()(ln)(ln)(5)fuyfuxxxxfufuxxfufuxfxfxx分分所以，222(ln)(ln)d=dfxfxyxx（6 分）.-优选.-优选4.求方程2arctanln(1)xtyt所确定的函数的导数22ddxy.-优选4.求方程2arctanln(1)xtyt所确定的函数的导数

6、22ddxy.-优选22222232d1d()1d1 (3)d2d()2d11ddd12 (6)2ddd41xxx tttytyy ttttxxtttyyytt解：分分.-优选5.设cossinxyx，求 y.-优选解：对等式两端取对数，lncoslnsinyxx，（1分）再对上式两端分别求导，sincoslnsincossinxyxxxyx（4 分）.-优选2cossinlnsinsinxxxx（5 分）所以，2coscossinsinlnsin (6)sinxxyxxxx分6.求由方程32xyexy 所确定的函数()yy x 的微分dy.解：在方程两端对 x求导，得.-优选223xyeyx

7、yy y.（3 分）解此方程，得223xyxyyeyxey。（4 分）所以，22dd3xyxyyeyxxey。（6 分）四、综合题（3 小题，共 29 分）1.叙述证明题（4 小题，共 14 分）.-优选（1）叙述limnnxA（A有限）的N定义；（3 分）（2）叙述数列的柯西（Cauchy）收敛原理；（3 分）（3）叙述()f x 在区间 I 内一致连续的定义；（3分）（4）证明()sinf xx在(,)上一致连续。（5分）.-优选解：（1）limnnxA（A有限）的N定义：对任意给 定 的0，存 在 正 整 数 N，当 nN 时，有nxA。（3 分）.-优选（2）数列的柯西（Cauchy）

8、收敛原理：数列nx收敛的充要条件是nx是一个基本数列。（3 分）（3）()f x 在区间 I 内一致连续的定义：若()f x在区间 I 内满足对任意的0，存在()0，.-优选使得对 I 内任意两点1x与2x，当12xx时，总有12()()f xf x，则称()f x 在区间 I 内一致连续。（3 分）（4）证明：对任意12,xxR，由于.-优选1212121212()()sinsin2 cossin223f xf xxxxxxxxx（分）故对任意的0，取，则对(,)内任意两点1x与2x，当12xx时，总有12()()f xf x，即()f x 在(,)上一致连续。（5 分）.-优选2.证明：当

9、0 x时，2ln(1)2xxxx.（7 分）证明：（1）证明 ln(1)xx.根据 Lagrange中值定理，ln(1)ln(1)ln11001xxxxx这里（2 分）由 于111，所 以 ln(1)xx。.-优选（3 分）（2）证明2ln(1)2xxx.令2()ln(1)2xf xxx，则21()111xfxxxx，（2 分）当0 x时，.-优选()0fx，()f x 严 格 单 调 递 减，由(0)0f，知()00f xx，从而2ln(1)2xxx。（4 分）3.设()f x 在区间,a b 可导，且()0,()0fafb，()()f af bA，证明：（1）存在(,)a b 使得()fA

10、；（5 分）.-优选（2）()fx 在(,)a b 内至少有两个零点。（3 分）证明：（1）由()()()lim0 xaf xf afaxa，存在10，.-优选使当1(,)xa a时，有()()0f xf axa，此时，()()f xf aA。在1(,)a a中 去 一 点1x，有1()f xA；由()()()lim0 xbf xf bfbxb，存 在20，使当2(,)xbb时，有()()0f xf bxb，此时，()()f xf bA。在2(,)bb中去一点2x，有.-优选2()f xA。（3 分）于是，12()()f xAf x。由()f x在,a b 可导，()f x 在,a b 连续，由中间值定理，存在12(,),x xa b，使得()fA。（5 分）.-优选（2）由罗尔（Rolle）定理，在(,)a内至少存在一点1使得1()0f，在(,)b 内至少存在一点2使得2()0f。故()fx 在(,)a b 内至少有两个零点。（8分）.-优选