2004研究生数学建模竞赛优秀论文.pdf

《2004研究生数学建模竞赛优秀论文.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2004研究生数学建模竞赛优秀论文.pdf（33页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、1 研究生录取的最大匹配模型一、问题重述研究生录取工作一般根据学生初试成绩从高到低排序之后按1:1.5 的比例选择进入复试的名单，复试由专家组对学生的综合素质面试考核，最后由主管部门综合所有学生的初、复试成绩等因素确定录取名单。现计划从 15 名进入复试的学生中招收10 名研究生，所有复试学生的初试成绩、专业志愿、各专家对学生复试的评分，以及10 名拟招收研究生的导师的基本情况等都对外公开。需解决以下问题：(1)首先从主管部门的角度考虑，给出综合学生的初试和复试成绩从15 名候选研究生中筛选10 名研究生的方案，然后给出一名导师配对多名学生和一名导师配对一名学生这两种情形下10 名研究生和导师

2、之间的最佳双向选择方案，使师生双方的满意度最大。(2)首先从导师的角度，不考虑学生申报志愿，给出由导师筛选10名研究生的新方案。然后给出一名导师配对一名学生的最佳双向选择方案。并在选中的即为确定的前提下，给出这10 名研究生各申报一名导师的策略和导师各选择一名研究生的策略。(3)从学校的角度考虑，充分考虑学生和导师的综合情况给出选择5 名导师的方案。再给出这5 名导师择优筛选10 名研究生的方案，以及每一名导师带名研究生的双向选择最佳策略。(4)设计一种更能体现“双向选择”的研究生录取方案，提供给主管部门参考，并说明方案的优越性。二、模型假设1 在硕士研究生录取中，按目前国内大多数高校惯例假定

3、初试和复试成绩所占比例（1:）固定，取值 0.7：0.3。2 假设模型中各部分（如成绩、导师水平各方面、导师对学生要求等）所占权重和具体水平的量化在录取工作之前已对导师、学生和社会完全公开，体现了公平、公正和公开。2 3 本模型假定，作为某学生甲，他对导师A的满意程度，不会因为导师A带的学生数增加而改变。4 同时假定，某导师 A对学生的满意程度是相互独立，且不会因为所带学生数多少而改变。5 模型假定，每一导师和学生配对产生的总合意指数是相互独立，且可以叠加。6 模型假定，师生双方的整体满意度用模型中的总体合意指数矩阵S中的相应元素和来度量，选择最佳的方案，即等价于寻找一个最大匹配，使得在约束下

4、的),(jiS指数和最大。三、问题分析题目中要求根据所给数据表格，给出各种不同的筛选方案、最佳双向选择方案以及一些配对的策略。由于所给表格中除初成绩以外，其他大部分数据都只是半量化的量，所以首先必须根据比较、分散、公平、实际水平和量化数字正相关(即等级高的实际数据量化后的量化值也高)等原则，对数据进行量化工作及标准化。量化这些数据后就可以根据这些数据统计出学生的综合水平及导师的整体评价，从而可以确定出不同的筛选方案。对于其中的“满意度”，这是一个抽象的量，所以在此将其量化为“满意指数”，这样使得最佳双向选择方案的问题转化为关于整体满意指数最大化的问题。而如何使得师生双方配对的满意度最高，是解决

5、问题的一个关键所在。而题目中要求提供一些双向选择过程中的选择策略，这可以类似于一个动态规划的问题求解，为导师（或学生）提供策略，使得每一步他和某学生（或导师）之间相互选择的的机率最高。四、符号定义dN、sN、eN：初始时参与的导师（Director）、学生（Student）、专家（Expert）人数。在本模型中sN取 15；第（3）问中 10 名导师与 10 名学生一对一双向选择，则10sdNN。dn、sn：最后参加双向选择配对的导师、学生人数。3 kji,：在本模型中表示学生、导师（或专家）和涉及讨论各部分各因素的索引下标。iE、iE：第 i 个学生笔试（Examination）的原始成绩和

6、标准化的成绩。ijkI：第 j 个专家对第 i 个学生面试（Interview）第 k 方面的评分。其中51k分别表示：灵活性、创造性、知识面、表达力和外语。ikI、ikI：专家组对第 i 个学生面试（Interview）第k 方面的原始评分和标准化后的评分。Ikw：复试面试中五个方面相对总体的权重（Weight），10,151IiiIiww。：研究生录取工作中初试占初试复试总成绩的权重，由假设1 取7.0。ijM：第 i 个学生的专业发展意愿与第j 个导师专业方向的吻合度，具体取值如下：10.50ijijMijij学生 第一志愿专业方向与导师方向一致学生 第二志愿专业方向与导师方向一致学生

7、没有申报导师的方向则 M表示学生专业意愿与导师专业方向的吻合度矩阵（dsnn）。jM：整体学生的专业意愿和第j 个导师专业方向的吻合指数。jkA：第 j 个导师的第 k 个学术（Academic）水平的原始指标数，其中41k分别表示发表论文数、论文检索数、编（译）著作数和科研项目数。例如，123A表示第 2 个导师的编（译）著作数目为1。jkA：第 j 个导师的第 k 个学术水平的标准化指标数。Aikw：导师各学术水平指标占总体学术水平的权重。10,141AikkAikww。jkR、jkR：第 j 个导师对学生专长的第k 个方面的期望要求（Requirement），及标准化后的期望要求，其中5

8、1k分别表示：灵活性、创造性、知识面、表达力和外语。R表示导师对学生专长的期望要求矩阵（5dn）。Rikw：以第i个学生第 k 方面专长占该学生整体专长的比重，作为该学生评价导4 师时，导师对学生该方面期望占全部期望的权重。10,151RikkRikww。Ijkw：以第 j 个导师对学生第 k 方面专长期望占总体期望的比重，作为该导师评价学生面试成绩时，该方面专长占整体的权重。10,151IjkkIjkww。SRkw：以整体学生在第k 方面专长占总体专长的比重，作为主管部门评价导师时，导师对学生该方面期望占总体期望的权重。10,151SRkkSRkww。DIkw：以导师组对学生第k 方面专长期

9、望占总体的期望的比重，作为导师组评价学生面试成绩时，该方面专长占整体的权重。10,151DIkkDIkww。),(s2djiS：第 i 个学生对第 j 个导师的满意（Satisfaction）指数，dsS2表示一个dsnn学生对导师的满意指数矩阵。),(d2sjiS：第 j 个导师对第 i 个学生的满意指数，sdS2表示一个dsnn导师对学生的满意指数矩阵。),(jiS：第 i 个学生配对第j 个导师双方产生的总体合意指数，S 表示一个dsnn总体合意指数矩阵。dskw2：学生对导师的满意指数所涉及三个方面的权重，10,12312dskkdskww。sdkw2：导师对学生的满意指数所涉及三个方

10、面的权重，10,1s2d312kksdkww。DEkw：导 师(Director)评 价(Evaluation)指 数中 所涉及 三个 方 面 的 权 重，10,131EDkkEDkww。)(iIES：对第 i 个学生的综合评价（The Integrated Evaluation of Student）指数。5)(jIED：对第 j 个导师的综合评价（The Integrated Evaluation of Director）指数。)(iDGIES：导师组对第 i 个学生的综合评价（The Integrated Evaluation of Student by Director Group）指

11、数。ijt：表示第 i 个学生和第 j 个导师间的配对关系。具体如下：个导师之间不配对个学生和第第，个导师之间配对个学生和第第jijitij1,0五、模型的建立1量化数据首先，由于所给表格中除初试成绩以外，其他大部分数据都只是半量化的量，所以首先必须按公平、合理、正相关（即等级高的实际数据量化后的量化值也高）原则对数据进行量化。在面试评分中给出了A、B、C、D四种等级。基于一般学校评分的惯例，A、B、C、D四种等级（有时为优、良、中、差）与100分制的对应关系如下：ABCD 四等级对应 100 分制的范围（分）近似量化分数（分）A 85100 92.5 B 7085 77.5 C 6070 6

12、5 D 060 40 表中最后一列给出100 制中对应的近似量化分数，那么本模型中将学生的面试等级 ABCD 换算为近似量化的分数。导师对学生在某方面专长（如外语）的期望也给出了A、B、C、D四种等级。这里可以将它理解为评价该方面专长对总体重要性的等级，与评价学生水平的等级不同。本模型将把它与重要性评分的4 分制对应起来：ABCD 四等级对应 4 分制的分数A 4 B 3 C 2 D 1 然后需要进行不同指标的标准化，标准化目的是使取值范围不同、分散集中6 程度不同的数据能够进行公平比较。一种简单的标准做法就是：以学生笔试成绩iE为例，标准化后的笔试成绩为：iNiiNiiNiiiEEEEEss

13、s111minmaxmin，则10iE。2给出选取（筛选）方案在对数据进行量化后，接着再根据题目要求给出方案先挑选学生或导师，此方案中根据不同题目要求需提供下列方案：（1）从主管部门的角度考虑，给出综合学生的初试和复试成绩从15 名候选研究生中筛选 10 名研究生；（2）从导师的角度，不考虑学生申报志愿，给出由导师组筛选10 名研究生的新方案。（3）从学校的角度考虑，充分考虑学生和导师的综合情况给出选择5 名导师；根据题目的不同要求，我们将在接下来模型的应用求解中给出不同的方案（先对学生或先对导师进行筛选）。3建立满意度指标经过前面的方案的第一轮筛选，最后剩下的导师数为dn（ddNn），学生数

14、为sn（ssNn），双方再进行双向选择。为了衡量双方选择的满意程度，我们引入了满意度指标，其中学生对导师的满意指数),(s2djiS是衡量学生 i 对导师 j 满意程度的量化指标。同理，导师对学生的满意指数),(2sjiSd是衡量导师 j 对学生 i 满意程度的量化指标。而两者之间的乘积则是衡量他们相互选择产生的双方总体合意程度的量化指标，记为),(jiS。一定程度上，它也表示师生双方互相选择的概率，这是他们相互选择时要考虑的重要参数。接下来，我们先考虑学生对导师的满意指数),(s2djiS。学生会根据自己的专业发展意愿、导师的基本情况和导师对学生的期望要求7 来选择导师，所以我们必须充分考虑

15、这三方面的因素。学生选导师的满意度导师的专业方向导师的期望要求学生志愿和导师专业方向的吻合度创造性表达力知识面灵活性外语导师的学术水平论文检索数编译著作数发表论文数科研项目数图 1：学生对导师的满意度指标上图是学生对导师的满意指数与导师基本情况的AHP图。首先，对与第一层次的三个因素的考虑，一般认为三个因素对),(s2djiS的影响程度依次递减，不妨将权重取为2/121dsw、3/122dsw和6/123dsw。即如下表：表 1：学生对导师的满意（Satisfaction）指数影响的因素影响因素序号影响),(s2djiS具体因素所占权重1 自己专业发展意愿与导师专业方向的吻合程度；取2/121

16、dsw2 导师的基本学术情况；取3/122dsw3 自己专长与导师对学生期望的符合程度；取6/123dsw对于第 1 个因素，考虑第 i 个学生的专业发展意愿与第j 个导师专业方向的吻合度ijM，具体取值如下：10.50ijijMijij学生 第一志愿专业方向与导师方向一致学生 第二志愿专业方向与导师方向一致学生 没有申报导师的方向如本题中，15 个学生的专业发展意愿与10 个导师专业方向的吻合度表格如下：8 表 2：学生专业发展意愿与导师专业方向的吻合度导师 1 导师 2 导师 3 导师 4 导师 5 导师 6 导师 7 导师 8 导师 9 导师 10 学生 1 0 0 0 1 1 0.5

17、0.5 0.5 0 0 学生 2 0.5 0.5 0.5 0 0 1 1 1 0 0 学生 3 1 1 1 0.5 0.5 0 0 0 0 0 学生 4 0 0 0 0 0 0.5 0.5 0.5 1 1 学生 5 0 0 0 0.5 0.5 1 1 1 0 0 学生 6 0 0 0 0 0 1 1 1 0.5 0.5 学生 7 0.5 0.5 0.5 0 0 0 0 0 1 1 学生 8 0 0 0 1 1 0 0 0 0.5 0.5 学生 9 1 1 1 0 0 0.5 0.5 0.5 0 0 学生 10 0.5 0.5 0.5 0 0 1 1 1 0 0 学生 11 0.5 0.5 0.

18、5 0 0 0 0 0 1 1 学生 12 0 0 0 0 0 1 1 1 0.5 0.5 学生 13 0.5 0.5 0.5 1 1 0 0 0 0 0 学生 14 1 1 1 0 0 0.5 0.5 0.5 0 0 学生 15 1 1 1 0.5 0.5 0 0 0 0 0 对于剩下的sn个学生数和dn个导师数，只要从上表中抽取相应行和列构成学生专业发展意愿与导师专业方向的吻合度矩阵M（dsnn）。如下：dsssddnnjnninijinjMMMMMMMMM111111对于第 2 个因素，考虑到导师的总体学术水平由四方面（发表论文数、论文检索数、编（译）著作数和科研项目数）体现。定义jkA

19、表示第 j 个导师的第 k 个学术（Academic）水平的原始指标数，其中41k分别表示四种指标。例如，123A表示第 2 个导师的编（译）著作数目为 1。9 经过标准化后，得到：jkNjjkNjjkNjjkjkAAAAAddd111minmaxmin考虑到 4个学术指标对导师整体的学术水平重要程度均等，权重取4/1Aikw，41k。表 3：影响第j个导师的总体学术水平指数jA的各指标学术指标序号k第k个原始指标数jkA标准后指标数jkA所占权重Aikw1k发表论文数1jA；jkNjjkNjjkNjjkjkAAAAAddd111minmaxmin41k4/11Aiw2k论文检索数2jA；4/

20、12Aiw3k编（译）著作数3jA；4/13Aiw4k科研项目数4jA；4/14Aiw如本题中，10 个导师的标准化后的学术水平指数表格如下：表 4：导师标准化后的学术水平指数表导师序号导师的学术水平指标发表论文数论文检索数编(译)著作数科研项目数导师 1 0.19 0.88 0.67 0.2 导师 2 0.85 0.85 0.38 0.33 导师 3 1.00 1 1 1 导师 4 0.08 0.08 0.13 1 导师 5 0.27 0.27 0 0.33 导师 6 0.42 0.42 0.25 0 导师 7 0.31 0.31 0.13 0.33 导师 8 0.00 0 0.13 0 导

21、师 9 0.85 0.85 0.63 0.67 导师 10 0.27 0.27 0.5 0.67 对于剩下的dn个导师，只要从原始的量化表（即非标准化）中抽取相应的行先构成了学术水平矩 阵，再 标 准化，得到标准化后的学 术水平指数矩阵A(4dn)。10 对于第三个因素，定义jkR为第 j 个导师对学生专长的第k 个方面的期望要求（Requirement），其中51k分别表示：灵活性、创造性、知识面、表达力和外语。由问题分析中提到，jkR取值为 1 到 4 间的某个整数。标准化后，得到：jkNjjkNjjkNjjkjkRRRRRddd111minmaxmin接着，引入Rikw表示：以第i个学生

22、第 k 方面专长占该学生整体专长的比重，作为该学生评价导师时，导师对学生该方面期望占全部期望的权重，具体为：51kikikRikIIw，则10,151RikkRikww。如下表所示：表 5：第i个学生的专长与第j个导师的期望吻合度专长方面序号k第k个方面的期望jkR标准后的期望jkR所占权重Rikw1k灵活性1jR；jkNjjkNjjkNjjkjkRRRRRddd111minmaxmin51k51kikikRikIIw51k2k创造性2jR；3k知识面3jR；4k表达力4jR；5k外语5jR如本题中，10 个导师的标准化后的期望要求表格如下：表 6：导师标准化后的期望要求表导师序号对学生专长的

23、期望要求灵活性创造性专业面表达力外语导师 1 1 0 0 0.5 0.5 导师 2 0 1 1 0.5 0.5 导师 3 1 0 1 0 1 导师 4 0 0 1 0.5 1 导师 5 0 0 0 0.5 1 11 导师 6 1 1 1 0 0.5 导师 7 0 0 0 1 0 导师 8 0 1 0 1 0.5 导师 9 0 1 1 0 0.5 导师 10 1 1 0 0.5 0.5 对于剩下的dn个导师，只要从原始的量化表（即非标准化）中抽取相应行构成了期望要求矩阵，接着标准化，得到标准化后的期望要求指数矩阵R 为5dn。15 个学生在某方面专长占该生整体专长的比重形成的用于评价导师对学生该

24、方面期望占全部期望的权重，表格如下：表 7：学生各成绩的优势比重复试学生各成绩的优势比重灵活性创造性知识面表达力外语学生 1 0.212 0.187 0.202 0.192 0.207 学生 2 0.211 0.181 0.216 0.181 0.211 学生 3 0.217 0.228 0.177 0.182 0.196 学生 4 0.214 0.204 0.189 0.189 0.204 学生 5 0.215 0.210 0.185 0.185 0.205 学生 6 0.209 0.179 0.225 0.212 0.175 学生 7 0.252 0.192 0.202 0.177 0.1

25、77 学生 8 0.198 0.199 0.226 0.179 0.199 学生 9 0.214 0.180 0.215 0.198 0.193 学生 10 0.173 0.238 0.250 0.199 0.141 学生 11 0.143 0.207 0.207 0.241 0.202 学生 12 0.221 0.194 0.194 0.191 0.200 学生 13 0.216 0.187 0.201 0.218 0.178 学生 14 0.174 0.198 0.236 0.203 0.189 学生 15 0.218 0.192 0.183 0.207 0.201 对于剩下的sn个学生，

26、只要从上表中抽取相应行便构成了期望权重矩阵RW（5sn）。综上所述，学生对导师的满意度为：jdsjdsijdsRwAwMwjiS232221s2d),(，12 其中，41kjkAikjAWA，51kjkRikjRWR。由此构成的sn个学生对dn个导师的满意度矩阵s2dS（dsnn）为：TRdsTAdsdsRWwAWwMwS232221s2d其中，AW为由AkW构成的一个常量权重矩阵（4sn），而TA和TR分别表示矩阵 A 和 R 的转置。类似地，我们可以考虑导师对学生的满意度),(d2sjiS。导师根据学生所报专业志愿、专家组对学生专长的评价和自己对学生的期望要求等来选择学生。所以我们必须充分

27、考虑这三方面的因素。导师选学生的满意度学生的志愿方向学生志愿和导师专业方向的吻合度初试成绩复试成绩笔试成绩创造性表达力知识面灵活性外语图 2：导师对学生的满意度指标上图是导师对学生的满意度指数与学生基本情况的AHP图。首先，考虑第一层次的三个因素，一般认为三个因素对总体的影响程度均等，不妨将权重取为3/12sdkw，31k。即如下表：表 8：导师对学生的满意（Satisfaction）指数影响的因素影响因素序号影响),(d2sjiS具体因素所占权重1 导师专业方向与学生专业发展意愿的吻合程度；取3/121sdw2 学生的初试成绩；取3/122sdw3 导师对学生的期望与学生专长的符合程度；取3

28、/123sdw13 对于第 1 个因素，与前面类似的，对于剩下的sn个学生数和dn个导师数，只要从上表8 中抽取相应行和列构成学生专业发展意愿与导师专业方向的吻合矩阵 M 为dsnn。对于第 2 个因素，对剩下的sn个学生数的笔试成绩进行标准化形成列向量。这个列向量再乘以一个dn1的常数 1 横向量，形成成绩矩阵E为dsnn。对于第 3 个因素，引入Ijkw 表示：以第 j 个导师对学生第 k 方面专长期望占总体期望的比重，作为该导师评价学生面试成绩时，该方面专长占整体的权重。具体为：51kjkjkIjkRRw，则10,151IjkkIjkww。如下表所示：表 9：第j个导师的期望与第i个学生

29、的专长吻合程度专长方面序号k第k个方面的期望jkR标准后的期望jkR所占权重Ijkw1k灵活性1jR；jkNjjkNjjkNjjkjkRRRRRddd111minmaxmin51k51kjkjkIjkRRw51k2k创造性2jR；3k知识面3jR；4k表达力4jR；5k外语5jR如本题中，15个学生的面试成绩标准化后如下表：表 10：标准化后的学生面试成绩复试学生专家组对学生专长的面试评分灵活性创造性知识面表达力外语学生 10.95 0.6 0.73 0.72 0.95 学生 20.95 0.5 1 0.55 1 学生 30.78 1 0 0.23 0.65 学生 40.73 0.52 0.1

30、5 0.31 0.7 学生 50.84 0.81 0.23 0.39 0.8 14 学生 60.64 0 0.65 0.63 0.4 学生 71 0.16 0.23 0 0.39 学生 80.63 0.52 0.83 0.23 0.7 学生 90.84 0.24 0.74 0.63 0.7 学生 100.18 0.71 0.73 0.16 0 学生 110 0.41 0.3 1 0.61 学生 120.95 0.59 0.45 0.56 0.79 学生 130.73 0.16 0.3 0.75 0.44 学生 140.32 0.33 0.82 0.47 0.53 学生 150.89 0.5 0

31、.23 0.81 0.79 对于剩下的sn个学生，只要从原始的量化表（即非标准化）中抽取相应行构成了期望要求矩阵，再标准化，得到标准化后的面试成绩矩阵I 为5sn。10 个导师自己对学生面试成绩的侧重如下：表 11：导师对学生面试成绩的侧重导师序号对学生专长的期望要求的偏重灵活性创造性专业面表达力外语导师 1 0.25 0.19 0.19 0.19 0.19 导师 2 0.18 0.24 0.24 0.18 0.18 导师 3 0.24 0.18 0.24 0.12 0.24 导师 4 0.18 0.18 0.24 0.18 0.24 导师 5 0.19 0.19 0.19 0.19 0.25

32、 导师 6 0.24 0.24 0.24 0.12 0.18 导师 7 0.2 0.2 0.2 0.27 0.13 导师 8 0.18 0.24 0.18 0.24 0.18 导师 9 0.19 0.25 0.25 0.13 0.19 导师 10 0.24 0.24 0.18 0.18 0.18 对于剩下的dn个导师，只要从上表中抽取相应的行便构成了期望权重矩阵iW（5dn）。综上所述，导师对学生的满意度为：issdisdijsdsdIwEwMwjiS2322212),(，其中，51kikIjkiIWI。由此构成的dn个导师对sn个学生的满意度矩阵，这里也为dsnn：15 TIssdsdsds

33、dWIwEwMwjiS2322212),(其中，TIW表示矩阵IW的转置。最后我们定义),(),(),(22jiSjiSjiSsdds表示第 i 个学生配对第j 个导师双方产生的总体合意指数，用于描述师生间通过双向选择后搭配的总体效用。S为一个dsnn总体合意指数矩阵。4进行双向选择在进行双向选择中，导师在学生心目中有一个满意度，而导师也对学生有个满意度。如果两个人相互选择，则此时师生的满意程度就是),(jiS。那么为了让整体师生之间满意度最大，也就是在这总体合意指数矩阵S的dsnn选择某几个位置的量相加，此时问题的最优化便转化为二部图问题中的最大匹配问题，对这一问题的求解可以用广义的匈牙利算

34、法求解。六、模型的应用求解1问题（1）的求解：首先确定筛选方案，学校主管部门筛选学生，考虑因素有两个：初试成绩、复试时专家组面试成绩。见以下AHP模型表示图：主管部门选研究生的标准初试成绩复试成绩笔试成绩创造性表达力知识面灵活性外语图 3：主管部门选研究生的标准16 为进行公平比较，将初试笔试成绩标准化：iNiiNiiNiiiEEEEEsss111minmaxmin，则10iE。题目中提到每位专家根据自己看法和偏好对每个复试学生的各方面进行评价。为了保证专家组整体的评价更加客观，这里借鉴体操或跳水运动中的计分规则，在 8 位专家的评分中去掉一个最高分和一个最低分，得到专家组对第i 个学生面试（

35、Interview）第 k 方面的原始评分ikI：kiNjkiNjNijkikIIIIeeej1j11jminmax；标准化后的评分为：ikNiikNiikNiikikIIIIIsss111minmaxmin，则10ikI。对于面试中的五个方面（灵活性、创造性、知识面、表达力和外语），这里假设对于一名合格的硕士研究生，必须同时兼顾这五个方面。每个方面同等重要，取51,51kwIk。那么结合初试笔试和复试面试成绩后，可以得到对第i 个学生的综合评价（The Integrated Evaluation of Student）指数：ikkIkiIwEiIES511)(，其中7.0。综上所述，第一问中

36、从15 名学生中筛选10 名的解决过程：求出)(iIES，sNi1的具体数值，并排序，如下表所示。前10 名即为被录取学生。表 12：学生的综合评价指数)(iIES表排名学生号)(iIES1 学生 1 0.94 2 学生 2 0.87 3 学生 3 0.74 4 学生 4 0.62 5 学生 5 0.6 6 学生 6 0.53 17 7 学生 8 0.48 8 学生 9 0.46 9 学生 7 0.44 10 学生 12 0.39 11 学生 11 0.38 12 学生 10 0.36 13 学生 15 0.2 14 学生 13 0.19 15 学生 14 0.18 然后，要求被录取的10 名

37、研究生与 10 名导师之间做双向选择，为了更好体现师生间的双向选择过程，这里用学生对导师的满意指数矩阵dsS2和导师对学生的满意指数矩阵sdS2，来表示他们的满意程度。根据前面定义，我们可以算出学生对导师的满意指数矩阵如下：表 13：问题 1 中学生对导师的满意指数矩阵导师 1 导师 2 导师 3 导师 4 导师 5 导师 6 导师 7 导师 8 导师 9 导师 10 学生 1 0.23 0.30 0.44 0.69 0.62 0.46 0.37 0.34 0.33 0.24 学生 2 0.48 0.55 0.69 0.19 0.12 0.71 0.62 0.59 0.33 0.24 学生 3

38、 0.73 0.80 0.93 0.43 0.37 0.21 0.12 0.10 0.33 0.25 学生 4 0.23 0.30 0.43 0.19 0.12 0.46 0.37 0.34 0.83 0.74 学生 5 0.23 0.30 0.43 0.44 0.37 0.71 0.62 0.59 0.33 0.25 学生 6 0.23 0.30 0.43 0.19 0.12 0.71 0.63 0.59 0.58 0.49 学生 8 0.23 0.30 0.44 0.69 0.62 0.21 0.12 0.09 0.59 0.49 学生 9 0.73 0.80 0.94 0.19 0.12

39、 0.46 0.37 0.34 0.33 0.24 学生 7 0.48 0.55 0.69 0.19 0.12 0.21 0.12 0.09 0.83 0.75 学生 12 0.23 0.30 0.44 0.19 0.12 0.71 0.62 0.59 0.58 0.49 导师对学生的满意指数矩阵如下：表 14：问题 1 中导师对学生的满意指数矩阵导师 1 导师 2 导师 3 导师 4 导师 5 导师 6 导师 7 导师 8 导师 9 导师 10 学生 1 0.61 0.56 0.53 0.80 0.76 0.56 0.52 0.50 0.36 0.27 学生 2 0.78 0.73 0.71

40、 0.48 0.43 0.74 0.68 0.67 0.37 0.27 学生 3 0.81 0.77 0.72 0.49 0.46 0.28 0.22 0.22 0.25 0.16 学生 4 0.46 0.41 0.37 0.32 0.28 0.42 0.37 0.36 0.56 0.46 学生 5 0.52 0.48 0.44 0.54 0.51 0.65 0.59 0.59 0.29 0.20 学生 6 0.43 0.39 0.34 0.30 0.25 0.55 0.53 0.50 0.36 0.26 学生 8 0.47 0.45 0.40 0.68 0.63 0.28 0.22 0.21

41、 0.42 0.31 学生 9 0.86 0.82 0.78 0.39 0.35 0.48 0.44 0.42 0.28 0.19 学生 7 0.61 0.55 0.52 0.28 0.24 0.24 0.17 0.15 0.53 0.44 学生 12 0.56 0.51 0.47 0.41 0.38 0.68 0.63 0.62 0.48 0.40 18 最后确定学生配对导师双方产生的总体合意指数矩阵S如下：表 15：问题 1 中师生双方合意指数表导师 1 导师 2 导师 3 导师 4 导师 5 导师 6 导师 7 导师 8 导师 9 导师 10 学生 1 2.01 2.39 3.14 1.

42、92 1.55 2.71 2.22 2.06 2.74 2.25 学生 2 2.31 2.71 3.51 2.12 1.72 2.80 2.28 2.10 2.79 2.27 学生 3 1.74 2.04 2.64 1.64 1.35 2.14 1.75 1.62 2.00 1.60 学生 4 1.53 1.80 2.35 1.33 1.06 1.91 1.56 1.43 2.08 1.72 学生 5 1.81 2.14 2.80 1.71 1.38 2.34 1.91 1.77 2.37 1.94 学生 6 1.51 1.78 2.32 1.37 1.10 1.86 1.51 1.39 1.

43、97 1.61 学生 8 1.46 1.74 2.30 1.37 1.10 2.03 1.67 1.55 2.11 1.75 学生 9 2.03 2.38 3.06 1.89 1.54 2.39 1.94 1.79 2.29 1.84 学生 7 1.46 1.71 2.23 1.28 1.03 1.77 1.44 1.33 1.85 1.52 学生 12 1.98 2.33 3.04 1.79 1.43 2.46 2.01 1.85 2.59 2.12 本模型将全部的师生双方的满意度用总体合意指数矩阵S 中的元素和来度量，选择最佳的方案，即等价于寻找在约束下),(jiS的一个最大匹配。本问题可

44、以归结为非严格一对多的最优匹配问题：sdninjijjiSt11),(max101.1或ijnjijtttsd其中10sn，10dn，ijt表示第 i 个学生和第 j 个导师间的配对关系。具体含义：个导师之间不配对个学生和第第，个导师之间配对个学生和第第jijitij1,0。（下同）此问题的求解比较容易，只要选出每一行的最大数就行了。也即对于sNi1中的每个行 i，),(max),(1jiSjiSdNj，令1ijt，即表示第 i 个学生和第j个导师标搭配。经过sn次后得到的方案，即为最优方案。如表所示：19 表 16：问题 1 中师学双方相互选择表（1 对多）导师 1 导师 2 导师 3 导师

45、 4 导师 5 导师 6 导师 7 导师 8 导师 9 导师 10 学生 1 0.14 0.17 0.23 0.55 0.47 0.26 0.19 0.17 0.12 0.07 学生 2 0.37 0.40 0.49 0.09 0.05 0.53 0.42 0.39 0.12 0.07 学生 3 0.59 0.62 0.67 0.22 0.17 0.06 0.03 0.02 0.08 0.04 学生 4 0.11 0.12 0.16 0.06 0.03 0.19 0.14 0.12 0.46 0.34 学生 5 0.12 0.14 0.19 0.24 0.19 0.46 0.37 0.35 0

46、.10 0.05 学生 6 0.10 0.12 0.15 0.06 0.03 0.39 0.33 0.30 0.21 0.13 学生 8 0.11 0.14 0.18 0.47 0.39 0.06 0.03 0.02 0.25 0.15 学生 9 0.63 0.65 0.73 0.07 0.04 0.22 0.17 0.14 0.09 0.05 学生 7 0.29 0.30 0.36 0.05 0.03 0.05 0.02 0.01 0.44 0.33 学生 12 0.13 0.15 0.21 0.08 0.05 0.49 0.39 0.37 0.28 0.20 注：表中灰色即为该行学生和该列

47、学生配对。总体合意指数和为：5.19 00.20.40.60.8导师1导师4导师7导师学生1学生6学生1学生2学生3学生4学生5学生6学生8学生9学生7学生12图 4：合意指数立体示意图2问题（2）的求解：此问题要求将第（1）问中选取的 10 个学生与 10 个导师之间做双向选择，规定每一位导师只能带一名研究生，给出一种最佳双向选择方案，使师生双方的满意度最大。本问题可以归结为严格一对一的最优匹配问题。一个导师配对一名学生的最优匹配问题：sdninjijjiSt11),(max，1011.11is或ijnjijnijttttsd，其中10sn，10dn。20 运用最大匹配问题的匈牙利算法可以求

48、解，输入dsnn的总体合意指数矩阵S，运行程序即可得到匹配结果。如表所示：表 17：问题 2 中师学双方相互选择表（1 对 1）导师 1 导师 2 导师 3 导师 4 导师 5 导师 6 导师 7 导师 8 导师 9 导师 10 学生 1 0.14 0.17 0.23 0.55 0.47 0.26 0.19 0.17 0.12 0.07 学生 2 0.37 0.40 0.49 0.09 0.05 0.53 0.42 0.39 0.12 0.07 学生 3 0.59 0.62 0.67 0.22 0.17 0.06 0.03 0.02 0.08 0.04 学生 4 0.11 0.12 0.16

49、0.06 0.03 0.19 0.14 0.12 0.46 0.34 学生 5 0.12 0.14 0.19 0.24 0.19 0.46 0.37 0.35 0.10 0.05 学生 6 0.10 0.12 0.15 0.06 0.03 0.39 0.33 0.30 0.21 0.13 学生 8 0.11 0.14 0.18 0.47 0.39 0.06 0.03 0.02 0.25 0.15 学生 9 0.63 0.65 0.73 0.07 0.04 0.22 0.17 0.14 0.09 0.05 学生 7 0.29 0.30 0.36 0.05 0.03 0.05 0.02 0.01

50、0.44 0.33 学生 12 0.13 0.15 0.21 0.08 0.05 0.49 0.39 0.37 0.28 0.20 总体合意指数和为：4.64。在 1 对 1 的约束条件下，这里最优方案的总体合意指数和明显小于1 对多的第一个问题方案。3问题（3）的求解：首先确定筛选方案，10 个导师组成的导师组筛选学生，考虑因素有两个：初试成绩、复试时专家组面试成绩。见以下AHP模型表示图：导师组选研究生的标准初试成绩复试成绩笔试成绩创造性表达力知识面灵活性外语图 5：导师组选学生的标准这个问题的解答与第(1)问很相似，不同的地方在于此次导师组选学生，那他们会根据自己对学生的期望来挑选学生。