2010年第27届全国中学生物理竞赛复赛试卷及答.pdf

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1、全国中学生物理竞赛复赛1-20 第 27 届全国中学生物理竞赛复赛试卷本卷共九题，满分160 分计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤只写出最后结果的不能得分有数字计算的题答案中必须明确写出数值和单位填空题把答案填在题中的横线上，只要给出结果，不需写出求解的过程一、（15 分）蛇形摆是一个用于演示单摆周期与摆长关系的实验仪器（见图）若干个摆球位于同一高度并等间距地排成一条直线，它们的悬挂点在不同的高度上，摆长依次减小设重力加速度g=9.80 m/s2,1 试设计一个包含十个单摆的蛇形摆（即求出每个摆的摆长），要求满足：(a）每个摆的摆长不小于0.450m，不大于 1.00m;

2、(b）初始时将所有摆球由平衡点沿x 轴正方向移动相同的一个小位移xo(xo 0）的粒子作角速度为、半径为 R 的匀速圆周运动.一长直细导线位于圆周所在的平面内，离圆心的距离为d(d R)，在导线上通有随时间变化的电流I,t=0 时刻，粒子速度的方向与导线平行，离导线的距离为 d+R.若粒子做圆周运动的向心力等于电流 i,的磁场对粒子的作用力，试求出电流 i 随时间的变化规律不考虑变化的磁场产生的感生电场及重力的影响长直导线电流产生的磁感应强度表示式中的比例系数 k 已知全国中学生物理竞赛复赛3-20 五、（20 分）如图所示，两个固定的均匀带电球面，所带电荷量分别为+Q和-Q(Q 0)，半径分

3、别为R和 R/2，小球面与大球面内切于C点，两球面球心O和 O的连线 MN沿竖直方在MN与两球面的交点B、0 和 C 处各开有足够小的孔因小孔损失的电荷量忽略不计，有一质量为m，带电荷为 q(q0 的质点自MN线上离 B 点距离为R 的 A点竖直上抛。设静电力常量为k，重力加度为g.1 要使质点从 A 点上抛后能够到达B点，所需的最小初动能为多少？2要使质点从A 点上抛后能够到达O 点，在不同条件下所需的最小初动能各为多少？六、（20 分）由单位长度电阻为r 的导线组成如图所示的正方形网络系列n=1 时，正方形网络边长为L,n=2 时，小正方形网络的边长为L/3；n=3 时，最小正方形网络的边

4、长为L/9 当n=1、2、3 时，各网络上A、B 两点间的电阻分别为多少？全国中学生物理竞赛复赛4-20 七、（15 分）地球上的能量从源头上说来自太阳辐射到达地面的太阳辐射（假定不计大气对太阳辐射的吸收）一部分被地球表面反射到太空，其余部分被地球吸收被吸收的部分最终转换成为地球热辐射（红外波段的电磁波）热辐射在向外传播过程中，其中一部分会被温室气体反射回地面，地球以此方式保持了总能量平衡。作为一个简单的理想模型，假定地球表面的温度处处相同，且太阳和地球的辐射都遵从斯忒蕃一玻尔兹曼定律：单位面积的辐射功率 J 与表面的热力学温度 T 的四次方成正比，即 J=T4,其中 是一个常量已知太阳表面温

5、度Ts=5.78 103 K，太阳半径 Rs=6.69 105 km,地球到太阳的平均距离d=1.50 108km 假设温室气体在大气层中集中形成一个均匀的薄层，并设它对热辐射能量的反射率为=0.38.1如果地球表面对太阳辐射的平均反射率=0.30，试问考虑了温室气体对热辐射的反射作用后，地球表面的温度是多少？2如果地球表面一部分被冰雪覆盖，覆盖部分对太阳辐射的反射率为1=0.85，其余部分的反射率处 2=0.25 间冰雪被盖面占总面积多少时地球表面温度为 273K.八、（20 分）正午时太阳的入射光与水平面的夹角=450有一座房子朝南的墙上有一个直径 W=10cm 的圆窗，窗口中心距地面的高

6、度为 H 试设计一套采光装置，使得正午时刻太阳光能进人窗口，并要求进入的光为充满窗口、垂直墙面、且光强是进人采光装置前 2 倍的平行光可供选用的光学器件如下：一个平面镜，两个凸透镜，两个凹透镜；平面镜的反射率为 80%，透镜的透射率为 70%，忽略透镜表面对光的反射要求从这些器件中选用最少的器件组成采光装置试画出你所设计的采光装置中所选器件的位置及该装置的光路图，并求出所选器件的最小尺寸和透镜焦距应满足的条件.全国中学生物理竞赛复赛5-20 九、（16 分）已知粒子 1 和粒子 2 的静止质量都是 m0，粒子 1 静止，粒子 2 以速度v0与粒子 1 发生弹性碰撞1.若碰撞是斜碰，考虑相对论效

7、试论证：碰后两粒子速度方向的夹角是锐角、直角还是钝角若不考虑相对论效应结果又如何？2.若碰撞是正碰，考虑相对论效应，试求碰后两粒子的速度.全国中学生物理竞赛复赛6-20 解答一、参考解答：1以il 表示第 i 个单摆的摆长，由条件（b）可知每个摆的周期必须是40s 的整数分之一，即iii402lTgN（Ni为正整数）（1）(1)式以及下面的有关各式都是在采用题给单位条件下的数值关系.由(1)可得，各单摆的摆长i22i400glN（2）依题意，i0.450m1.000ml，由此可得i20200.45ggN（3）即i2029N（4）因此，第i 个摆的摆长为i22400(19i)gl(i1,2,10

8、)（5）i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 li/m0.993 0.901 0.821 0.751 0.690 0.635 0.588 0.545 0.507 0.472 220s评分标准：本题 15 分第 1 小问 11 分（2）式 4 分，（4）式 4 分，10 个摆长共3 分第 2 小问 4 分二、参考解答：设该恒星中心到恒星行星系统质心的距离为d，根据题意有2Ld（1）将有关数据代入（1）式，得AU1053d又根据质心的定义有全国中学生物理竞赛复赛7-20 M drdm（2）式中r为行星绕恒星做圆周运动的轨道半径，即行星与恒星之间的距离.根据万有引力定律有222M mGM d

9、rT（3）由（2）、（3）两式得232241mdGTMm（4）若考生用r表示行星到恒星行星系统质心的距离，从而把(2)式写为M drm，把(3)式写为222 M mGM dTrd，则同样可得到(4)式，这也是正确的.利用（1）式，可得322221LmG TMm（5）（5）式就是行星质量m 所满足的方程可以把(5)试改写成下面的形式3322221mMLG M Tm M（6）因地球绕太阳作圆周运动，根据万有引力定律可得3S22(1A U)(1y)4G M（7）注意到SMM，由（6）和（7）式并代入有关数据得3102S8.6101SmMmM(8)由（8）式可知S1mM由近似计算可得3S110mM（9

10、）由于 m M 小于 1/1000，可近似使用开普勒第三定律，即3322(1AU)(1y)rT（10）全国中学生物理竞赛复赛8-20 代入有关数据得5A Ur（11）评分标准：本题 20 分（1）式 2 分，（2）式 3 分，（3）式 4 分，（5）式 3 分，（9）式 4 分，（11）式 4 分三、参考解答：解法一一倾角为的直角三角形薄片(如图1 所示)紧贴于半径为R的圆柱面，圆柱面的轴线与直角三角形薄片的沿竖直方向的直角边平行，若把此三角形薄片卷绕在柱面上，则三角形薄片的斜边就相当于题中的螺线环根据题意有1tan22RR（1）可得5sin5，25cos5（2）设在所考察的时刻，螺旋环绕其转

11、轴的角速度为，则环上每一质量为im的小质元绕转轴转动线速度的大小都相同，用u 表示，uR（3）该小质元对转轴的角动量2iiiLm uRm R整个螺旋环对转轴的角动量22iiLLm RmR（4）小球沿螺旋环的运动可视为在水平面内的圆周运动和沿竖直方向的直线运动的合成在螺旋环的角速度为时，设小球相对螺旋环的速度为v，则小球在水平面内作圆周运动的速度为cosRPvv（5）沿竖直方向的速度sinvv（6）对由小球和螺旋环组成的系绕，外力对转轴的力矩为0，系统对转轴的角动量守恒，故有0mRLPv（7）由（4）、（5）、（7）三式得图 1 hmvu全国中学生物理竞赛复赛9-20 v cosR=R（8）在小

12、球沿螺旋环运动的过程中，系统的机械能守恒，有222i1122mghmm uPvv（9）由（3）、（5）、（6）、（9）四式得2222singh=RRvv2cos（10）解（8）、（10）二式，并利用（2）式得123gh=R（11）3v=10 gh（12）由（6）、（12）以及（2）式得23vgh（13）或有2123ghv（14）（14）式表明，小球在竖直方向的运动是匀加速直线运动，其加速度13ag（15）若小球自静止开始运动到所考察时刻经历时间为t，则有212h=a t（16）由（11）和（16）式得3gtR（17）（17）式表明，螺旋环的运动是匀加速转动，其角加速度3gR（18）小球对螺旋环

13、的作用力有：小球对螺旋环的正压力1N，在图 1 所示的薄片平面内，方向垂直于薄片的斜边；螺旋环迫使小球在水平面内作圆周运动的向心力2N的反作用力2N向心力2N在水平面内，方向指向转轴C，如图 2 所示1N、2N两力中只有1N对螺旋环的转轴有力矩，由角动量定理有CRm2N图 2 全国中学生物理竞赛复赛10-20 1sinNRtL（19）由（4）、（18）式并注意到t得153 sin3mgNmg（20）而222NNmRPv（21）由以上有关各式得223hNmgR（22）小球对螺旋环的作用力2221221453hNNNmgR（23）评分标准：本题 22 分（1）、（2）式共 3 分，（7）式 1 分

14、，（9）式 1 分，求得（11）式给 6 分，（20）式 5 分，（22）式 4 分，（23）式 2 分解法二一倾角为的直角三角形薄片(如图1 所示)紧贴于半径为R的圆柱面，圆柱面的轴线与直角三角形薄片的沿竖直方向的直角边平行，若把此三角形薄片卷绕在柱面上，则三角形薄片的斜边就相当于题中的螺线环根据题意有1tan22RR（1）可得5sin5，25cos5（2）螺旋环绕其对称轴无摩擦地转动时，环上每点线速度的大小等于直角三角形薄片在光滑水平地面上向左移动的速度小球沿螺旋环的运动可视为在竖直方向的直线运动和在水平面内的圆周运动的合成在考察圆周运动的速率时可以把圆周运动看做沿水平方向的直线运动，结果

15、小球的运动等价于小球沿直角三角形斜边的运动小球自静止开始沿螺旋环运动到在竖直方向离初始位置的距离为h 的位置时，设小球相对薄片斜边的速度为v，沿薄片斜边的加速度为 a 薄片相对地面向左移动的速度为u，向左移动的加速度为0a u 就是螺旋环上每一质元绕转轴转动的线速度，若此时螺旋环转动的角速度为，则有图 1 hmvu全国中学生物理竞赛复赛11-20 uR（3）而0a就是螺旋环上每一质元绕转轴转动的切向加速度，若此时螺旋环转动的角加速度为，则有0aR（4）小球位于斜面上的受力情况如图2 所示：重力mg，方向竖直向下，斜面的支持力N，方向与斜面垂直，以薄片为参考系时的惯性力f，方向水平向右，其大小0

16、fma（5）由牛顿定律有cossinmgNf（6）sincosmgfma（7）0sinNma（8）解（5）、（6）、（7）、（8）四式得2sinsin2a=g（9）2cos=1sinNmg（10）02sincos1+sinag（11）利用（2）式可得53a=g（12）53N=mg（13）013ag（14）由（4）式和（14）式，可得螺旋环的角加速度gR（15）若小球自静止开始运动到所考察时刻经历时间为t，则此时螺旋环的角速度t（16）因小球沿螺旋环的运动可视为在水平面内的圆周运动和沿竖直方向的直线运动的合成，而小球沿竖直方向的加速度0a图2mg*fNa全国中学生物理竞赛复赛12-20 sina

17、aa（17）故有212h=a t（18）由（15）、（16）、（17）、（18）、以及（2）式得23ghR（19）小球在水平面内作圆周运动的向心力由螺旋环提供，向心力位于水平面内，方向指向转轴，故向心力与图2 中的纸面垂直，亦即与N垂直向心力的大小21NmRPv（20）式中v是小球相对地面的速度在水平面内的分量.若a为小球相对地面的加速度在水平面内的分量，则有a tPPv（21）令a为 a 在水平面内的分量，有00cosaaaaaPP-（22）由以上有关各式得123hNmgR（23）小球作用于螺旋环的力的大小2201NNN（24）由（13）、（23）和（24）式得202453mghNR（25）

18、评分标准：本题 22 分（1）、（2）式共 3 分，（9）或（12）式 1 分，（10）或（13）式 5 分，（11）或（14）式1 分，（19）式 6 分，（23）式 4 分，（25）式 2 分四、参考解答：以 v 表示粒子的速率，以 B 表示电流 i 产生磁场的磁感应强度，根据题意粒子作圆周运动的向心力为粒子受到的磁场洛仑兹力，因此有2qBmRvv（1）dRqtOxyi 全国中学生物理竞赛复赛13-20 而Rv（2）由（1）、（2）两式得mBq（3）如图建立坐标系，则粒子在时刻t的位置()cosx tRt，()siny tRt（4）取电流的正方向与y 轴的正向一致，设时刻t 长直导线上的电

19、流为()i t，它产生的磁场在粒子所在处磁感应强度大小为()()i tBkdx t（5）方向垂直圆周所在的平面.由（4）、（5）式，可得()(cos)mi tkdRtq（6）评分标准：本题 12 分（3）式 4 分，（4）式 2 分，（5）式 4 分，（6）式 2 分五、参考解答：1质点在AB应作减速运动（参看图1）设质点在A 点的最小初动能为k0E，则根据能量守恒，可得质点刚好能到达B 点的条件为k03/225/2kqQkqQkqQkqQmgRERRRR（1）由此可得k0730kqQEmgRR（2）2 质点在BO的运动有三种可能情况：i质点在BO作加速运动（参看图1），对应条件为249kqQ

20、mgR（3）此时只要质点能过B 点，也必然能到达O 点，因此质点能到达O 点所需的最小初动能由（2）式给出，即k0730kqQEmgRR（4）若（3）式中取等号，则最小初动能应比（4）式给出的k0E略大一点ii质点在BO作减速运动（参看图1），对应条件为OCABRRQM2RqQON 图 1 全国中学生物理竞赛复赛14-20 24kqQmgR（5）此时质点刚好能到达O 点的条件为k0(2)/225/2kqQkqQkqQkqQmgRERRRR（6）由此可得k011210kqQEmgRR（7）iii 质点在BO之间存在一平衡点D（参看图2），在BD质点作减速运动，在DO质点作加速运动，对应条件为22

21、449kqQkqQmgRR（8）设 D 到 O 点的距离为x，则2(/2)kqQmgRx（9）即2kqQRxmg（10）根据能量守恒，质点刚好能到达D 点的条件为k0(2)/225/2kqQkqQkqQkqQmgRxERRxRR（11）由（10）、（11）两式可得质点能到达D 点的最小初动能为k0592210kqQEmgRkgm qQR（12）只要质点能过D 点也必然能到达O 点，所以，质点能到达O 点的最小初动能也就是（12）式（严格讲应比（12）式给出的k0E略大一点）评分标准：本题 20 分第 1 小问 5 分求得（2）式给 5 分第 2 小问 15 分算出第 i 种情况下的初动能给2

22、分；算出第 ii 种情况下的初动能给5 分；算出第 iii 种情况下的初动能给8 分，其中（10）式占 3 分六、参考解答：1n时，A、B 间等效电路如图1 所示，A、B 间的电阻OCABRRQM2RqQOD x N 图 2 rLrLrLrLAB图1全国中学生物理竞赛复赛15-20 11(2)2RrLrL（1）2n时，A、B 间等效电路如图2 所示，A、B 间的电阻21141233RrLR（2）由（1）、（2）两式得256RrL(3)3n时，A、B 间等效电路如图3 所示，A、B 间的电阻3211331233229443RrLR（4）由（3）、（4）式得379RrL（5）评分标准：本题 20

23、分（1）式 4 分，（3）式 6 分，（5）式 10 分七、参考解答：根据题意，太阳辐射的总功率24SSS4 PRT太阳辐射各向同性地向外传播设地球半径为Er，可以认为地球所在处的太阳辐射是均匀的，故地球接收太阳辐射的总功率为242SISERPTrd（1）地球表面反射太阳辐射的总功率为IP设地球表面的温度为ET，则地球的热辐射总功率为24EEE4 PrT（2）考虑到温室气体向地球表面释放的热辐射，则输入地球表面的总功率为IEPP当达到热平衡时，输入的能量与输出的能量相等，有IEIEPPPP（3）由以上各式得AB113R23rL23rL23rL113R23rL图 2 39rLAB图 3 29rL

24、13rL213R39rL29rL13rL19rL29rL13rL19rL213R39rL29rL13rL19rL39rL19rL全国中学生物理竞赛复赛16-20 1/41/2SES2121RTTd（4）代入数值，有E287 KT（5）2当地球表面一部分被冰雪覆盖后，以表示地球表面对太阳辐射的平均反射率，根据题意这时地球表面的平均温度为E273KT利用（4）式，可求得0.43（6）设冰雪覆盖的地表面积与总面积之比为x，则12(1)xx（7）由（6）、（7）两式并代入数据得%30 x（8）评分标准：本题 15 分第 1 小问 11 分（1）式 3 分，（2）式 1 分，（3）式 4 分，（4）式

25、2 分，（5）式 1 分第 2 小问 4 分（6）式 2 分，（8）式 2 分八、参考解答：方案一：采光装置由平面镜M 和两个凸透镜 L1、L2组成透镜组置于平面镜M后面，装置中各元件的相对方位及光路图如图 1 所示L1、L2的直径分别用D1、D2表示，其焦距的大小分别为f1、f2两透镜的距离12dff（1）直径与焦距应满足关系1212ffDD（2）设射入透镜L1的光强为10I，透过透镜L1的光强为1I，考虑到透镜L1对光的吸收有1100.70II（3）从透镜L1透出的光通量等于进入L2的光通量，对应的光强与透镜的直径平方成反比，进入L2的光强用2 0I表示，即WH 2f1f1L4522.5图

26、 1 2LM 全国中学生物理竞赛复赛17-20 2220112122IDfIfD故有212012fIIf（4）透过 L2的光强2200.70II，考虑到（3）式，得2121020.49fIIf（5）由于进入透镜L1的光强10I是平面镜M 的反射光的光强，反射光是入射光的80%，设射入装置的太阳光光强为0I，则1000.80II代入（5）式有212020.39fIIf（6）按题设要求202II代入（6）式得2100220.39fIIf从而可求得两透镜的焦距比为122.26ff（7）L2的直径应等于圆形窗户的直径W，即210cmD，由（2）式得112222.6cmfDDf（8）由图可知，平面镜M

27、参与有效反光的部分为一椭圆，其半短轴长度为1/211.3cmbD（9）半长轴长度为1(2 sin 22.5)29.5cmaD（10）全国中学生物理竞赛复赛18-20 根据装置图的结构，可知透镜组的光轴离地应与平面镜M 的中心等高，高度为H评分标准：本题 20 分作图 8 分（含元件及其相对方位，光路），求得（7）、（8）两式共10 分，（9）、（10）式共 2 分方案二：采光装置由平面镜M 和两个凸透镜L1、L2组成，透镜组置于平面镜M 前面，装置中各元件的相对方位及光路图如图2 所示对透镜的参数要求与方案一相同但反射镜M 的半短轴、半长轴的长度分别为2/25.0cmbD和2(2 sin 22

28、.5)13.1cmaD评分标准：参照方案一方案三、采光装置由平面镜M 和一个凸透镜 L1、一个凹透镜L2组成，透镜组置于平面镜 M 后面（也可在M 前面），装置中各元件的相对方位及光路图如图3 所示有关参数与方案一相同，但两透镜的距离12dff如果平面镜放在透镜组之前，平面镜的尺寸和方案一相同；如果平面镜放在透镜组之后，平面镜的尺寸和方案二相同评分标准：参照方案一九、参考解答：1假设碰撞后球1 和球 2 的速度方向之间的夹角为（见图），则由能量守恒和动量守恒可得22220000102m cm cm cm c（1）2220000110220110222cosmmmmmvvvvv（2）m0v1v2

29、v0m002LH 2f1f1L4522.5图 2 M W 2LH 2f1f1L4522.5图 3 W M 全国中学生物理竞赛复赛19-20 其中022011/cv，122111/cv，222211/cv由（1）、（2）式得2101（3）2222012121212(/)coscv v（4）由（3）、（4）式得222220121212121212111cos02()()()ccv vv v（5）2（6）即为锐角在非相对论情况下，根据能量守恒和动量守恒可得2202100212121vvvmmm20（7）22200010201022cosmmmmmvvvvv（8）对斜碰，1v的方向与2v的方向不同，要

30、同时满足（1）和（2）式，则两者方向的夹角2（9）即为直角2根据能量守恒和动量守恒可得22220000222222012111m cm cm cm ccccvvv（10）000102222222012111mmmcccvvvvvv（11）令022011/cv，122111/cv，222211/cv则有20011/cv，21111/cv，22211/cv代入（10）、（11）式得2101（12）全国中学生物理竞赛复赛20-20 111222120（13）解（12）、（13）两式得1102（14）或0121（15）即10v，20vv（16）（或10vv，20v，不合题意）评分标准：本题 16 分第 1 小问 10 分（1）、（2）式各 2 分，（6）式 4 分，（9）式 2 分第 2 小问 6 分（10）、（11）式各 1 分，（16）式 4 分