高一年级数学第一次月考试.pdf

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1、高一年级数学第一次月考试卷第卷(选择题共 60 分)一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1(2016?菏泽市高一检测)以边长为 1 的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于导学号_(A)A2BC2D1 解析 所得旋转体是底面半径为1，高为 1 的圆柱，其侧面积S侧2Rh 2 112.2设球内切于圆柱，则此圆柱的全面积与球表面积之比是导学号_(C)A11B21C32D43 解析 圆柱的底面直径与高都等于球的直径，设球的直径为2R，则圆柱全面积 S12R2 2R?2R 6R2，球表面积 S2

2、4R2，S1S232.3已知一个底面是菱形、侧面是矩形的四棱柱，侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9 和 15，则这个棱柱的侧面积是导学号_(A)A3034B6034C3034135D135 解析 由菱形的对角线长分别是9 和 15，得菱形的边长为?92?2?152?23234，则这个菱柱的侧面积为432345 3034.4已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V1和 V2，则 V1V2导学号 _(D)A13B11C21D31 解析 V1V2(Sh)(13Sh)31.5(2016?寿光现代中学高一月考)若两个球的表面积之比为14，则这两个球的体积之比为导学号_(C)A12B14

3、C18D116 解析 设两个球的半径分别为r1、r2，S14r21，S24r22.S1S2r21r2214，r1r212.V1V2 43r3143 r32(r1r2)318.6如图，O AB是水平放置的 OAB 的直观图，则 OAB 的面积为导学号 _(D)A6B32C62D12 解析 OAB是直角三角形，OA6，OB4，AOB90，SOAB1264 12.7(2017?北京文，6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为导学号 _(D)A60B30C20D10 解析 由三视图画出如图所示的三棱锥PACD，过点 P作 PB 平面ACD 于点 B，连接 BA，BD，BC，根据三视图可知底面A

4、BCD 是矩形，AD5，CD3，PB4，所以 V 三棱锥 PACD131235410.故选 D8若一圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比为导学号_(D)A1B12C32D34 解析 设圆柱与圆锥的底半径分别为R，r，高都是 h，由题设，2R?h122r?h，r 2R，V 柱R2h，V 锥13r2h 43R2h，V 柱 V 锥 34，选 D9半径为 R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为导学号_(A)A324R3B 38R3C 525R3D 58R3解析 依题意，得圆锥的底面周长为R，母线长为 R，则底面半径为R2，高为 32R，所以圆锥的体积为13(R2)2 32R32

5、4R3.10(2015?全国卷)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8 尺，米堆的高为5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为1.62 立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有导学号_(B)A14 斛 B22 斛 C36 斛 D66 斛解析 设圆锥底面半径为r，则 1423r 8，r 163，所以米堆的体积为 14133(163)2 53209，故堆放的米约为32091.6222，故选 B11已知底面为正三角

6、形，侧面为矩形的三棱柱有一个半径为3cm的内切球，则此棱柱的体积是导学号_(B)标签：A93cm3B54cm3C27cm3D183cm3 解析 由题意知棱柱的高为23cm，底面正三角形的内切圆的半径为3cm，底面正三角形的边长为6cm，正三棱柱的底面面积为93cm2，此三棱柱的体积V932354(cm3)12(2016?山东，文)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示则该几何体的体积为导学号_(C)A1323B1323C1326D126解析 根据三视图可知，四棱锥的底面是边长为1 的正方形、高是1，半球的半径为22，所以该几何体的体积为131111243(22)31326.第卷(非选

7、择题共 90 分)二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上)13如图是 AOB 用斜二测画法画出的直观图，则AOB 的面积是_16_.导学号 _ 解析 在AOB 中，OB4，高为 8，则面积 S124816.14圆柱的高是8cm，表面积是 130cm2，则它的底面圆的半径等于_5_cm.导学号 _ 解析 设底面圆的半径为r，由题意得 2rh 2r2 130，即 r28r650，解得 r5.15棱锥的高为16，底面积为 512，平行于底面的截面面积为50，则截得的棱台的高为_11_.导学号 _ 解析 设棱台的高为x，则有(16x16)2_，解之，得

8、x11.16(2017?山东理，13)由一个长方体和两个14 圆柱体构成的几何体的三视图如下，则该几何体的体积为_2 2_.导学号 _ 解析 该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1 的长方体和两个底面半径为 1，高为 1 的四分之一圆柱体构成，V 211 21412122.三、解答题(本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是14，母线长为10cm.求圆锥的母线长.导学号 _ 解析 如图，设圆锥母线长为l，则 l10l14，所以 l403cm.18(本小题满分 12 分)如图所示，

9、四棱锥VABCD 的底面为边长等于 2cm 的正方形，顶点V 与底面正方形中心的连线为棱锥的高，侧棱长VC4cm，求这个四棱锥的体积.导学号 _ 解析 如图，连接 AC、BD 相交于点 O，连接 VO，ABBC2cm，在正方形 ABCD 中，求得 CO2cm，又在直角三角形VOC 中，求得 VO14cm，VVABCD13SABCD?VO13414 4143(cm3)故这个四棱锥的体积为4143cm3.19(本小题满分 12 分)如下图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由.导学号 _ 解析 因为 V 半球 1243R3 1243

10、 43134(cm3)，V 圆锥 13r2h 13 4212201(cm3)，_，所以 V 半球所以，冰淇淋融化了，不会溢出杯子20(本小题满分 12 分)已知某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如图所示，求这个几何体的体积.导学号 _ 解析 由三视图可知，该几何体是大圆柱内挖掉了小圆柱，两个圆柱高均为 1，底面是半径为2 和 32 的同心圆，故该几何体的体积为41(32)2 174.21(本小题满分 12 分)据说伟大的阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面

11、是圆柱的下底面试计算出图案中圆锥、球、圆柱的体积比.导学号 _ 标签：解析 设圆柱的底面半径为r，高为 h，则 V 圆柱 r2h.由题意知圆锥的底面半径为r，高为 h，球的半径为r，V 圆锥 13r2h，V 球 43r3.又 h2r，V 圆锥 V 球 V 圆柱(13 r2h)(43 r3)(r2h)(23 r3)(43 r3)(2 r3)123.22(本小题满分 12 分)如图所示，有一块扇形铁皮OAB，AOB60，OA72cm，要剪下来一个扇形环ABCD，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD 内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面).导学号 _ 试求：(1)AD 的

12、长；(2)容器的容积解析(1)设圆台上、下底面半径分别为r、R，ADx，则 OD72x，由题意得2R60?1807272 x3R，R 12x36.即 AD 应取 36cm.(2)2r3?OD 3?36，r 6cm，圆台的高 hx2?Rr?2362?126?2635.V 13h(R2 Rrr2)13?635?(122 126 62)_(cm3)第卷(选择题共 60 分)一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1直线 l1 l2，在 l1 上取 3 个点，在 l2 上取 2 个点，由这5 个点能确定平面的个数为导学号_(D

13、)A5B4C9D1 解析 由经过两条平行直线有且只有一个平面可知分别在两平行直线上的 5 个点只能确定一个平面2教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线导学号_(B)A平行 B垂直 C相交 D异面解析 当直尺垂直于地面时，A 不对；当直尺平行于地面时，C 不对；当直尺位于地面上时，D 不对3已知 m、n 是两条不同直线，、是两个不同平面，则下列命题正确的是导学号 _(D)A若 、垂直于同一平面，则与 平行B若 m、n 平行于同一平面，则m 与 n 平行C若 、不平行，则在内不存在与 平行的直线D若 m、n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面解析 A 项

14、，、可能相交，故错误；B项，直线 m、n 的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C 项，若 m?，n，m n，则 m，故错误；D 项，假设 m、n 垂直于同一平面，则必有m n，所以原命题正确，故 D 项正确4(20162017?枣庄高一检测)ABC所在的平面为，直线l AB，l AC，直线 m BC，m AC，则直线 l，m 的位置关系是导学号_(B)A相交 B平行 C异面 D不确定解析 l ABlACAB ACA?l 平面 ABCm BCm ACAC BCC?m 平面 ABClm5已知 、是两个平面，直线l?，l?，若以 l ；l ；中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中

15、正确的命题有导学号 _(A)A?；?B?；?C?；?D?；?；?解析 因为 ，所以在 内找到一条直线m，使 m，又因为 l ，所以 l m.又因为 l?，所以 l ，即?；因为 l ，所以过 l 可作一平面 n，所以 l n，又因为 l ，所以 n，又因为 n?，所以 ，即?.6设直线 l?平面 ，过平面 外一点 A 与 l，都成 30 角的直线有导学号 _(B)A1 条 B2 条 C3 条 D4 条解析 如图，和 成 30 角的直线一定是以A 为顶点的圆锥的母线所在直线，当 ABCACB30 且 BC l时，直线 AC，AB 都满足条件，故选 B标签：7(20162017?浙江文)已知互相垂

16、直的平面、交于直线 l.若直线m、n 满足 m，n，则导学号 _(C)Am lB m nC nlDm n解析 选项 A，只有当 m 或 m?时，m l；选项 B，只有当m 时，m n；选项 C，由于 l?，nl；选项 D，只有当 m 或m?时，m n，故选 C8(2016?南安一中高一检测)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N 分别为棱 BC和棱 CC1的中点，则异面直线AC 与 MN 所成的角为导学号 _(C)A30B 45C 60D 90解析 如图，连接 A1C1、BC1、A1B.M、N 分别为棱 BC 和棱 CC1 的中点，MN BC1.又 A1C1 AC，A1C1B 为异面

17、直线 AC 与 MN 所成的角 A1BC1 为正三角形，A1C1B60.故选 C9等腰 RtABC中，ABBC1，M 为 AC 的中点，沿 BM 把它折成二面角，折后A 与 C的距离为 1，则二面角 CBMA 的大小为导学号_(C)A30B 60C 90D 120解析 如图，由 AB BC1，ABC 90 知 AC 2.M为 AC的中点，MCAM22，且 CM BM，AM BM，CMA 为二面角 CBMA 的平面角AC1，MCMA22，MC2MA2AC2，CMA90，故选 C10点 P 在正方体侧面BCC1B1及其边界上运动，并且保持AP BD1，则点 P 的轨迹为导学号 _(A)A线段 B1

18、C BBB1的中点与 CC1的中点连成的线段C线段 BC1 DBC 的中点与 B1C1 的中点连成的线段解析 AP BD1 恒成立，要保证 AP 所在的平面始终垂直于BD1.AC BD1，AB1 BD1，AC AB1 A，BD1 面 AB1C，P 点在线段 B1C上运动11如图，l，A，B，A、B到 l 的距离分别是a和 b，AB 与 、所成的角分别是和 ，AB 在 、内的射影长分别是m 和 n，若 ab，则导学号 _(D)A ，mnB ，mn C ，mnD ，mn 解析 由勾股定理得a2n2b2m2AB2.又 ab，mn.由已知得 sin bAB，sin aAB，而 ab，sin sin ，

19、又 ，(0，2)，.12如图，在三棱柱ABCABC中，点 E、F、H、K分别为 AC 、CB 、AB、BC的中点，G 为ABC 的重心，从 K、H、G、B 中取一点作为 P，使得该三棱柱恰有2 条棱与平面 PEF平行，则点 P为导学号 _(C)AKBHCGDB解析 应用验证法：选G 点为 P 时，EFAB且 EFAB，此时恰有AB和 AB 平行于平面 PEF，故选 C第卷(非选择题共 90 分)二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上)13空间四边形ABCD 中，平面 ABD平面 BCD，且 DA 平面ABC，则 ABC的形状是 _ 直角三角形 _

20、.导学号 _ 解析 如图，过点 A 作 AE BD，E为垂足平面 ABD 平面 BCD，平面 ABD 平面 BCDBD，AE 平面 BCD，AE BC.又DA 平面 ABC，DA BC.又AE DA A，BC 平面 ABD，BC AB.ABC 为直角三角形14如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1 中，M、N 分别是棱AA1 和 AB 上的点，若 B1MN 是直角，则 C1MN 等于_90_.导学号 _ 解析 因为 C1B1 平面 ABB1A1，MN?平面 ABB1A1，所以C1B1 MN.又因为 MN MB1，MB1，C1B1?平面 C1MB1，MB1 C1B1 B1，所以 MN 平面

21、C1MB1，标签：所以 MN C1M，所以 C1MN 90.15如图所示，在四棱锥PABCD 中，PA 底面 ABCD，且底面各边都相等，M 是 PC上的一动点，当点M 满足 _DM PC(或 BM PC)_时，平面 MBD 平面 PCD(只要填写一个你认为是正确的条件即可).导学号_ 解析 连接 AC，则 BD AC，由 PA 底面 ABCD，可知 BD PA，BD 平面 PAC，BD PC.故当 DM PC(或 BM PC)时，平面 MBD 平面 PCD.16(2017?全国卷 文，16)已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球O的球面上，SC是球 O 的直径若平面SCA 平面 SCB，SA

22、AC，SBBC，三棱锥 SABC的体积为 9，则球 O 的表面积为 _36_.导学号 _ 解析 如图，连接 OA，OB.由 SAAC，SBBC，SC为球 O 的直径，知 OA SC，OB SC.由平面 SCA 平面 SCB，平面 SCA 平面 SCBSC，OA SC，知OA 平面 SCB.设球 O 的半径为 r，则 OAOBr，SC2r，三棱锥 SABC 的体积 V13(12SC?OB)?OA r33，即 r339，r 3，S 球表 4r2 36.三、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)(2017?山东文，18)由四棱

23、柱 ABCDA1B1C1D1 截去三棱锥 C1B1CD1 后得到的几何体如图所示四边形ABCD 为正方形，O 为 AC 与 BD 的交点，E为 AD 的中点，A1E 平面ABCD.导学号 _(1)证明：A1O 平面 B1CD1；(2)设 M 是 OD 的中点，证明：平面A1EM 平面 B1CD1.解析(1)证明：取 B1D1 的中点 O1，连接 CO1，A1O1，由于 ABCDA1B1C1D1 是四棱柱，所以 A1O1 OC，A1O1OC，因此四边形A1OCO1 为平行四边形，所以A1O O 1C，又 O1C?平面 B1CD1，A1O?平面 B1CD1，所以 A1O 平面 B1CD1.(2)证

24、明：因为 AC BD，E，M 分别为 AD 和 OD 的中点，所以 EM BD.又 A1E 平面 ABCD，BD?平面 ABCD，所以 A1E BD，因为 B1D1 BD，所以 EM B1D1，A1E B1D1.又 A1E，EM?平面 A1EM，A1E EME，所以 B1D1 平面 A1EM.又 B1D1?平面 B1CD1，所以平面 A1EM 平面 B1CD1.18(本小题满分 12 分)(20162017?宁波高二检测)如图，已知四棱锥 PABCD，底面四边形ABCD为菱形，AB2，BD23，M，N 分别是线段 PA，PC的中点.导学号 _(1)求证：MN 平面 ABCD；(2)求异面直线

25、MN 与 BC 所成角的大小解析(1)连接 AC，交 BD 于点 O.因为 M，N 分别是 PA，PC 的中点，所以MN AC.因为 MN?平面 ABCD，AC?平面 ABCD，所以 MN 平面 ABCD.(2)由(1)知 MN AC，ACB 为异面直线 MN 与 BC所成的角四边形 ABCD 为菱形，边长AB2，对角线长 BD23，BOC 为直角三角形，且sin ACB BOBC32，ACB60.即异面直线MN 与 BC所成的角为60.19(本小题满分 12 分)(2017?北京文，18)如图，在三棱锥PABC中，PA AB，PA BC，AB BC，PAABBC2，D 为线段 AC 的中点，

26、E为线段 PC上一点.导学号 _(1)求证：PA BD；(2)求证：平面 BDE 平面 PAC；(3)当 PA 平面 BDE时，求三棱锥EBCD 的体积解析(1)证明：因为 PA AB，PA BC，所以 PA 平面 ABC.又因为 BD?平面 ABC，所以 PA BD.(2)证明：因为 ABBC，D 为 AC 的中点，所以BD AC.由(1)知，PA BD，所以 BD 平面 PAC，所以平面 BDE 平面 PAC.(3)解：因为 PA 平面 BDE，平面 PAC 平面 BDEDE，标签：所以 PA DE.因为 D 为 AC 的中点，所以 DE12PA1，BDDC2.由(1)知，PA 平面 AB

27、C，所以 DE 平面 ABC，所以三棱锥EBCD的体积 V16BD?DC?DE13.20(本小题满分 12 分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.导学号 _(1)请按字母 F、G、H 标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由)；(2)判断平面 BEG与平面 ACH 的位置关系并说明你的结论；(3)证明：直线 DF 平面 BEG.解析(1)点 F、G、H 的位置如图所示(2)平面 BEC 平面 ACH.证明如下：因为 ABCDEFGH为正方体，所以BC FG，BCFG，又 FG EH，FGEH，所以 BC EH，BCEH，于是四边形BCEH为平行四边形，所以 BE CH，

28、又 CH?平面 ACH，BE?平面 ACH，所以 BE 平面 ACH，同理，BG 平面 ACH，又 BE BGB，所以平面 BEG 平面 ACH.(3)连接 FH 交 EG于点 O，连接 BD.因为 ABCDEFGH为正方体，所以DH 平面 EFGH，因为 EG?平面 EFGH，所以 DH EG，又 EG FH，EG FHO，所以 EG 平面 BFHD，又 DF?平面 BFHD，所以 DF EG，同理 DF BG，又 EG BGG，所以 DF 平面 BEG.21(本小题满分 12 分)(2017?天津文，17)如图，在四棱锥PABCD中，AD 平面 PDC，AD BC，PD PB，AD1，BC

29、3，CD4，PD2.导学号 _(1)求异面直线 AP 与 BC所成角的余弦值；(2)求证：PD 平面 PBC；(3)求直线 AB 与平面 PBC所成角的正弦值解析(1)解：如图，由已知AD BC，故 DAP 或其补角即为异面直线 AP 与 BC所成的角因为 AD 平面 PDC，直线 PD?平面 PDC，所以 AD PD.在 RtPDA中，由已知，得APAD2PD25，故 cosDAPADAP55.所以，异面直线AP 与 BC 所成角的余弦值为55.(2)证明：由(1)知 AD PD.又因为 BC AD，所以 PD BC.又 PD PB，PB BCB，所以 PD 平面 PBC.(3)解：过点 D

30、 作 DF AB，交 BC于点 F，连接 PF，则 DF 与平面PBC所成的角等于AB 与平面 PBC所成的角因为 PD 平面 PBC，所以 PF为 DF 在平面 PBC上的射影，所以 DFP为直线 DF 和平面 PBC所成的角由于 AD BC，DF AB，故 BFAD1.由已知，得CFBCBF2.又 AD DC，所以 BC DC.在 RtDCF中，可得 DFCD2CF225，在 RtDPF中，可得 sin DFP PDDF55.所以，直线AB 与平面 PBC所成角的正弦值为55.22(本小题满分 12 分)(20162017?济宁高一检测)四棱锥 PABCD的底面 ABCD是正方形，E，F分

31、别为 AC 和 PB上的点，它的直观图，正视图，侧视图如图所示.导学号 _(1)求 EF与平面 ABCD 所成角的大小；(2)求二面角 BPAC的大小解析 根据三视图可知：PA 垂直于平面 ABCD，点 E，F 分别为 AC 和PB的中点，ABCD 是边长为 4 的正方形，且PA4.(1)如图，取 AB 中点 G，连接 FG，GE，则 FG PA，GE BC，所以FG 平面 ABCD，FEG为 EF与平面 ABCD 所成的角，在RtFGE中，FG2，GE2，所以 FEG 45.(2)因为 PA 平面 ABCD，所以 PA BA，PA CA，所以 BAC为二面角 BPAC 的平面角又因为 BAC45，所以二面角BAPC的平面角的大小为45.