数学分析试题及答案解.pdf

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1、.2014-2015 学年度第二学期数学分析 2A 试卷学院班级学号（后两位）姓名题号一二三四五六七八总分核分人得分一.判断题(每小题 3 分，共 21 分)（正确者后面括号内打对勾，否则打叉）1.若在连续，则在上的不定积分可表为（）.2。若为连续函数,则（）。3。若绝对收敛，条件收敛，则必然条件收敛（）。4。若收敛，则必有级数收敛（）5.若与均在区间 I 上内闭一致收敛，则也在区间 I 上内闭一致收敛（）.6。若数项级数条件收敛,则一定可以经过适当的重排使其发散于正无穷大(）。7。任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同()。二.单项

2、选择题（每小题3 分，共 15 分）1.若在上可积，则下限函数在上（）A。不连续B.连续C。可微D.不能确定2。若在上可积，而在上仅有有限个点处与不相等，则().A.在上一定不可积；B.在上一定可积，但是；C.在上一定可积，并且;D.在上的可积性不能确定。3.级数A.发散B。绝对收敛C。条件收敛D.不确定4.设为任一项级数，则下列说法正确的是（)A。若，则级数一定收敛;B.若，则级数一定收敛；C。若，则级数一定收敛；D。若，则级数一定发散；5.关于幂级数的说法正确的是（）A。在收敛区间上各点是绝对收敛的;B。在收敛域上各点是绝对收敛的；C。的和函数在收敛域上各点存在各阶导数；D。在收敛域上是绝

3、对并且一致收敛的；三。计算与求值（每小题5 分，共 10 分）1。.2.四。判断敛散性（每小题5 分，共 15 分）1.2。3。五.判别在数集 D 上的一致收敛性(每小题 5 分,共 10 分）1。2。六已知一圆柱体的的半径为R，经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面角向斜上方切割，求从圆柱体上切下的这块立体的体积.（本题满 10 分）七.将一等腰三角形铁板倒立竖直置于水中（即底边在上),且上底边距水表面距离为 10 米，已知三角形底边长为20 米,高为 10 米,求该三角形铁板所受的静压力。（本题满分 10 分）八.证明：函数在上连续，且有连续的导函数。（本题满分 9 分）.2014-2015

4、学年度第二学期数学分析 2B 卷答案学院班级学号（后两位）姓名题号一二三四五六七八总分核分人得分一、判断题(每小题 3 分，共 21 分，正确者括号内打对勾，否则打叉）1。?2.?3.?4。?5.?6.?7。?二。单项选择题(每小题 3 分,共 15 分）1。B；2。C;3。A；4.D；5。B 三。求值与计算题（每小题 5 分，共 10 分)1。解:由于-3 分而-4 分故由数列极限的迫敛性得：-5 分2.设,求解：令得=-2 分=-.-4 分=-5 分四。判别敛散性（每小题5 分,共 10 分）1。解：-3 分且，由柯西判别法知,瑕积分收敛-5分2。解：有-2 分从而 当-4 分由比较判别法

5、收敛-5 分五.判别在所示区间上的一致收敛性（每小题5 分，共 15 分)1。.解:极限函数为-2 分又-3 分从而故知 该函数列在 D 上一致收敛。-5 分2.解：因当时，-2 分而 正项级数收敛，-4 分由优级数判别法知,该函数列在 D 上一致收敛。-5 分3。解：易知,级数的部分和序列一致有界，2 分而 对 是单调的，又由于，-4 分所以在 D 上一致收敛于 0,从而由狄利克雷判别法可知,该级数在 D 上一致收敛。-5 分六.设平面区域 D 是由圆，抛物线及x 轴所围第一象限部分,求由 D 绕 y 轴旋转一周而形成的旋转体的体积（本题满分10 分）.解：解方程组得圆与抛物线在第一象限的交

6、点坐标为：,-3 分则所求旋转体得体积为：-7 分=-=-10 分七。现有一直径与高均为10 米的圆柱形铁桶（厚度忽略不计），内中盛满水，求从中将水抽出需要做多少功?（本题满分 10 分）解:以圆柱上顶面圆圆心为原点,竖直向下方向为x 轴正向建立直角坐标系则分析可知做功微元为：-5 分故所求为:-8 分=1250=12250（千焦）-10 分.八设是上的单调函数，证明：若与都绝对收敛，则在上绝对且一致收敛.（本题满分 9 分）证明:是上的单调函数，所以有-4 分又由与都绝对收敛，所以 收敛，-7 分由优级数判别法知：在上绝对且一致收敛.-.2013-2014 学年度第二学期数学分析 2A 试卷

7、学院班级学号（后两位)姓名题号一二三四五六七总分核分人得分一.判断题（每小题 2 分,共 16 分）（正确者后面括号内打对勾,否则打叉)1。若在 a，b上可导,则在a，b上可积。()2.若函数在 a,b上有无穷多个间断点，则在a，b上必不可积.(）3。若均收敛，则一定条件收敛.（）4。若在区间 I 上内闭一致收敛,则在区间 I 处处收敛（）5.若为正项级数（),且当 时有:,则级数必发散.（)6。若以为周期，且在上可积,则的傅里叶系数为:(）7.若，则（）8。幂级数在其收敛区间上一定内闭一致收敛.(）二.单项选择题（每小题3 分，共 18 分）1.下列广义积分中,收敛的积分是（)A B C D

8、 2。级数收敛是部分和有界的(）.A 必要条件B 充分条件C 充分必要条件D 无关条件3。正项级数收敛的充要条件是（)A.B.数列单调有界C.部分和数列有上界D。4。设则幂级数的收敛半径R=(）A。B.C。D.5。下列命题正确的是()A 在绝对收敛必一致收敛B 在一致收敛必绝对收敛C 若,则在必绝对收敛D 在条件收敛必收敛6。若幂级数的收敛域为,则幂级数在上A.一致收敛B.绝对收敛C.连续D。可导三。求值或计算(每题 4 分,共 16 分）1.；2。3.4。设在 0,1上连续，求四。（16 分)判别下列反常积分和级数的敛散性。1.；2。3.；4。五、判别函数序列或函数项级数在所给范围上的一致收

9、敛性（每题5 分，共 10 分）1。2。；六。应用题型（14 分）1。一容器的内表面为由绕y 轴旋转而形成的旋转抛物面,其内现有水（),若再加水 7()，问水位升高了多少米？2。把由，x 轴，y 轴和直线所围平面图形绕x轴旋转得一旋转体，求此旋转体的体积,并求满足条件的.七证明题型(10 分)已知与均在 a，b上连续，且在 a，b上恒有,但不恒等于，证明：.2013 2014 学年度第二学期数学分析 2B 试卷学院班级学号（后两位）姓名题号一二三四五六七总分核分人得分一、判断题（每小题2 分，共 18 分，正确者括号内打对勾，否则打叉)1。对任何可导函数而言,成立。（）2。若函数在上连续,则必

10、为在上的原函数。(）3。若级数收敛，必有。()4。若，则级数发散。5。若幂级数在处收敛，则其在2，2上一致收敛。（)6。如果在以 a，b 为端点的闭区间上可积,则必有。()7。设在上有定义,则与级数同敛散。（）8.设在任子区间可积，b 为的暇点,则与同敛散。（）9。设在上一致收敛，且存在，则。二.单项选择题（每小题3 分,共 15 分).1.函数在上可积的必要条件是()A 连续B 有界C 无间断点D 有原函数2。下列说法正确的是（）A。和收敛，也收敛B。和发散，发散C。收敛和发散,发散D。收敛和发散，发散3.在收敛于，且可导,则（）A。B。可导C。D.一致收敛,则必连续4。级数A.发散B.绝对

11、收敛C。条件收敛D.不确定5。幂级数的收敛域为：A。(0。5，0。5）B.0。5,0。5C。D.三。求值与计算题（每小题4 分,共 16 分）1。2.3。.4.四.判别敛散性（每小题4 分，共 16 分)1。；2。3.4.五。判别在所示区间上的一致收敛性（每小题5 分,共 10 分）1。2.六。应用题型(16 分）1.试求由曲线及曲线所平面图形的面积。2.将表达为级数形式,并确定前多少项的和作为其近似，可使之误差不超过十万分之一。七.（9 分）证明：若函数项级数满足:（）；(）收敛。则函数项级数在D 上一致收敛。.014-2015 学年度第二学期数学分析 2A 卷答案三.判断题（每小题 3 分

12、，共 21 分）1.?2。?3.?4。?5。?6。?7。?二.单项选择题（每小题3 分，共 15 分）B，C,C,D，A 三。计算与求值(每小题 5 分，共 10 分)1。解：原式=-2分=-3 分=-5 分2。原式=-2 分=-4 分=-5分四。判断敛散性(每小题 5 分，共 15 分）.1。-2 分且-3 分由柯西判别法知,收敛.-5 分2。由比式判别法-4 分故该级数收敛。-5 分3。解：由莱布尼兹判别法知,交错级数收敛-2 分又知其单调且有界，-4 分故由阿贝尔判别法知，级数收敛.-5 分五。1。解:极限函数为-2分又-4 分故知 该函数列在 D 上一致收敛。-5 分2。解:因当时，-

13、3 分而 正项级数收敛，-.-4 分由优级数判别法知，该函数列在 D 上一致收敛。-5 分六已知一圆柱体的的半径为R,由圆柱下底圆直径线并保持与底圆面角向斜上方切割，求所切下这块立体的体积。（本题满分 10 分）解：在底圆面上以所截直径线为x轴,底圆的圆心为原点示坐标系,过 x 处用垂直 x 轴的平面取截该立体，所得直角三角形的面积为:-5 分故所求立体的体积为：-7 分=-10 分七。解：建立图示坐标系（竖直方向为x 轴）则第一象限等腰边的方程为-3 分.压力微元为：故所求为-7 分-10 分八。证明：每一项在上连续,又而收敛所以在上一致收敛，-3 分故由定理结论知在上连续，-5 分再者而收

14、敛所以在上一致收敛,结合在上的连续性可知在上有连续的导函数.-9 分.2014-2015 学年度第二学期数学分析 2B 试卷学院班级学号(后两位）姓名题号一二三四五六七八总分核分人得分二、判断题(每小题 3 分,共 21 分，正确者括号内打对勾，否则打叉）1.若为偶函数,则必为奇函数（).2。为符号函数，则上限函数y=在上连续（)。3。若收敛,必有（）.4.若在区间 I 上内闭一致收敛，则在区间I 上处处收敛（)。5.若在上内闭一致收敛，则在上一致收敛（）。6.若数项级数绝对收敛,则经过任意重拍后得到的新级数仍然绝对收敛,并且其和不变（）。7.若函数项级数在上的某点收敛，且在上一致收敛，则也在

15、上一致收敛（）。二。单项选择题(每小题 3 分，共 15 分）1。函数是奇函数，且在上可积，则（)A B.C D 2。关于积分，正确的说法是(）A.此为普通积分B。此为瑕积分且瑕点为0 C。此为瑕积分且瑕点为1 D.此为瑕积分且瑕点为0，1 3。就级数（）的敛散性而言，它是()A.收敛的B。发散的C。仅 时收D。仅 时收敛4.。函数列在区间上一致收敛于0 的充要条件是（）A。B.C。D。5。幂级数的收敛域为:A.（-0.5,0。5）B。0.5,0。5C。D。三。求值与计算题（每小题 5 分，共 10 分)1。2.设，求四.判别敛散性（每小题5 分,共 10 分)1。2。五。判别在所示区间上的一致收敛性(每小题 5 分，共 15 分）1。.2。3.六。设平面区域 D 是由圆，抛物线及x 轴所围第一象限部分,求由 D 绕 y 轴旋转一周而形成的旋转体的体积（本题满分10 分）七.现有一直径与高均为10 米的圆柱形铁桶（厚度忽略不计），内中盛满水,求从中将水抽出需要做多少功？（本题满分10 分)八设是上的单调函数，证明:若与 都绝对收敛，则在上绝对且一致收敛。（本题满分 9 分）