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1、【高中数学选修2-2】1.5.3定积分的概念 (2)近近似似代代替替:任任取取x xi xi-1,xi,第第i个个小小曲曲边边梯梯形形的的面面积积用用高高 为为f(x xi),宽为宽为D Dx的小矩形面积的小矩形面积f(x xi)D Dx 近似之近似之;(4)取极限取极限:所求曲边所求曲边梯形的面积梯形的面积S为为 (3)求和求和:求求n个小矩形面积的和个小矩形面积的和Sn(为曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值);xiy=f(x)x yObaxi+1xi (1)分割分割:在区间在区间a,b上等间隔地插入上等间隔地插入n-1个点个点,将它等分成将它等分成n个小区间个小区间:每个小区间宽度
2、每个小区间宽度x复习回顾:复习回顾:求由连续曲线求由连续曲线y y=f f(x x)对应的曲边梯形面积的对应的曲边梯形面积的“四步曲四步曲”一、定积分的定义一、定积分的定义 如果当如果当n时,时,S n无限的接近某个常数,无限的接近某个常数,这个常数称为函数这个常数称为函数f(x)在区间在区间a,b上上的的定积分定积分,记作记作从求曲边梯形面积从求曲边梯形面积S的过程中可以看出的过程中可以看出,通过通过“四步曲四步曲”:分割分割-近似代替近似代替-求和求和-取极限取极限 得到解决得到解决.“读作函数读作函数f(x)从从a到到b的积分的积分”定积分的定义定积分的定义:定积分的相关名称:定积分的相
3、关名称:叫做积分号,叫做积分号,f(x)叫做被积函数,叫做被积函数,f(x)dx 叫做被积式,叫做被积式,x 叫做积分变量,叫做积分变量,a 叫做积分下限,叫做积分下限,b 叫做积分上限,叫做积分上限,a,b 叫做积分区间。叫做积分区间。被被积积函函数数被被积积式式积积分分变变量量积分下限积分下限积分上限积分上限定积分的定义定积分的定义:积分符号积分符号a,b :叫做积分区间。:叫做积分区间。定积分的定义定积分的定义:说明:说明:(1)定积分是一个数值定积分是一个数值,它只与被积函数及积分区间有关,它只与被积函数及积分区间有关,而与积分变量的记法无关,即而与积分变量的记法无关,即baf(x)d
4、x baf(x)dx-(3)(切记切记)例例1:(书书P47)利用定积分的定义利用定积分的定义,计算下列式子的值计算下列式子的值.定积分的定义定积分的定义:如果当如果当n时,时,S 的无限接近某个常数,的无限接近某个常数,这个常数为函数这个常数为函数f(x)在区间在区间a,b上上的的定积分定积分,记作记作思考思考:根据定积分的定义说说定积分的几何意义?:根据定积分的定义说说定积分的几何意义?二、定积分的几何意义:二、定积分的几何意义:Ox yab yf(x)xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。ba 特别地,当ab时,有f(x)dx0。Ox yab yf(x)xa、xb与 x轴所围成的曲边
5、梯形的面积。Ox yab yf(x)ab yf(x)Ox y探究探究1:根据定积分的几何意义根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分如何用定积分表示图中阴影部分的面积的面积?探究探究2:定积分可能是负值吗?定积分可能是负值吗?结论:定积分可以为负值,结论:定积分可以为负值,当当总有总有此时,此时,为负值为负值探究探究3:当当f(x)0时,时,定积分定积分 的几何意义:的几何意义:当当f(x)0时,由时,由y f(x)、x a、x b 与与 x 轴所围成轴所围成的曲边梯形位于的曲边梯形位于 x 轴的下方,轴的下方,x yOab yf(x)y-f(x)-S几何意义:几何意义:表示表示f(x)0时曲边梯形面积时曲边梯形面积的负值的负值.三、定积分的计算性质三、定积分的计算性质 性质性质1.1.性质性质2.2.定积分关于积分区间具有定积分关于积分区间具有可加性可加性性质性质3.3.思考:思考:从定积分的几何从定积分的几何意义解释性质意义解释性质ab y=f(x)cOx y三、定积分的计算性质三、定积分的计算性质 小小 结结1、求曲边梯形面积、求曲边梯形面积分割分割-近似代替近似代替-求和求和-取极限取极限2、定积分定义、定积分定义3、定积分几何意义、定积分几何意义4、定积分计算性质、定积分计算性质谢谢大家!
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