常数项级数审敛法(IV).ppt

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1、常数项级数审敛法常数项级数审敛法 在研究级数时，中心问题是判定级数的敛散在研究级数时，中心问题是判定级数的敛散性，如果级数是收敛的，就可以对它进行某些性，如果级数是收敛的，就可以对它进行某些运算，并设法求出它的和或和的近似值但是除运算，并设法求出它的和或和的近似值但是除了少数几个特殊的级数，在一般情况下，直接了少数几个特殊的级数，在一般情况下，直接考察级数的部分和是否有极限是很困难的，因考察级数的部分和是否有极限是很困难的，因而直接由定义来判定级数的敛散性往往不可行，而直接由定义来判定级数的敛散性往往不可行，这就要借助一些间接的方法来判定级数的敛散这就要借助一些间接的方法来判定级数的敛散性，这

2、些方法称为审敛法性，这些方法称为审敛法 对常数项级数将分为正项级数和任意项级数对常数项级数将分为正项级数和任意项级数来讨论来讨论一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法1.1.定义定义:这种级数称为正项级数这种级数称为正项级数.这种级数非常重要，这种级数非常重要，以后我们将会看到许多级数的敛散性判定问题以后我们将会看到许多级数的敛散性判定问题都可归结为正项级数的收敛性问题都可归结为正项级数的收敛性问题2.2.正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件:部分和数列部分和数列 为单调增加数列为单调增加数列.定理定理3.比较审敛法比较审敛法证明证明即部分和数列有界即部分和数列有界不是有界数列不

3、是有界数列定理证毕定理证毕.比较审敛法的不便比较审敛法的不便:须有参考级数须有参考级数.解解由图可知由图可知重要参考级数重要参考级数:几何级数几何级数,P-,P-级数级数,调和级数调和级数.比较审敛法是一基本方法，虽然有比较审敛法是一基本方法，虽然有用，但应用起来却有许多不便，因为它用，但应用起来却有许多不便，因为它需要建立定理所要求的不等式，而这种需要建立定理所要求的不等式，而这种不等式常常不易建立，为此介绍在应用不等式常常不易建立，为此介绍在应用上更为方便的极限形式的比较审敛法上更为方便的极限形式的比较审敛法证明证明4.4.比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式:设设 =1nnu与与 =

4、1nnv都是正项级数都是正项级数,如果如果则则(1)(1)当当时时,二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性;(2)(2)当当时，若时，若收敛收敛,则则收敛收敛;(3)(3)当当时时,若若 =1nnv发散发散,则则 =1nnu发散发散;证明证明由比较审敛法的推论由比较审敛法的推论,得证得证.解解原级数发散原级数发散.故原级数收敛故原级数收敛.证明证明收敛收敛发散发散比值审敛法的优点比值审敛法的优点:不必找参考级数不必找参考级数.直接从级数本直接从级数本身的构成身的构成即通项来判定其即通项来判定其敛散性敛散性 两点注意两点注意:解解比值审敛法失效比值审敛法失效,改用比较审敛法改用比较审敛法例例5

5、解解由于由于不存在，检比法失效不存在，检比法失效 而而对对由检比法得由检比法得 收敛收敛故由比较审敛法知故由比较审敛法知收敛收敛例例6解解由检比法得由检比法得 级数收敛级数收敛级数发散级数发散检比法失效检比法失效，但，但即后项大于前项即后项大于前项故级数发散故级数发散证明证明取取则则由由知知由由收敛及比较审敛法得收敛及比较审敛法得收敛收敛收敛收敛由由知知故故不趋于不趋于 0发散发散不能判定不能判定如如都有都有但但收敛收敛发散发散级数收敛级数收敛.二、交错级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法定义定义:正、负项相间的级数称为交错级数正、负项相间的级数称为交错级数.证明证明满足收敛的两个条件满足收敛

6、的两个条件,定理证毕定理证毕.解解原级数收敛原级数收敛.证明证明 un 单调减的方法单调减的方法？三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛定义定义:正项和负项任意出现的级数称为任意项级数正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.证明证明上定理的作用：上定理的作用：任意项级数任意项级数正项级数正项级数解解故由定理知原级数绝对收敛故由定理知原级数绝对收敛.将正项级数的检比法和检根法应用于判定任意项将正项级数的检比法和检根法应用于判定任意项级数的敛散性可得到如下定理级数的敛散性可得到如下定理定理定理设有级数设有级数 则则绝对收敛绝对收敛发散发散可能绝对收敛，可能条件收可能绝对收敛，可能条件收敛，也

7、可能发散敛，也可能发散如如注意注意一般而言，由一般而言，由 发散，并不能推出发散，并不能推出发散发散如如发散发散但但 收敛收敛如果如果 发散是由检比法和检根法而审定发散是由检比法和检根法而审定则则 必定发散必定发散这是因为检比法与检根法这是因为检比法与检根法审定级数发散的原因是通项不趋向于审定级数发散的原因是通项不趋向于0由由四、小结四、小结正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数审审敛敛法法1.2.4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法4.绝对收敛绝对收敛5.交错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)3.按基本性质按基本性质;思考题思考题思考题解答思考题解答由比较审敛法知由比较审敛法知 收敛收敛.反之不成立反之不成立.例如：例如：收敛收敛,发散发散.练练 习习 题题练习题答案练习题答案