常微分方程数值解(IV).ppt

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1、常微分方程数值解常微分方程数值解计算出解函数计算出解函数y(x)在一系列节点在一系列节点a=x0 x1 xn=b处的近似值处的近似值yi=y(xi)(i=1,2n),即数值解。即数值解。1 欧拉方法欧拉方法（Eulers Method）欧拉公式：欧拉公式：向前差商近似导数向前差商近似导数x0 x1)(,()(0001xyxfhyxy+)1,.,0(),(1=+=+niyxfhyyiiii求解过程顺着节点排列次序一步步向前推进，即按递求解过程顺着节点排列次序一步步向前推进，即按递推公式由已知的推公式由已知的y0,y1,yi，求出求出yi+1。yox0y(x)p0 x1p1p2x2xxiPi+1P

2、ixi+1在在假假设设 yi=y(xi)，即即第第 i 步步计计算算是是精精确确的的前前提提下下，考考虑的截断误差虑的截断误差 Ri=y(xi+1)yi+1 称为称为局部截断误差局部截断误差若若某某算算法法的的局局部部截截断断误误差差为为O(hp+1)，则则称称该该算算法法有有p 阶精度。阶精度。可见可见:(1)每一步都会产生误差每一步都会产生误差.(2)与前面与前面每一步计算产生的误差都每一步计算产生的误差都有关，具有整体性，所以有关，具有整体性，所以分析和确定它是很复杂的。分析和确定它是很复杂的。欧拉公式求解基本思路欧拉公式求解基本思路：例：例：用欧拉法解初值问题用欧拉法解初值问题取步长取

3、步长 h h=0.2.=0.2.计算过程保留计算过程保留4 4位小数位小数.解：解：f f(x,yx,y)=)=y yxyxy2 2 ，h h=0.2=0.2，由欧拉公式得，由欧拉公式得故故y y(0.2)(0.2)y y1 1=0.21(4=0.21(401)01)0.800 0 0.800 0 y y(0.4)(0.4)y y2 2=0.20.8(4=0.20.8(40.20.8)0.20.8)0.614 4 0.614 4 y y(0.6)(0.6)y y3 3=0.20.614 4(4=0.20.614 4(40.40.4613)0.40.4613)0.800 0 0.800 0 欧拉

4、公式的改进：欧拉公式的改进：隐式欧拉法隐式欧拉法/*implicit Euler method*/向后差商近似导数向后差商近似导数x0 x1)(,()(1101xyxfhyxy+)1,.,0(),(111=+=+niyxfhyyiiii由于未知数由于未知数 yi+1 同时出现在等式的两边，不能直接得到，故同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为称为隐式隐式/*implicit*/欧拉公式，而前者称为欧拉公式，而前者称为显式显式/*explicit*/欧拉公式。欧拉公式。一般先用显式计算一个初值，再一般先用显式计算一个初值，再迭代迭代求解。求解。隐式隐式欧拉法的局部截断误差：欧拉法的局部截断误

5、差：即隐式欧拉公式具有即隐式欧拉公式具有 1 阶精度。阶精度。梯形公式梯形公式/*trapezoid formula*/显、隐式两种算法的显、隐式两种算法的平均平均注：注：的确有局部截断误差的确有局部截断误差 ，即梯形公式具有即梯形公式具有2 阶精度，比欧拉方法有了进步。阶精度，比欧拉方法有了进步。但注意到该公式是但注意到该公式是隐式隐式公式，计算时不得不用到公式，计算时不得不用到迭代法，其迭代收敛性与欧拉公式相似。迭代法，其迭代收敛性与欧拉公式相似。中点欧拉公式中点欧拉公式/*midpoint formula*/中心差商近似导数中心差商近似导数x0 x2x1假设假设 ，则可以导出，则可以导出

6、即中点公式具有即中点公式具有 2 阶精度。阶精度。需要需要2个初值个初值 y0和和 y1来启动递推来启动递推过程，这样的算法称为过程，这样的算法称为双步法双步法/*double-step method*/，而前面的三种算法都是，而前面的三种算法都是单步法单步法/*single-step method*/。方方 法法 显式欧拉显式欧拉隐式欧拉隐式欧拉梯形公式梯形公式中点公式中点公式简单简单精度低精度低稳定性最好稳定性最好精度低精度低,计算量大计算量大精度提高精度提高计算量大计算量大精度提高精度提高,显式显式多一个初值多一个初值,可能影响精度可能影响精度 改进欧拉法改进欧拉法/*modified

7、Eulers method*/Step 1:先用先用显式显式欧拉公式作欧拉公式作预测预测，算出，算出),(1iiiiyxfhyy+=+Step 2:再将再将 代入代入隐式隐式梯形公式的右边作梯形公式的右边作校正校正，得到，得到1+iy),(),(2111+=iiiiiiyxfyxfhyy注：注：此法亦称为此法亦称为预测预测-校正法校正法/*predictor-corrector method*/。可以证明该算法具有可以证明该算法具有 2 阶精度，同时可以看到它是个阶精度，同时可以看到它是个单单步步递推格式，比隐式公式的迭代求解过程递推格式，比隐式公式的迭代求解过程简单简单。后面将。后面将看到，

8、它的看到，它的稳定性高稳定性高于显式欧拉法。于显式欧拉法。例1：用预报校正公式求解初值问题取步长 h=0.2,计算 y(1.2),y(1.4)的近似值，计算过程保留5位小数.解：2 龙格龙格-库塔法库塔法/*Runge-Kutta Method*/建立高精度的单步递推格式。建立高精度的单步递推格式。单步递推法的单步递推法的基本思想基本思想是从是从(xi,yi)点出发，以点出发，以某一斜某一斜率率沿直线达到沿直线达到(xi+1,yi+1)点。欧拉法及其各种变形所点。欧拉法及其各种变形所能达到的最高精度为能达到的最高精度为2阶阶。考察改进的欧拉法，可以将其改写为：考察改进的欧拉法，可以将其改写为：

9、斜率斜率一定取一定取K1 K2 的的平均值平均值吗？吗？步长一定是一个步长一定是一个h 吗吗？首先希望能确定系数首先希望能确定系数 1、2、p，使得到的算法格式有，使得到的算法格式有2阶阶精度，即在精度，即在 的前提假设下，使得的前提假设下，使得 Step 1:将将 K2 在在(xi,yi)点作点作 Taylor 展开展开将改进欧拉法推广为：将改进欧拉法推广为：),(),(12122111phKyphxfKyxfKKKhyyiiiiii+=+=+Step 2:将将 K2 代入第代入第1式，得到式，得到Step 3:将将 yi+1 与与 y(xi+1)在在 xi 点的点的泰勒泰勒展开作比较展开作

10、比较要求要求 ，则必须有：，则必须有：这里有这里有 个未知个未知数，数，个方程。个方程。32存在存在无穷多个解无穷多个解。所有满足上式的格式统称为。所有满足上式的格式统称为2阶龙格阶龙格-库库塔格式塔格式。注意到，注意到，就是改进的欧拉法。就是改进的欧拉法。Q:为获得更高的精度，应该如何进一步推广？为获得更高的精度，应该如何进一步推广？其中其中 i (i=1,m)，i (i=2,m)和和 ij(i=2,m;j=1,i 1)均为待均为待定系数，确定这些系数定系数，确定这些系数的步骤与前面相似。的步骤与前面相似。).,(.),(),(),(.1122112321313312122122111 +=

11、+=+=+=mm mmmmimiiiiiimmiihKhKhKyhxfKhKhKyhxfKhKyhxfKyxfKKKKhyy 最常用为四级最常用为四级4阶阶经典龙格经典龙格-库塔法库塔法/*Classical Runge-Kutta Method*/：注：注：龙格龙格-库塔法库塔法的主要运算在于计算的主要运算在于计算 Ki 的值，即计算的值，即计算 f 的的值。值。Butcher 于于1965年给出了计算量与可达到的最高精年给出了计算量与可达到的最高精度阶数的关系：度阶数的关系：753可达到的最高精度可达到的最高精度642每步须算每步须算Ki 的个数的个数 由于龙格由于龙格-库塔法的导出基于泰勒展开，故精度主要受库塔法的导出基于泰勒展开，故精度主要受解函数的光滑性影响。对于光滑性不太好的解，最好解函数的光滑性影响。对于光滑性不太好的解，最好采用采用低阶算法低阶算法而将步长而将步长h 取小取小。