导数微分及其应用.ppt

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1、第二章第二章第二章第二章 导数微分及其应用导数微分及其应用导数微分及其应用导数微分及其应用3/2/20231 微积分的产生是数学上的伟大创造。它从生产技术和理微积分的产生是数学上的伟大创造。它从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。的发展。微积分是微分学和积分学的统称，它的萌芽、发生与发微积分是微分学和积分学的统称，它的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期。早在古希腊时期，欧多克斯提出了穷展经历了漫长的时期。早在古希腊时期，欧多克斯提出了穷竭法。这是微积分的先驱，而我国庄子的天下篇中也有竭法。这是微积分的先驱，而

2、我国庄子的天下篇中也有“一尺之锤，日取其半，万世不竭一尺之锤，日取其半，万世不竭”的极限思想，公元的极限思想，公元263年，刘徽为九间算术作注时提出了年，刘徽为九间算术作注时提出了“割圆术割圆术”，用正多，用正多边形来逼近圆周。这是极限论思想的成功运用。边形来逼近圆周。这是极限论思想的成功运用。积分概念是由求某些面积、体积和弧长引起的，古希腊积分概念是由求某些面积、体积和弧长引起的，古希腊数学家阿基米德在抛物线求积法中用究竭法求出抛物线数学家阿基米德在抛物线求积法中用究竭法求出抛物线弓形的面积，没有用极限，是弓形的面积，没有用极限，是“有限有限”开工的穷竭法。开工的穷竭法。微积分的创始人是微积

3、分的创始人是牛顿和莱布尼茨牛顿和莱布尼茨。解析几何为微积分的创立奠定了基础解析几何为微积分的创立奠定了基础。3/2/20232第一节第一节第一节第一节 函函函函 数数数数1.区间区间一、预备知识一、预备知识设a，b是两个实数，且ab开区间开区间 ：满足不等式 axb一切实数的全 体。闭区间闭区间 ：满足不等式 axb的一切实数的 全体。半开区间半开区间 ：满足不等式 axb的一切实数的 全体。：a x b3/2/20233表示全体实数，或写成 x；表示大于a的全体实数，或写成a x+；表示小于a的全体实数，或写成 x a；表示 a x+；表示 x a。3/2/202342.邻域邻域3/2/20

4、235例：2的0.001邻域为（1.999,2.001）2的0.001去心邻域为 (1.999,2)(2,2.001)3/2/20236二、函数二、函数1.函数的概念函数的概念3/2/20237注注注注函数的表示方法有三种函数的表示方法有三种:数学表达式、列表和图形。数学表达式、列表和图形。3/2/202383/2/202392.复合函数复合函数 设y是的z函数：y=f(z)，而z又是x的函数：z=g(x)。设D是g(x)的定义域或其一部分。如果对于x在D 上取值时所对应的z值，函数y=f(z)是有定义的，将函数z=g(x)代入函数y=f(z)得 y=f(g(x)Dg(D)F(g(D)这个函数

5、叫做由函数y=f(z)和z=g(x)复合而成的复合函数复合函数，记作 fg。变量z叫做中间变量中间变量。函数f的定义域gf3/2/202310例例1.23/2/2023113.初等函数初等函数 基本初等函数基本初等函数3/2/202312初等函数初等函数由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为示的函数，称为初等函数初等函数。3/2/2023133/2/202314第二节第二节第二节第二节 数列的极限数列的极限数列的极限数列的极限 无穷多个实数排成一列a1

6、,a2,a3,an,称为数数列列，记为an，其中的每一个数称为数列的一个项，an称为数列的通项通项。1、数列的极限、数列的极限(1)、定义、定义（1）3.1，3.14，3.141，3.1415，3.14159，3.141592，3.1415926，；（2）2，4，8，16，2n，；（3）1/2，1/4，1/8，1/16，1/2n，；（4）1，-1/2，1/3，-1/4，(-1)n+1/n，；（5）1，1/2，2/3，3/4，(n-1)/n，；3/2/202315(2)、单调数列、单调数列单调增加数列和单调减少数列统称单调数列。(3)、有界数列、有界数列对于数列an，如果存在正数M，使得数列中的

7、每一项an(n=1,2,3,)都满足不等式-M anN的一切an，有不等式|ana|0，总存在一个0，当0|x-x0|时，有|f(x)-A|0，作直线 y=A+，y=A-,这两条直线形成一横条区域.对于这个,存在点x0的一个邻域(x0-，x0+)，当x(x0-，x0+)但xx0时，有不等式：点（x,f(x)）落在上面所做的一横条区域内。3/2/2023253/2/2023263/2/202327、当当x时函数时函数f(x)极限极限3/2/202328解解3/2/202329、极限的四则运算法则极限的四则运算法则当当x时，性质也成立。时，性质也成立。3/2/202330数列极限四则运算也有类似的

8、定理:3/2/2023313/2/202332所以 解解 注意到3/2/202333分母的极限不为零。解解3/2/2023344、两个重要、两个重要极限极限3/2/202335解解因此3/2/202336解解3/2/202337解解 先用x去除分母及分子，然后取极限.3/2/202338解解3/2/2023395、无穷小量和无穷大量、无穷小量和无穷大量、无穷小量、无穷小量例如一个函数一个函数f(x)当当xx0时以时以0为极限，称该为极限，称该函数函数f(x)为当为当xx 0时的时的无穷小量无穷小量。3/2/202340.定理定理无穷小量阶无穷小量阶 3/2/2023413/2/202342下面

9、是几个常用的等价无穷小：3/2/202343、无穷大量、无穷大量3/2/2023443/2/202345第三节第三节第三节第三节 连连连连 续续续续1、连续的定义、连续的定义3/2/2023463/2/202347区间连续的定义区间连续的定义连续函数的图象是一条连续的曲线。3/2/2023483/2/2023492、初等函数的连续性、初等函数的连续性定理定理 基本初等函数在定义域内都连续。定理定理 初等函数在定义域上的区间上连续。3/2/202350解解3/2/2023513、闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质、定义定义如果存在如果存在M0，使得任意，使得任意xD,有有|f(x)|M

10、,则称则称函数函数f(x)在定义域在定义域D上有界上有界.、定理（有界性定理）若函数、定理（有界性定理）若函数f(x)在闭区间在闭区间a,b上连续上连续，则它在则它在a,b上有界上有界。3/2/2023523/2/202353如果f()=0，我们就称是函数f(x)的零点。定理的几何解释是：一条连续的曲线段一端在x轴下方,另一端在x轴上方,那么该曲线一定和x轴相交。3/2/202354证明证明 3/2/202355如果记f(x)在闭区间a,b上的最的大值为M，最小值为m,且mcM，那么存在一点a,b使得 f()=c。3/2/2023563/2/202357第四节第四节第四节第四节 函数的导数函数

11、的导数函数的导数函数的导数一、导数的概念导数的概念 两个例子(1)、切线问题设A点是曲线c上的一点。如何确定曲线c在A点的切线AT呢？3/2/2023583/2/202359(2)、瞬时速度、瞬时速度 设物体A沿着一条直线运动，我们用s=s(t)表示t时刻物体A离开初始位置的距离。求A在t0时刻的瞬时速度v(t0)？3/2/2023601、定义、定义存在，则称这个极限为函数函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数，并称函数函数f(x)在在x0处可导或有导数处可导或有导数。(点导数点导数)3/2/202361如果这个极限不存在，就称函数f(x)在x0处不可导。解：解：3/2/2023623/2/

12、2023632、定义、定义(区间导数区间导数)3/2/202364导函数的定义式为导函数的定义式为3/2/202365解：解：3/2/2023663、基本求导公式和求导法则基本求导公式和求导法则基本求导公式3/2/202367导数的四则运算 3/2/202368解：解：解：解：3/2/202369解：解：3/2/202370复合函数的求导法则链锁法则 3/2/202371解：解：将函数分解的两个简单函数，根据链锁法则，有3/2/202372解：解：将函数分解的两个简单函数，根据链锁法则，有3/2/2023734、高阶导数、高阶导数 二阶及二阶以上的导数称为高阶导数二阶及二阶以上的导数称为高阶导

13、数 3/2/202374解：解：先求函数的一阶导数 再求一阶导数的导数 二阶是一阶导数的导数二阶是一阶导数的导数 3/2/2023753/2/202376第五节第五节第五节第五节 函数的微分函数的微分函数的微分函数的微分一、微分的概念微分的概念 1.定义定义 设y=f(x)在点x处可导，则 称为函数 y=f(x)在点x处的微分，记作dy，即：dy=。微分的表达式微分的表达式2.定理：定理：可导函数一定可微，可微函数一定可导可导函数一定可微，可微函数一定可导。3/2/202377二、微分的几何意义二、微分的几何意义AT是曲线y=f(x)上点A处的切线。其中 是切线AT和x轴正方向的夹角。当自变量

14、从当自变量从x变到变到x+dx时，曲线时，曲线y=f(x)在点在点A处的切处的切线的改变量是线的改变量是TC=dy。这就是微分的几何意义。这就是微分的几何意义。3/2/202378解：解：因为所以3/2/202379三、三、基本微分公式基本微分公式3/2/202380四、四、微分的运算微分的运算3/2/202381解：解：用函数乘积的微分法则，3/2/2023823/2/202383第六节第六节第六节第六节 导数的应用导数的应用导数的应用导数的应用一、拉格朗日(Lagrange)中值定理xyOABlP3/2/2023843/2/202385二、洛必塔法则洛必塔法则 3/2/202386解：解：

15、因为所以3/2/2023873/2/202388解：解：因为所以3/2/202389三、函数的单调性3/2/202390解：解：3/2/202391四、函数的极值四、函数的极值函数的极大值和极小值都称为函数的极值函数的极值，函数的极大值点和极小值点都称为函数的极值点函数的极值点。3/2/202392称使 为零的点为函数的驻点函数的驻点。3/2/2023933/2/202394解：解：下面列表考察导数的符号以及函数的单调性与极值：3/2/202395下面列表考察导数的符号以及函数的单调性与极值：3/2/202396解：解：3/2/2023973/2/202398结结结结 束束束束3/2/202399