物理刚体运动.ppt

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1、所以刚体内任何一个质点的运动，都可代表整个所以刚体内任何一个质点的运动，都可代表整个刚体的运动刚体的运动。刚体运动时，如果刚体的各个质点在运动中刚体运动时，如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线圆周运动，这种运动就叫做转动，都绕同一直线圆周运动，这种运动就叫做转动，这一直线就叫做转轴。这一直线就叫做转轴。3.3.3.3.3.3.刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动定轴定轴转动：转动：刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的圆周运刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的圆周运动，且在相同时间内转过相同的角度。动，且在相同时间内转过相同的角度。特点：特点：(1)

2、角位移，角速度和角加速度均相同；角位移，角速度和角加速度均相同；(2)质点在垂直转轴的平面内运动，且作圆周运动。质点在垂直转轴的平面内运动，且作圆周运动。角角位移位移角速度角速度角加速度角加速度4.4.4.4.角速度矢量角速度矢量角速度矢量角速度矢量 角速度的方向：与刚体转角速度的方向：与刚体转动方向呈右手螺旋关系。动方向呈右手螺旋关系。角速度矢量角速度矢量 在在定轴定轴转动中，角速度的转动中，角速度的方向沿转轴方向。方向沿转轴方向。例例1:1:一飞轮转速一飞轮转速n=1500r/min，受制动后均匀减速，受制动后均匀减速，经经t=50 s后静止。（后静止。（1 1）求角加速度）求角加速度和飞

3、轮从制动开和飞轮从制动开始到静止所转转数始到静止所转转数N；（2 2）求制动开始后求制动开始后t=25s 时飞时飞轮的速度轮的速度 ；（；（3 3）设飞轮的半径）设飞轮的半径r=1m，求在求在t=25s 时边缘上一点的速度和加速度。时边缘上一点的速度和加速度。0vanatarO解解:（1 1）设初角度为）设初角度为 0 0方方向如图所示，向如图所示，0 0=2=21500/60=501500/60=50 rad/s，在在t=50=50S 时刻时刻 =0=0，代入，代入方程方程=0+t 得得 从开始制动到静止，飞轮的角位移从开始制动到静止，飞轮的角位移 及转及转数数N 分别为分别为 （2 2）t

4、=25=25s 时飞轮的角速度为时飞轮的角速度为 的方向与的方向与 0 0相同相同 ；（3 3）t t=25=25s 时飞轮边缘上一点时飞轮边缘上一点P 的速度。的速度。的方向垂直于的方向垂直于 和和 构成的平面，如构成的平面，如图所示相应的切向加速度和向心加速度分别为图所示相应的切向加速度和向心加速度分别为由由边缘上该点的加速度边缘上该点的加速度 其中其中 的方向的方向与与 的方向相反，的方向相反，的方向指向轴心，的方向指向轴心，的大小的大小为为 的方向几乎和的方向几乎和 相同。相同。例例2:2:一飞轮在时间一飞轮在时间t t内转过角度内转过角度 at+bt3-ct4 ,式中式中a、b、c

5、都是常量。求它的角加速度。都是常量。求它的角加速度。解：解：飞轮上某点角位置可用飞轮上某点角位置可用 表示为表示为 at+bt3-ct4将此式对将此式对t t求导数，即得飞轮角速度的表达式为求导数，即得飞轮角速度的表达式为角加速度是角速度角加速度是角速度对对t t的导数，因此得的导数，因此得由此可见飞轮作的是变加速转动。由此可见飞轮作的是变加速转动。4-24-24-24-2刚体的角动量刚体的角动量刚体的角动量刚体的角动量 转动动能转动动能转动动能转动动能 转动惯量转动惯量转动惯量转动惯量1.1.1.1.刚体的角动量刚体的角动量刚体的角动量刚体的角动量 图图为以为以角速度角速度 绕定轴绕定轴oz

6、oz转动的一根均匀细棒。转动的一根均匀细棒。把细棒分成许多质点，其中第把细棒分成许多质点，其中第i 个质点的质量为个质点的质量为 当细棒以当细棒以 转动时，该转动时，该质点绕轴的半径为质点绕轴的半径为它相对于它相对于o o点的位矢为点的位矢为则则 对对o o点的角动量为：点的角动量为：因因，所以所以 的大小为的大小为从图中从图中可以看出可以看出：因此因此 而这个分量而这个分量 实际上就是各质点的角动量沿实际上就是各质点的角动量沿 轴的分量轴的分量 之和。之和。对于定轴转动，我们感兴趣的只是对于定轴转动，我们感兴趣的只是 对沿对沿 轴的分量轴的分量 ，叫做刚体绕定轴转动的角动量。，叫做刚体绕定轴

7、转动的角动量。刚体对刚体对 点的角动量，等于各个质点角动量的矢点的角动量，等于各个质点角动量的矢量和。量和。式中式中 叫做刚体对叫做刚体对 轴的轴的转动惯量转动惯量，用用J表示。表示。刚体转动惯量刚体转动惯量：刚体绕定轴的角动量表达式：刚体绕定轴的角动量表达式：2.2.2.2.刚体的转动动能刚体的转动动能刚体的转动动能刚体的转动动能 刚体的转动动能应该是组成刚体的各个质点刚体的转动动能应该是组成刚体的各个质点的动能之和。设刚体中第的动能之和。设刚体中第i个质点的质量为个质点的质量为 ，速度为速度为 ,则该质点的动能为：则该质点的动能为：刚体做定轴转动时，各质点的角速度刚体做定轴转动时，各质点的

8、角速度 相同。相同。设设质点质点 离轴的垂直距离为离轴的垂直距离为 ，则它的线速度，则它的线速度因此，整个刚体的动能因此，整个刚体的动能 上式中的动能是刚体因转动而具有的动能，因上式中的动能是刚体因转动而具有的动能，因此叫刚体的转动动能。此叫刚体的转动动能。式中式中 是刚体对转轴的转动惯量是刚体对转轴的转动惯量 ，所以上式写为所以上式写为质元的质量质元的质量质元到转轴的距离质元到转轴的距离 刚体的质量可认为是刚体的质量可认为是连续分布连续分布的，所以上式可的，所以上式可写成积分形式写成积分形式3.3.3.3.转动惯量的计算转动惯量的计算转动惯量的计算转动惯量的计算按按转动惯量的定义有转动惯量的

9、定义有区别区别：平动：平动：平动动能平动动能 线动量线动量转动：转动：转动动能转动动能 角动量角动量转动平面 沿沿Z Z 轴分量为轴分量为 对对Z Z 轴力矩轴力矩对对O O 点的力矩点的力矩：4-3 4-3 4-3 4-3 力矩力矩力矩力矩 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律1.1.力矩力矩 力不在转动平面内力不在转动平面内 注注 （1 1）在定轴动问题在定轴动问题中，如不加说明，所指的中，如不加说明，所指的力矩是指力在转动平面内力矩是指力在转动平面内的分力对转轴的力矩。的分力对转轴的力矩。只能引起轴的只能引起轴的变形变形,对转动无贡献对转动无贡献。转动平面 是

10、转轴到力作是转轴到力作用线的距离，称为力臂用线的距离，称为力臂。（2 2）（3 3）对转轴的力矩为零，对转轴的力矩为零，在定轴转动中不予考虑。在定轴转动中不予考虑。（4 4）在转轴方向确定后，力对在转轴方向确定后，力对转轴的力矩方向可用转轴的力矩方向可用+、-号表示。号表示。转动平面 2.2.2.2.刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律应用牛顿第二定律，可得：应用牛顿第二定律，可得：O对对刚体中任一质量元刚体中任一质量元-外力外力-内力内力采用自然坐标系，上式切向分量式为：采用自然坐标系，上式切向分量式为：O用用 乘以上式左右两端：乘以上式左右两端：设刚体由设刚体由

11、N 个点构成，对每个质点可写出上个点构成，对每个质点可写出上述类似方程，将述类似方程，将N 个方程左右相加，得：个方程左右相加，得：根据内力性质根据内力性质(每一对内力等值、反向、共每一对内力等值、反向、共线线,对同一轴力矩之代数和为零对同一轴力矩之代数和为零)，得：得：得到：得到：上上式式左左端端为为刚刚体体所所受受外外力力的的合合外外力力矩矩，以以M M 表表示示；右右端端求求和和符符号号内内的的量量与与转转动动状状态态无无关关，称称为为刚刚体转动惯量，以体转动惯量，以J J 表示。于是得到表示。于是得到刚体定轴刚体定轴转动定律转动定律讨论讨论：惯性大小的量度；惯性大小的量度；转动惯量是转

12、动转动惯量是转动（1）M M 一定，一定，J J（4 4）J J 和转轴有关，同一个物体对不同转轴的转和转轴有关，同一个物体对不同转轴的转 动惯量不同。动惯量不同。（3 3）J J 和质量分布有关；和质量分布有关；（2 2）M M 的符号：使刚体向规定的转动正方向加速的符号：使刚体向规定的转动正方向加速 的力矩为正；的力矩为正；例例1:1:一一轻轻绳绳跨跨过过一一定定滑滑轮轮，滑滑轮轮视视为为圆圆盘盘，绳绳的的两两端端分分别别悬悬有有质质量量为为m1和和m2的的物物体体1 1和和2 2，m1m1，物体物体1 1向上运动，向上运动，物体物体2 2向下运动，滑轮以顺向下运动，滑轮以顺时针方向旋转，

13、时针方向旋转，Mr r的指向的指向如图所示。可列出下列方如图所示。可列出下列方程程式式中中 是是滑滑轮轮的的角角加加速速度度，a是是物物体体的的加加速速度度。滑滑轮轮边缘上的切向加速度和物体的加速度相等，即边缘上的切向加速度和物体的加速度相等，即从以上各式即可解得从以上各式即可解得 当当不不计计滑滑轮轮质质量量及及摩摩擦擦阻阻力力矩矩即即令令m=0=0、M=0=0时，有时，有 上上题题中中的的装装置置叫叫阿阿特特伍伍德德机机，是是一一种种可可用用来来测测量量重重力力加加速速度度g g的的简简单单装装置置。因因为为在在已已知知m1、m2 、r和和J的的情情况况下下，能能通通过过实实验验测测出出物

14、物体体1 1和和2 2的的加加速速度度a，再再通通过过加加速速度度把把g g算算出出来来。在在实实验验中中可可使使两两物物体体的的m1和和m2相相近近，从从而而使使它它们们的的加加速速度度a和和速速度度v都都较较小，这样就能角精确地测出小，这样就能角精确地测出a来。来。例例2:2:一一半半径径为为R R，质质量量为为m匀匀质质圆圆盘盘，平平放放在在粗粗糙糙的的水水平平桌桌面面上上。设设盘盘与与桌桌面面间间摩摩擦擦系系数数为为，令令圆圆盘盘最最初初以以角角速速度度 0 0绕绕通通过过中中心心且且垂垂直直盘盘面面的轴旋转，问它经过多少时间才停止转动？的轴旋转，问它经过多少时间才停止转动？rRdr

15、d e 解解:因因摩摩擦擦力力不不是是集集中中作作用用于于一一点点，而而是是分分布布在在整整个个圆圆盘盘与与桌桌子子的的接接触触面面上上，力力矩矩的的计计算算要要用用积积分分法法。在在图图中中，把把圆圆盘盘分分成成许许多多环环形形质质元元，每每个个质质元元的质量的质量dm=rd dre，所受到的阻力矩是所受到的阻力矩是r dmg 。此处此处e是盘的厚度。圆盘所受阻力矩就是是盘的厚度。圆盘所受阻力矩就是因因m=e R2，代入得代入得根据定轴转动定律，阻力矩使圆盘减速，即根据定轴转动定律，阻力矩使圆盘减速，即获得负的角加速度获得负的角加速度.设圆盘经过时间设圆盘经过时间t t停止转动，则有停止转动

16、，则有由此求得由此求得4-4 4-4 定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理 1.1.1.1.力矩的功力矩的功力矩的功力矩的功 当刚体在外力矩作用下绕定轴转动而发生角当刚体在外力矩作用下绕定轴转动而发生角位移时，就称位移时，就称力矩对刚体做功力矩对刚体做功。力力 对对P 点作功：点作功：00 因因力矩作功：力矩作功：对于刚体定轴转动情形，因质点间无相对位对于刚体定轴转动情形，因质点间无相对位移，任何一对内力作功为零。移，任何一对内力作功为零。2.2.2.2.定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理根据定轴转动定理根据定轴转动定理

17、外外力矩所做元功为：力矩所做元功为：则则物体在物体在 时间内转过角位移时间内转过角位移 时时总外力矩对刚体所作的功为：总外力矩对刚体所作的功为：刚体定轴转动的动能定理：刚体定轴转动的动能定理：总外力矩对刚体所做的功总外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。等于刚体转动动能的增量。例例1:1:如图，冲床上配置如图，冲床上配置一质量为一质量为5000kg5000kg的飞轮，的飞轮，r r1 1=0.3m,r=0.3m,r2 2=0.2m.=0.2m.今用今用转速为转速为900r/min900r/min的电动的电动机借皮带传动来驱动飞机借皮带传动来驱动飞轮，已知电动机的传动轮，已知电动机的传动轴

18、直径为轴直径为d=10cmd=10cm。（。（1 1）求飞轮的转动动能。求飞轮的转动动能。2r12r2d解解:（1 1）为为了了求求飞飞轮轮的的转转动动动动能能，需需先先求求出出它它的的转转动动惯惯量量和和转转速速。因因飞飞轮轮质质量量大大部部分分分分别别布布在在轮轮缘缘上上，由图示尺寸并近似用圆筒的转动惯量公式，得由图示尺寸并近似用圆筒的转动惯量公式，得 皮皮带带传传动动机机构构中中，电电动动机机的的传传动动轴轴是是主主动动轮轮，飞飞轮轮是是从从动动轮轮。两两轮轮的的转转速速与与轮轮的的直直径径成成反反比比，即即飞轮的转速为飞轮的转速为由此得飞轮的角速度由此得飞轮的角速度这样飞轮的转动动能是

19、这样飞轮的转动动能是（2 2）若若冲冲床床冲冲断断0.5mm0.5mm厚厚的的薄薄钢钢片片需需用用冲冲力力9.809.80 10104 4N N，所所消消耗耗的的能能量量全全部部由由飞飞轮轮提提供供，问问冲断钢片后飞轮的转速变为多大？冲断钢片后飞轮的转速变为多大？这就是飞轮消耗的能量，此后飞轮的能量变为这就是飞轮消耗的能量，此后飞轮的能量变为由由求求得得此此时时间间的的角角速速度度 为为而飞轮的转速变为而飞轮的转速变为 解解:先先对对细细棒棒OAOA所所受受的的力力作作一一分分析析；重重力力 作作用用在在棒棒的的中中心心点点C C，方方向向竖竖直直向向下下；轴轴和和棒棒之之间间没没有有摩摩擦擦

20、力力，轴轴对对棒棒作作用用的的支支承承力力垂垂直直于于棒棒和和轴轴的的接接触触面面且且通通过过O O点点，在在棒棒的的下下摆摆过过程程中中，此此力力的的方方向向和和大大小是随时改变的。小是随时改变的。例例2:2:一一根根质质量量为为m m、长长为为 l l 的的均均匀匀细细棒棒OAOA（如如图图），可可绕绕通通过过其其一一端端的的光光滑滑轴轴O O在在竖竖直直平平面面内内转转动动，今今使使棒棒从从水水平平位位置置开开始始自自由由下下摆摆，求求细细棒棒摆摆到到竖直位置时其中点竖直位置时其中点C C和端点和端点A A的速度。的速度。GAA O 在棒的下摆过程中，对转轴在棒的下摆过程中，对转轴O O

21、而言，支撑力而言，支撑力N N通通过过O O点，所以支撑力点，所以支撑力N N的力矩等于零，重力的力矩等于零，重力G G的力矩的力矩则是变力矩，大小等于则是变力矩，大小等于mg(l/2)mg(l/2)coscos ，棒转过棒转过一极小的角位移一极小的角位移d d 时，重力矩所作的元功是时，重力矩所作的元功是在在使使棒棒从从水水平平位位置置下下摆摆到到竖竖直直位位置置过过程程中中，重重力矩所作的功是力矩所作的功是应应该该指指出出：重重力力矩矩作作的的功功就就是是重重力力作作的的功功，也也可可用用重重力力势势能能的的差差值值来来表表示示。棒棒在在水水平平位位置置时时的的角角速速度度 0 00 0，

22、下下摆摆到到竖竖直直位位置置时时的的角角速速度度为为 ，按按力矩的功和转动动能增量的关系式得力矩的功和转动动能增量的关系式得由此得由此得代入上式得代入上式得因因所所以以细细棒棒在在竖竖直直位位置置时时，端端点点A A和和中中心心点点C C的的速速度度分别为分别为4-6 刚体角动量和角动量守恒定律刚体角动量和角动量守恒定律1.1.1.1.定轴转动刚体的角动量定理定轴转动刚体的角动量定理定轴转动刚体的角动量定理定轴转动刚体的角动量定理刚体定轴转动定理：刚体定轴转动定理：则该系统对该轴的角动量为：则该系统对该轴的角动量为：由几个物体组成的系统，如果它们对同一给由几个物体组成的系统，如果它们对同一给定

23、轴的角动量分别为定轴的角动量分别为 、，对于该系统还有对于该系统还有为为 时间内力矩时间内力矩M M 对给定轴的冲量矩。对给定轴的冲量矩。角动量定理的微分形式：角动量定理的微分形式：在外力矩作用下，从在外力矩作用下，从角动量角动量变为变为，则由则由得得2.2.2.2.定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律 角动量守恒定律：角动量守恒定律：若一个系统一段时间内所若一个系统一段时间内所受合外力矩受合外力矩M M 恒为零，则此系统的总角动量恒为零，则此系统的总角动量L L 为为一恒量。一恒量。讨论：讨论：a.对于绕固定转轴转动

24、的刚体，因对于绕固定转轴转动的刚体，因J J 保持不变，当保持不变，当 合外力矩为零时，其角速度恒定。合外力矩为零时，其角速度恒定。恒量恒量=恒量恒量=恒量恒量b.若系统由若干个刚体构成若系统由若干个刚体构成,当合外力矩为零时当合外力矩为零时,系系 统的角动量依然守恒。统的角动量依然守恒。J J 大大 小小,J J 小小 大。大。例例1:1:一一匀匀质质细细棒棒长长为为l ，质质量量为为m，可可绕绕通通过过O的的水水平平轴轴转转动动，如如图图。当当棒棒从从水水平平位位置置自自由由释释放放后后，它它在在竖竖直直位位置置上上与与放放在在地地面面上上的的物物体体相相撞撞。该该物物体体的的质质量量也也

25、为为m ，它它与与地地面面的的摩摩擦擦系系数数为为 。相相撞撞后后物物体体沿沿地地面面滑滑行行s而而停停止止。求求撞撞后后棒棒的的质质心心C 离离地地面面的的最最大大高高度度h，并并说说明明棒棒在在碰碰撞撞后后将将向向左左摆摆或或向向右右摆的条件。摆的条件。c.c.若系统内既有平动也有转动现象若系统内既有平动也有转动现象发生，若对某一定轴的合外力矩为发生，若对某一定轴的合外力矩为零零,则系统对该轴的角动量守恒。则系统对该轴的角动量守恒。解：解：这个问题可分为三个阶段这个问题可分为三个阶段进行分析。第一阶段是棒自由进行分析。第一阶段是棒自由摆落的过程。这时除重力外，摆落的过程。这时除重力外，其余

26、内力与外力都不作功，所其余内力与外力都不作功，所以机械能守恒。我们把棒在竖以机械能守恒。我们把棒在竖直位置时质心所在处取为势能直位置时质心所在处取为势能CO零点，用零点，用 表示棒这时的角速度表示棒这时的角速度,则则（1 1）第二阶段是碰撞过程。因碰撞时间极短，自由的第二阶段是碰撞过程。因碰撞时间极短，自由的冲力极大，物体虽然受到地面的摩擦力，但可以冲力极大，物体虽然受到地面的摩擦力，但可以忽略。忽略。这这样样，棒棒与与物物体体相相撞撞时时，它它们们组组成成的的系系统统所所受受的的对对转转轴轴O的的外外力力矩矩为为零零，所所以以，这这个个系系统统的的对对O轴轴的的角角动动量守恒。我们用量守恒。

27、我们用v表示物体碰撞后的速度，则表示物体碰撞后的速度，则（2 2）式式中中 棒棒在在碰碰撞撞后后的的角角速速度度，它它可可正正可可负负。取正值，表示碰后棒向左摆；反之，表示向右摆。取正值，表示碰后棒向左摆；反之，表示向右摆。第第三三阶阶段段是是物物体体在在碰碰撞撞后后的的滑滑行行过过程程。物物体体作作匀匀减减速直线运动，加速度由牛顿第二定律求得为速直线运动，加速度由牛顿第二定律求得为（3 3）由匀减速直线运动的公式得由匀减速直线运动的公式得（4）亦即亦即由式（由式（1 1）、（）、（2 2）与（）与（4 4）联合求解，即得）联合求解，即得（5）亦亦即即l6l6 s；当当 取取负负值值，则则棒棒

28、向向右右摆摆，其其条条件件为为当当 取正值，则棒向左摆，其条件为取正值，则棒向左摆，其条件为亦即亦即l 6 s 棒棒的的质质心心C C上上升升的的最最大大高高度度，与与第第一一阶阶段段情情况况相似，也可由机械能守恒定律求得：相似，也可由机械能守恒定律求得：把式（把式（5 5）代入上式，所求结果为）代入上式，所求结果为(6)(6)例例2:2:图图中中的的宇宇宙宙飞飞船船对对其其中中心心轴轴的的转转动动惯惯量量为为J=2 103kg.m2 ，它它以以=0.2rad/s的的角角速速度度绕绕中中心心轴轴旋旋转转。宇宇航航员员用用两两个个切切向向的的控控制制喷喷管管使使飞飞船船停停止止旋旋转转。每每个个

29、喷喷管管的的位位置置与与轴轴线线距距离离都都是是r=1.5m。两两喷喷管管的的喷喷气气流流量量恒恒定定，共共是是=2kg/s 。废废气气的的喷喷射射速速率率（相相对对于于飞飞船船周周边边）u=50m/s，并并且且恒恒定定。问喷管应喷射多长时间才能使飞船停止旋转。问喷管应喷射多长时间才能使飞船停止旋转。rdm/2dm/2u-u L0Lg解解:把飞船和排出的把飞船和排出的废气看作一个系统，废气看作一个系统，废气质量为废气质量为m m。可以可以认为废气质量远小于认为废气质量远小于飞船的质量，飞船的质量，所以原来系统对于飞船中心轴的角动量近似地等于所以原来系统对于飞船中心轴的角动量近似地等于飞船自身的

30、角动量，即飞船自身的角动量，即 在在喷喷气气过过程程中中，以以dm表表示示dt时时间间内内喷喷出出的的气气体体，这这些些气气体体对对中中心心轴轴的的角角动动量量为为dm r(u+v)，方方向向与与飞飞船船的的角角动动量量相相同同。因因u=50m/s远远大大于于飞飞船船的的速速率率v(=r)，所所以以此此角角动动量量近近似似地地等等于于dm ru。在在整整个个喷喷气气过程中喷出废气的总的角动量过程中喷出废气的总的角动量Lg应为应为当当宇宇宙宙飞飞船船停停止止旋旋转转时时，其其角角动动量量为为零零。系系统统这这时时的总角动量的总角动量L1 1就是全部排出的废气的总角动量，即就是全部排出的废气的总角

31、动量，即喷喷射射过过程程中中，系系统统所所受受的的对对于于飞飞船船中中心心轴轴的的外外力力矩矩为为零零，故故系系统统对对于于此此轴轴的的角角动动量量守守恒恒，即即L0=L1，由此由此即即例例3:一长为一长为l、质量为质量为m 的匀质细杆，可绕光滑轴的匀质细杆，可绕光滑轴O 在在铅直面内摆动。当杆静止时，一颗质量为铅直面内摆动。当杆静止时，一颗质量为m0 的子弹水的子弹水平射入与轴相距为平射入与轴相距为a 处的杆内，并留在杆中，使杆能偏处的杆内，并留在杆中，使杆能偏转到转到=300，求子弹的初速求子弹的初速v0。解：解：分两个阶段进行考虑分两个阶段进行考虑其中其中(1)子子弹弹射射入入细细杆杆时

32、时,子子弹弹和和细细杆杆组组成成的的系系统统,无无外外力力矩矩,满满足足角角动动量量守守恒恒条条件件。子子弹弹射射入入细细杆杆前前、后后的的一瞬间一瞬间,系统角动量分别为系统角动量分别为(1)(2)(2)子弹随杆一起绕轴子弹随杆一起绕轴O O 转动。以子弹、细杆及地球转动。以子弹、细杆及地球构成一系统，只有保守内力作功，机械能守恒。选构成一系统，只有保守内力作功，机械能守恒。选取细杆处于竖直位置时子弹的位置为取细杆处于竖直位置时子弹的位置为重力势能零点重力势能零点，系统在始末状态的机械能为：系统在始末状态的机械能为：势能零点势能零点由机械能守恒，由机械能守恒，E=E0,代入代入=300，得：得

33、：将上式与将上式与 联立，并代入联立，并代入J 值，得值，得例例4 4：A、B两圆盘绕各自的中心轴转动，角速度分别两圆盘绕各自的中心轴转动，角速度分别为：为：wA=50=50rad.s-1-1,wB=200=200rad.s-1-1。已知已知A A 圆盘半径圆盘半径RA=0.2m,=0.2m,质量质量m mA A=2kg,=2kg,B B 圆盘的半径圆盘的半径RB=0.1m,=0.1m,质量质量m mB B=4kg.=4kg.试求两圆盘对心衔接后的角速度试求两圆盘对心衔接后的角速度 .解：解：以两圆盘为系统，重力、轴以两圆盘为系统，重力、轴对圆盘支持力及轴向正压力均不对圆盘支持力及轴向正压力均不产生力矩；圆盘间切向摩擦力属产生力矩；圆盘间切向摩擦力属于内力，故系统角动量守恒。于内力，故系统角动量守恒。直线运动与定轴转动规律对照直线运动与定轴转动规律对照质点的直线运动质点的直线运动刚体的定轴转动刚体的定轴转动