抛物线的标准方程与几何性质.ppt

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1、 抛物线标准方程抛物线标准方程 及几何性质及几何性质问题情境 抛物线的生活实例抛物线的生活实例抛球运动抛球运动平面内与一个定点平面内与一个定点F F和一条定直线和一条定直线l l的距离相等的点的轨迹叫做的距离相等的点的轨迹叫做抛物线抛物线。一、定义一、定义即即:FMlN定点定点F F叫做抛物线的叫做抛物线的焦点焦点。定直线定直线l l 叫做抛物线的叫做抛物线的准线准线。定点定点F与定直线与定直线l的的位置关系是怎样的位置关系是怎样的？二、标准方程的推导二、标准方程的推导FMlN步骤：步骤：（1）建系）建系（2）设点）设点（3）列式）列式（4）化简）化简（5）证明）证明想想一一想想？1.求曲线方

2、程的求曲线方程的基本步骤是怎样基本步骤是怎样的？的？yxoy=ax2+bx+cy=ax2+cy=ax2思考：思考：抛物抛物线是一个怎样线是一个怎样的对称图形？的对称图形？FMlN 回忆一下，看看上面的方程哪一种简单，回忆一下，看看上面的方程哪一种简单，为什么会简单？启发我们怎样为什么会简单？启发我们怎样建立坐标系？建立坐标系？学生活动 1 1、标准方程的推导、标准方程的推导xyoFMlNK设设KF=p则则F（，0），），l：x=-p2p2设点设点M的坐标为（的坐标为（x，y），），由定义可知，由定义可知，化简得化简得 y2=2px（p0）2取过焦点取过焦点F F且垂直于准线且垂直于准线l l的

3、直线为的直线为x x轴，线段轴，线段KFKF的中垂线的中垂线 为为y y轴轴 其中其中 p 为正常数，它的几何意义是为正常数，它的几何意义是:焦焦 点点 到到 准准 线线 的的 距距 离离2、抛物线的标准方程、抛物线的标准方程 方程方程 y2=2px（p0）叫做抛物线的标准方程叫做抛物线的标准方程yoxFMlNK方程方程y2=2px（p0）表示抛物线的焦点表示抛物线的焦点在在 X X轴的正半轴上轴的正半轴上 焦点：焦点：F（，0），准线），准线L：x=-p2p2构建数学构建数学 一一条条抛抛物物线线，由由于于它它在在坐坐标标平平面面内内的的位位置置不不同同，方方程程也也不不同同，所所以以抛抛物

4、线的物线的标准方程标准方程还有其它形式还有其它形式.抛物线的标准方程还有抛物线的标准方程还有几种几种不同的形式不同的形式?它们是它们是如何建系的如何建系的?构建数学构建数学 准线方程准线方程焦点坐标焦点坐标标准方程标准方程焦点位置焦点位置 图图 形形三三.四种抛物线及其它们的标准方程四种抛物线及其它们的标准方程 x轴的轴的正半轴上正半轴上 x轴的轴的负半轴上负半轴上 y轴的轴的正半轴上正半轴上 y轴的轴的负半轴上负半轴上y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2pyF(-想一想想一想:1、根据上表中抛物线的标准方程的根据上表中抛物线的标准方程的不同形式与图形、焦点坐标、准线不同形式与图形

5、、焦点坐标、准线 方程的应关系？方程的应关系？第第一一：一一次次项项的的变变量量如如为为X（或或Y）则则X轴轴（或或Y轴轴）为为抛抛物物线线的的对对称称轴轴，焦焦点点就就在在对对称称轴上。轴上。第二：一次的系数的正负决第二：一次的系数的正负决定了开口方向定了开口方向 2、如何判断抛物线的焦点位置，开口方向、如何判断抛物线的焦点位置，开口方向？3 3、我们以前学习的抛物线和现在学习的我们以前学习的抛物线和现在学习的抛物线的标准方程有什么联系？抛物线的标准方程有什么联系？结合抛物线结合抛物线y2=2px(p0)的标准方程和图形的标准方程和图形,探索探索其的几何性质其的几何性质:(1)范围范围(2)

6、对称性对称性(3)顶点顶点类比椭圆、双曲线如何探索抛类比椭圆、双曲线如何探索抛物线的几何性质？物线的几何性质？x0,yR关于关于x轴对称轴对称,对称轴对称轴又叫抛物线的轴又叫抛物线的轴.抛物线和它的轴的交点抛物线和它的轴的交点.yxoF(4)离心率离心率(5)焦半径焦半径(6)通径通径e=1通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。通径。|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度通径的长度：2P方程方程图图形形范围范围对称性对称性顶点顶点焦半径焦半径焦点弦焦点弦的长度的长度 y2

7、=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）lFyxOlFyxOlFyxOx0 yRx0 yRxR y0y0 xRlFyxO关于关于x轴对称轴对称 关于关于x轴对称轴对称 关于关于y轴对称轴对称关于关于y轴对称轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）例例1（1）已知抛物线的标准方程是）已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；求它的焦点坐标和准线方程；（2）已知抛物线的方程是）已知抛物线的方程是y=6x2,求它的焦求它的焦点坐标和准线方程；点坐标和准线方程；（3）已知抛物线的焦点坐标是）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），求），求它

8、的标准方程。它的标准方程。解解:因焦点在因焦点在y轴的负半轴上轴的负半轴上,且且p=4,故其标准故其标准方程为方程为:x =-8y232解：因为，故焦点坐标为（解：因为，故焦点坐标为（,）32准线方程为准线方程为x=-.数学应用数学应用 解解:方程可化为方程可化为:故焦点坐标故焦点坐标为为 ,准线方程为准线方程为 1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是）焦点是F（3，0）；）；（2）准线方程）准线方程 是是 x =；（3）焦点到准线的距离是）焦点到准线的距离是2。y2=12xy2=xy2=4x、y2=-4x、x2=4y 或或 x2=-4y练习

9、练习1 2 2、已知抛物线的标准方程是已知抛物线的标准方程是(1)y2=12x、(2)y12x2 求它们的焦点坐标和准线方程；求它们的焦点坐标和准线方程；（2）先化为标准方程 ，焦点坐标是（0，），准线方程是y .（1）p6，焦点坐标是（3，0）准线方程是 x3解：练习练习1 数学应用数学应用 例例2 2、求过点求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。的抛物线的标准方程。AOyx解：当抛物线的焦点在解：当抛物线的焦点在y轴轴的正半轴上时，把的正半轴上时，把A（-3，2）代入代入x2=2py，得，得p=当焦点在当焦点在x轴的负半轴上时，轴的负半轴上时，把把A（-3，2）代入）代入y2=-2px，

10、得得p=抛物线的标准方程为抛物线的标准方程为x2=y或或y2=x 。已知抛物线经过点已知抛物线经过点P(4,P(4,2)2)，求抛物线的标，求抛物线的标准方程。准方程。提示：注意到提示：注意到P为第四象限的点，所以可以设抛物线为第四象限的点，所以可以设抛物线的标准方程为的标准方程为y2=2px或或x2=-2py练习练习2 例例3 3、点点M与点与点F（4，0）的距离比它到直线）的距离比它到直线l：x50的距离小的距离小1，求点，求点M的轨迹方程的轨迹方程 如图可知原条件等价于M点到F（4，0）和到x4距离相等，由抛物线的定义，点M的轨迹是以F（4，0）为焦点，x4为准线的抛物线因为p/2=4,

11、所以p=8,所求方程是y216x分析：分析：数学应用数学应用 1、M是抛物线是抛物线y2=2px（P0）上一点，）上一点，若点若点M 的横坐标为的横坐标为X0，则点，则点M到焦点的到焦点的距离是距离是X0+2pOyxFM抛物线抛物线(p.0)上任意一点上任意一点P到焦点的到焦点的距离（称为焦半径）距离（称为焦半径）等于等于练习练习3 2、抛物线抛物线 y2=2px (p0)上一点上一点M到焦点的距离是到焦点的距离是 a(a ),则点则点M到准线的距离是到准线的距离是 ,点点 M的的横坐标是横坐标是 .aa 3、抛物线抛物线y2=12x上与焦点的距离上与焦点的距离等于等于9的点的坐标是的点的坐标

12、是 .例4.斜率为斜率为1的直线经过抛物线的直线经过抛物线y2=4x 的的焦点焦点,与抛物线相交于两点与抛物线相交于两点A、B,求线段求线段AB的长的长.l lXyFAOB数学应用数学应用 分析分析1：直线与抛物线相交问题，可联立方程组求交点坐：直线与抛物线相交问题，可联立方程组求交点坐标，由距离公式求；或不求交点，直接用标，由距离公式求；或不求交点，直接用弦长公式弦长公式求。求。解法一：如解法一：如图图822，由抛物，由抛物线线的的标标准方程可知，抛物准方程可知，抛物线线焦点的坐焦点的坐标为标为F（1，0），所以直），所以直线线AB的方程的方程为为y=x1.将方程将方程代入抛物线方程代入抛物

13、线方程y2=4x,得得（x1）2=4x 化化简简得得x26x1=0设设A(x1,y1),B(x2,y2)得：得：x1+x2=6,x1x2=1 .将将x1+x2,x1x2的的值值分分别别代入代入弦长公式弦长公式 分析分析2：直线恰好过焦点，可与抛物线定义发生：直线恰好过焦点，可与抛物线定义发生联系，利用抛物线定义将联系，利用抛物线定义将AB转化成转化成A、B间的间的焦点弦焦点弦（两个焦半径的和），从而达到求解目的（两个焦半径的和），从而达到求解目的.同理同理于是得于是得|AB|=|AF|+|BF|=x1+x22.于是于是|AB|=6+2=8解法二：在解法二：在图图822中，由抛物中，由抛物线线的

14、定的定义义可知，可知，|AF|=说明：解法二由于灵活运用了抛物线的定义，所以减说明：解法二由于灵活运用了抛物线的定义，所以减少了运算量，提高了解题效率少了运算量，提高了解题效率.由方程由方程x26x1=0，根据根与，根据根与系数关系可以得系数关系可以得 x1+x2=6例例5.求证求证:以抛物线的焦点弦为直径的圆以抛物线的焦点弦为直径的圆 与与 抛抛物线的准线相切物线的准线相切.A1M1B1AXyOFBl lM例题讲解例题讲解 F例例6.在抛物线在抛物线y2=2x上求一点上求一点P,使使P到焦点到焦点F与与到点到点A(3,2)的距离之和最小的距离之和最小.PQl lAXyOF例题讲解例题讲解 1

15、.直线与抛物线只有一个公共点是它们相切的（直线与抛物线只有一个公共点是它们相切的（）A.充分但不必要条件充分但不必要条件 B.必要但不充分条件必要但不充分条件 C.充要条件充要条件 D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件2过过原点的直原点的直线线l与双曲与双曲线线交于两点，交于两点，则则l的斜率的取的斜率的取值值范范围围是是_.3过抛物线过抛物线y2=2px的焦点的焦点F的诸弦中，最短的的诸弦中，最短的弦长是弦长是 。课堂练习课堂练习4B2p4.4.过过点点(0,2)(0,2)与抛物与抛物线线A.1条条 B.2条条 C.3条条 D.无数多条无数多条只有一个公共点的只有一个公共点的直线有直

16、线有()C小小 结结 ：1、抛物线的定义、抛物线的定义,标准方程类型与图象的标准方程类型与图象的 对应关系对应关系以及以及判断方法判断方法2、抛物线的、抛物线的定义、标准方程定义、标准方程和它的焦点、和它的焦点、准线方程准线方程3、求标准方程常用方法：求标准方程常用方法：（1 1）用定义）用定义 ；（2 2）用待定系数法。）用待定系数法。课堂新授课堂新授 本节主要学习内容本节主要学习内容4、直线与抛物线的位置关系，注意、直线与抛物线的位置关系，注意焦半径、焦焦半径、焦点弦点弦的应用，到的应用，到焦点焦点和到和到准线准线的线段的转化。的线段的转化。椭圆、双曲线的第二定义：椭圆、双曲线的第二定义：与一个与一个定点定点的距离和一条的距离和一条定直线定直线的距离的比的距离的比是常数是常数e的点的轨迹的点的轨迹.MFl0e 1lFMe1(2)当当e1时，是双曲线时，是双曲线;(1)当当0e1时时,是椭圆是椭圆;复复 习习 MlFNe=1问问 题题 当当e=1时，时，它的它的轨迹轨迹是什么？是什么？动画