某211高校研究生课程《矩阵论》第4章l矩阵的因子分解剖析.ppt

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1、第第4 4章章 矩阵的因子分解矩阵的因子分解4.1 4.1 初等矩阵初等矩阵4.2 4.2 满秩分解满秩分解4.3 4.3 三角分解三角分解4.4 4.4 QRQR分解分解4.5 4.5 SchurSchur定理与正规矩阵定理与正规矩阵4.6 4.6 奇异值分解奇异值分解4.1 4.1 初等矩阵初等矩阵4.1.1 4.1.1 初等矩阵初等矩阵4.1.2 4.1.2 初等下三角矩阵初等下三角矩阵4.1.3 4.1.3 HouseholderHouseholder矩阵矩阵4.1.1 初等矩阵初等矩阵定义定义4.1.1 设 ，为一复数，如下形式的 矩阵称为初等矩阵初等矩阵.定理定理4.1.1 初等矩

2、阵E(u,v,)具有如下性质：4.1.2 初等下三角矩阵初等下三角矩阵称为初等下三角矩阵初等下三角矩阵,即对初等下三角矩阵，当i 0,则存在 mr 矩阵B 和 rn 矩阵 C 使得并且rank(B)=rank(C)=r.什么是矩阵的满秩分解？矩阵的满秩分解是否存在？如果存在，满秩 分解是否唯一？如何计算矩阵的满秩分解？满秩分解有什么应用？满秩分解的应用：有关结论的证明。计算广义逆矩阵。4.3 4.3 三角分解三角分解 设A=(aij)是n 阶矩阵，如果 A 的对角线下(上)方的元素全为零，即对i j,aij=0（对i j,aij=0），则称矩阵 A 为上（下）三角矩阵上（下）三角矩阵。上三角矩

3、阵和下三角矩阵统称为三角矩阵三角矩阵。对角元全为1的上（下）三角矩阵称为单位上（下）三角矩阵单位上（下）三角矩阵。什么是矩阵的LU分解？矩阵的LU分解是否存在？如果存在，LU分解 是否唯一？如何计算矩阵的LU分解？LU分解有什么应用？上（下）三角矩阵的性质上（下）三角矩阵的性质 定理定理4.3.1（LU分解定理分解定理）设 A 是 n 阶非奇异矩阵，则 存在唯一的单位下三角矩阵L和上三角矩阵U使得的充分必要条件是A的所有顺序主子式均非零,即定理定理4.3.2（LDU分解定理分解定理）设A是n阶非奇异矩阵,则存在唯一的单位下三角矩阵L，对角矩阵D=diag(d1,d2,dn)和单位上三角矩阵U使

4、得的充分必要条件是A的所有顺序主子式均非零，即 ，并且分解式 称为矩阵A的LDU分解分解。一般说来，即使A是n阶非奇异矩阵，A未必能作LU分解和LDU分解。定义定义4.3.1 设ei是n 阶单位矩阵的第i列(i=1,2,n)，以 为列作成的矩阵 称为 n 阶排列矩阵排列矩阵，其中 是1,2,n的一个排列。定理定理4.3.3 设 A是 n 阶非奇异矩阵，则存在排列矩阵P 使得其中L是单位下三角矩阵,是上三角矩阵，U是单位上三角矩阵，D是对角矩阵。排列矩阵的性质。排列矩阵的作用。LU分解的应用：求解线性方程组。求解矩阵特征值问题。4.4 4.4 QR QR 分解分解定理定理4.4.1 设 A是 n

5、 阶非奇异实（复）矩阵，则存在正交（酉）矩阵 Q 和非奇异实（复）上三角矩阵 R使得且除去相差一个对角元绝对值(模)全等于1的对角矩阵因子外分解式（4.4.1）是唯一的。什么是矩阵的QR分解？矩阵的QR分解是否存在？如果存在，QR分解 是否唯一？如何计算矩阵的QR分解？QR分解有什么应用？定理定理4.4.3 设A 是 矩阵，且 ，则存在 m 阶正交（酉）矩阵 Q 和 行满秩矩阵 R使得或A有分解定理定理4.4.2 设 A 是 实（复）矩阵，且其n 个列向量线性无关，则存在m 阶正交（酉）矩阵Q 和 n阶非奇异实（复）上三角矩阵R使得QR分解的应用：求解线性方程组。求解矩阵特征值问题。求解线性最

6、小二乘问题。4.5 4.5 SchurSchur定理与正规矩阵定理与正规矩阵定义定义4.5.1则称A正交（酉）相似于正交（酉）相似于B。定理定理4.5.1(Schur定理定理)任何一个n 阶复矩阵A都酉相似于一个上三角矩阵，即存在一个n 阶酉矩阵U 和一个n阶上三角矩阵 R 使得其中R 的对角元是A 的特征值。定义定义4.5.2则称A为正规矩阵。定理定理4.5.2 n 阶矩阵 A 酉相似于一个对角矩阵的充分必要条件为 A 是正规矩阵。推论推论4.5.1 若 A是n 阶Hermite矩阵，则 A必酉相似于实对角矩阵，即存在n 阶酉矩阵U 使得(4.5.6)式称为Hermite矩阵矩阵A的谱分解式

7、的谱分解式。定理定理4.5.3 设A，B 均为n 阶正规矩阵，并且AB=BA，则存在n 阶酉矩阵U 使得 与 同时为对角矩阵。定理定理4.5.4 4 任何n 阶实矩阵A都正交相似于一个拟上三角矩阵，即存在一个n阶正交矩阵Q和一个n阶拟上三角矩阵R使得其中R是块上三角矩阵（或称拟上三角矩阵）,其对角块为1阶块或2阶块,每个1阶块是A的实特征值,而每个2阶块的两个特征值是A的一对共轭复特征值,且R的对角块可以按要求的次序排列。推论推论4.5.2 若 A是n 阶实对称矩阵，则 A正交相似于实对角矩阵，即存在n 阶正交矩阵 Q 使得4.6 4.6 奇异值分解奇异值分解定义定义4.6.1则称为A的奇异值奇异值，u 和v 分别称为A对应于奇异值的右奇异向量右奇异向量和左奇异向量左奇异向量。由(4.6.2)可得定理定理4.6.1 若A是正规矩阵，则 A的奇异值是A的特征值的模。定理定理4.6.2 设 A是 矩阵，且rank(A)=r，则存在m阶酉矩阵V 和 n 阶酉矩阵U使得(4.6.5)称为矩阵 A的奇异值分解.奇异值分解的计算 奇异值分解的应用