数学和中国文学的比较资料.ppt

《数学和中国文学的比较资料.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学和中国文学的比较资料.ppt（53页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、数学和中国文学的比较数学和中国文学的比较 很多人会觉得我今日的讲题有些奇怪，中很多人会觉得我今日的讲题有些奇怪，中国文学与数学好像是风马牛不相及，但我却讨国文学与数学好像是风马牛不相及，但我却讨论它。其实这关乎个人的感受和爱好，不见得论它。其实这关乎个人的感受和爱好，不见得其他数学家有同样的感觉，如人饮水，冷暖其他数学家有同样的感觉，如人饮水，冷暖自知。每个人的成长和风格跟他的文化背自知。每个人的成长和风格跟他的文化背景、家庭教育有莫大的关系。景、家庭教育有莫大的关系。我幼受庭训，影响我至深的是中国文学，我幼受庭训，影响我至深的是中国文学，而我最大的兴趣是数学，所以将他们做一个比而我最大的兴趣

2、是数学，所以将他们做一个比较，对我来说是相当有意义的事。较，对我来说是相当有意义的事。一、数学之基本意义一、数学之基本意义 数数学学之之为为学学，有有其其独独特特之之处处，它它本本身身是是寻寻求求自自然然界界真真相相的的一一门门科科学学，但但数数学学家家也也如如文文学学家家般般天天马马行行空空，凭凭爱爱好好而而创创作作，故故此此数数学学可可说说是是人人文文科科学学和和自自然然科科学学的的桥桥梁。梁。数数学学家家研研究究大大自自然然所所提提供供的的一一切切素素材材，寻寻找找它它们们共共同同的的规规律律，用用数数学学的的方方法法表表达达出出来来。这这里里所所说说的的大大自自然然比比一一般般人人所所

3、了了解解的的来来得得广广泛泛，我我们们认认为为数数字字、几几何何图图形形和和各各种种有有意意义义的的规规律律都都是是自自然然界界的的一一部部份份，我我们们希希望望用用简简洁洁的的数数学学语语言言将将这这些些自自然然现现象的本质表现出来。象的本质表现出来。大部份数学著作枯燥乏味，而有些却大部份数学著作枯燥乏味，而有些却令人叹为观止，其中的分别在那里？令人叹为观止，其中的分别在那里？大大略略言言之之，数数学学家家以以其其对对大大自自然然感感受受的的深深刻刻肤肤浅浅，来来决决定定研研究究的的方方向向，这这种种感感受受既既有有其其客客观观性性，也也有有其其主主观观性性，后后者者则则取取决决于于个个人人

4、的的气气质质，气气质质与与文文化化修修养养有有关关，无无论论是是选选择择悬悬而而未未决决的的难难题题，或或者者创创造造新新的的方方向向，文文化化修修养养皆皆起起着着关关键键性性的的作作用用。人人文文知知识识致致力力于于描描述述心心灵灵对对大大自自然然的的感感受受，所所以以司司马马迁迁写写史史记记除除了了通通古古今今之之变变外外，也要也要究天人之际究天人之际。刘勰在文心雕龙原道篇说文章之道在于：刘勰在文心雕龙原道篇说文章之道在于：写天地之辉光，晓生民之耳目。写天地之辉光，晓生民之耳目。刘勰以为文章之可贵，在尚自然，在贵文采。刘勰以为文章之可贵，在尚自然，在贵文采。历历代代的的大大数数学学家家如如

5、阿阿基基米米德德、如如牛牛顿顿莫莫不不以以自自然然为为宗宗，见见物物象象而而思思数数学学之之所所出出，即即有有微微积积分分的的创创作作。费费尔尔玛玛和和尤尤拉拉对对变变分分法法的的开开创创性性发发明明也也是是由由于于探探索索自自然然界界的的现现象象而而引引起的。起的。近近代代几几何何学学的的创创始始人人高高斯斯则则认认为为几何和物理不可分几何和物理不可分。费尔玛费尔玛(公元公元1601)高斯高斯(公元公元1777)1777)阿基米德阿基米德(公元前公元前287)二二十十世世纪纪几几何何学学的的发发展展，则则因因物物理理学学上上重重要要的的突突破破而而屡屡次次改改变变其其航航道道。当当狄狄拉拉克

6、克把把狭狭义义相相对对论论用用到到量量子子化化的的电电子子运运动动理理论论时时，发发现现了了狄狄拉拉克克方方程程，以以后后的的发发展展连连狄狄拉拉克克本本人人也也叹叹为为观观止止，认认为为他他的的方方程程比比他他的的想想象象来来得得美美妙妙，这这个个方方程程在在近近代代几几何何的的发发展展起起着着关关键键性性的的贡贡献献，我我们们对对旋旋子子的的描描述述缺缺乏乏直直观观的的几几何何感感觉觉，但但它它出出于于自自然然，自自然然界界赋赋予予几何的威力可说是无微不至。几何的威力可说是无微不至。狄拉克狄拉克（公元（公元1902）广广义义相相对对论论提提出出了了场场方方程程，它它的的几几何何结结构构成成

7、为为几几何何学学家家梦梦寐寐以以求求的的对对象象，因因为为它它能能赋赋予予空空间间一一个个调调和和而而完完美美的的结结构构。我我研研究究这这种种几几何何结结构构垂垂三三十十年年，时时而而迷迷惘惘，时时而而兴兴奋奋，自自觉觉同同诗诗经经、楚楚辞辞的的作作者者，或或晋晋朝朝的的陶陶渊渊明明一样，与大自然浑为一体，自得其趣。一样，与大自然浑为一体，自得其趣。捕捕捉捉大大自自然然的的真真和和美美，实实远远胜胜于于一一切切人人为为的的造造作作，正正如如文文心心雕雕龙龙说说的的：云云霞霞雕雕色色，有有踰踰画画工工之之妙妙。草草木木菁菁华华，无无待待锦锦匠匠之之奇奇，夫夫岂岂外外饰饰，盖盖自自然耳。然耳。陶

8、渊明陶渊明（公元（公元404）在空间上是否存在满足引力场方程的几何结在空间上是否存在满足引力场方程的几何结构是一个极为重要的物理问题，它也逐渐地变成构是一个极为重要的物理问题，它也逐渐地变成几何中伟大的问题。尽管其他几何学家都不相信几何中伟大的问题。尽管其他几何学家都不相信它存在，我却锲而不舍，不分昼夜地去研究它，它存在，我却锲而不舍，不分昼夜地去研究它，就如屈原所说：就如屈原所说：亦余心之所善兮，虽九死其犹未悔。亦余心之所善兮，虽九死其犹未悔。我花了五年工夫，终于找到了具有超对称的我花了五年工夫，终于找到了具有超对称的引力场结构，并将它创造成数学上的重要工具。引力场结构，并将它创造成数学上的

9、重要工具。当时的心境，可以用以下两句来描述：当时的心境，可以用以下两句来描述：落花人独立，微雨燕双飞。落花人独立，微雨燕双飞。以以后后大大批批的的弦弦理理论论学学家家参参与与研研究究这这个个结结构构，得得出出很很多多深深入入的的结结果果。刚刚开开始始时时，我我的的朋朋友友们们都都对对这这类类问问题题敬敬而而远远之之，不不愿愿意意与与物物理理学学家家打打交交道道。但但我我深深信信造造化化不不致致弄弄人人，回回顾顾十十多多年年来来在在这这方方面面的的研研究究尚尚算算满满意意，现现在在卡卡拉拉比比丘丘空空间间的的理理论论已已经经成成为数学的一支主流。为数学的一支主流。卡拉比卡拉比丘空间丘空间丘成桐教

10、授（右一）和丘成桐教授（右一）和卡拉比教授（右二）卡拉比教授（右二）二、数学的文采 数数学学的的文文采采，表表现现于于简简洁洁，寥寥寥寥数数语语，便便能能道道出出不不同同现现象象的的法法则则，甚甚至至在在自自然然界界中中发发挥挥作作用用，这这是是数数学学优优雅雅美美丽丽的的地地方方。我我的的老老师师陈陈省省身身先先生生创创作作的的陈陈氏氏类类，就就文文采采斐斐然然，令令人人赞赞叹叹。它它在在扭扭曲曲的的空空间间中中找找到到简简洁洁的的不不变变量量，在在现现象象界界中中成成为为物物理理学学界界求求量量子子化化的的主主要要工工具具，可可说说是是描描述述大大自自然然美美丽丽的的诗诗篇篇，直直如如陶陶

11、渊渊明明采采菊菊东东蓠蓠下，悠然望南山下，悠然望南山的意境。的意境。陈省身陈省身（公元（公元1911）从从欧欧氏氏几几何何的的公公理理化化、到到笛笛卡卡儿儿创创立立的的解解析析几几何何，到到牛牛顿顿、来来布布尼尼兹兹的的微微积积分分，到到高高斯斯、黎黎曼曼创创立立的的内内蕴蕴几几何何，一一直直到到与与物物理理学学水水乳乳相相融融的的近近代代几几何何，都都以以简简洁洁而而富富于于变变化化为为宗宗，其其文文采采绝绝不不逊逊色色与与任任何何一一件件文文学学创创作作，它它们们轫轫生生的的时时代代与与文文艺艺兴兴起起的的时时代代相相同同，绝绝对对不是巧合。不是巧合。欧拉欧拉欧拉欧拉（公元（公元（公元（公

12、元17071707）牛顿牛顿牛顿牛顿（公元（公元（公元（公元16421642）黎曼黎曼黎曼黎曼（公元（公元（公元（公元18261826）数数学学家家在在开开创创新新的的数数学学想想法法的的时时候候，可可以以看看到到高高雅雅的的文文采采和和崭崭新新的的风风格格，例例如如欧欧几几里里得得证证明明存存在在无无穷穷多多个个素素数数，开开创创反反证证法法的的先先河河。高高斯斯研研究究十十七七边边形形的的对对称称群群，使使伽伽罗罗华华群群成成为为数数论论的的骨骨干干。这这些些研研究究异异军军突突起起，论论断断华华茂茂，使使人人想想起起五五言言诗诗的的始始祖祖苏苏武武和和李李陵陵的的唱唱和和诗诗和和词词的的

13、始始祖祖李李太太白的忆秦娥。白的忆秦娥。欧几里得欧几里得（公元前（公元前330）伽罗华伽罗华（公元（公元1811）三、数学中的赋比兴三、数学中的赋比兴 中国诗词都讲究比兴，锺爃在诗品中说：中国诗词都讲究比兴，锺爃在诗品中说：文文已已尽尽而而意意有有余余，兴兴也也。因因物物喻喻志志，比比也也。白白居居易易批批评评谢谢朓朓诗诗余余霞霞散散成成绮绮，澄澄江江净净如如练练。丽丽则则丽丽矣矣，吾吾不不知知其其所所讽讽焉焉，故故仆仆所所谓谓嘲风雪，弄花草而已，文意尽去矣。嘲风雪，弄花草而已，文意尽去矣。有有深深度度的的文文学学作作品品必必需需要要有有义义、有有讽讽、有有比比兴兴。数数学学亦亦如如是是。我我

14、们们在在寻寻求求真真知知时时，往往往往只只能能凭凭已已有有的的经经验验，因因循循研研究究的的大大方方向向，凭凭我我们们对对大大自自然然的的感感觉觉而而向向前前迈迈进进，这这种种感感觉觉是是相当主观的，因个人的文化修养而定。相当主观的，因个人的文化修养而定。白居易白居易（公元（公元772）举举例例而而言言，三三十十年年前前我我提提出出一一个个猜猜测测，断断言言三三维维球球面面里里的的光光滑滑极极小小曲曲面面，其其第第一一特特征征值值等等于于二二。当当时时这这些些曲曲面面例例子子不不多多，只只是是凭凭直直觉觉，利利用用相相关关情情况况类类比比而而得得出出的的猜猜测测，最最近近有有数数学学家家写写了

15、了一一篇篇文文章章证证明明这这个个猜猜想想。其其实实我我的的看看法法与与文文学学上上的的比比兴兴很很相似。相似。我一方面想象三维球的极小子曲面应当我一方面想象三维球的极小子曲面应当是如何的匀称，一方面想象第一谱函数能够是如何的匀称，一方面想象第一谱函数能够同空间的线性函数比较该有多妙，通过原点同空间的线性函数比较该有多妙，通过原点的平面将曲面最多切成两块，于是猜想这两的平面将曲面最多切成两块，于是猜想这两个函数应当相等，同时第一特征值等于二。个函数应当相等，同时第一特征值等于二。当时我与卡拉比教授讨论这个问题，他当时我与卡拉比教授讨论这个问题，他也相信这个猜测是对的。旁边我的一位研究也相信这个

16、猜测是对的。旁边我的一位研究生问为甚么会做这样的猜测，不待我回答，生问为甚么会做这样的猜测，不待我回答，卡教授便微笑说这就是洞察力了。卡教授便微笑说这就是洞察力了。数数学学上上常常见见的的对对比比方方法法乃乃是是低低维维空空间间和和高高维维空空间间现现象象的的对对比比。我我们们虽虽然然看看不不到到高高维维空空间间的的事事物物，但但可可以以看看到到一一维维或或二二维维的的现现象象，并并由由此此来来推推测测高高维维的的变变化化。我我在在做做研研究究生生时时企企图图将将二二维维空空间间的的单单值值化化原原理理推推广广到到高高维维空空间间，得得到到一一些些漂漂亮亮的的猜猜测测，我我认认为为曲曲率率的的

17、正正或或负负可可以以作作为为复复结结构构的的指指向向，这这个个看看法法影影响响至至今今，可可以以溯溯源源到到十十九九世世纪纪和和二二十十世世纪纪初初期期曲率和保角映射关系的研究。曲率和保角映射关系的研究。事事实实上上，爱爱因因斯斯坦坦的的广广义义相相对对论论也也是是对对比比各各种种不不同同的的学学问问而而创创造造成成功功的的，它它是是科科学学史史上上最最伟伟大大的的构构思思，可可以以说说是是惊惊天天地地而而泣泣鬼鬼神神的的工工作作。它它统统一一了了古古典典的的引引力力理理论论和和狭狭义义相相对对论论。爱爱氏氏花花了了十十年年功功夫夫，基基于于等等价价原原理理，比比较较了了各各种种描描述述引引力

18、力场场的的方方法法，巧巧妙妙地地用用几几何何张张量量来来表表达达了了引引力力场场，将将时时空空观观念全盘翻新。念全盘翻新。爱因斯坦爱因斯坦（公元（公元1879）爱氏所用的工具是爱氏所用的工具是黎曼几何，乃是黎曼比黎曼几何，乃是黎曼比他早五十年前发展出来他早五十年前发展出来的，当时的几何学家唯的，当时的几何学家唯一的工具是对比，在古一的工具是对比，在古典微积分、双曲几何和典微积分、双曲几何和流形理论的类比后得出流形理论的类比后得出来的漂亮理论。反过来来的漂亮理论。反过来说，广义相对论给黎曼说，广义相对论给黎曼几何注入了新的生命。几何注入了新的生命。相对论相对论黎曼黎曼（公元（公元1826）二二十

19、十世世纪纪数数论论的的一一个个大大突突破破乃乃是是算算术术几几何何的的产产生生，利利用用群群表表示示理理论论为为桥桥梁梁，将将古古典典的的代代数数几几何何、拓拓朴朴学学和和代代数数数数论论比比较较，有有如如瑰瑰丽丽的的歌歌曲曲，它它的的发发展展，势势不不可可挡挡，气气势势如如虹，虹，天之所开，不可当也天之所开，不可当也。Weil研研究究代代数数曲曲线线在在有有限限域域上上解解的的问问题题后后，得得出出高高维维代代数数流流形形有有限限域域解解的的猜猜测测，推推广广了了代代数数流流形形的的基基本本意意义义，直直接接影影响响了了近近代代数数学学的的发发展展。筹筹学学所所问问，无无过过于此矣。于此矣。

20、Weil（公元（公元1906）西厢记和牡丹亭的每一段写作西厢记和牡丹亭的每一段写作和描述男女主角的手法都极为上乘，和描述男女主角的手法都极为上乘，但是全书的结构则是一般的佳人才但是全书的结构则是一般的佳人才子写法，由金瓶梅进步到红楼梦则子写法，由金瓶梅进步到红楼梦则小处和大局俱佳。小处和大局俱佳。这点与数学的发展极为相似，这点与数学的发展极为相似，从局部的结构发展到大范围的结构从局部的结构发展到大范围的结构是近代数学发展的一个过程。往往是近代数学发展的一个过程。往往通过比兴的手法来处理。几何学和通过比兴的手法来处理。几何学和数论都有这一段历史数论都有这一段历史。曹雪芹曹雪芹（公元（公元1724

21、）西厢记西厢记 好的作品需要赋比兴并用。好的作品需要赋比兴并用。锺爃诗品：锺爃诗品：直直书书其其事事，寓寓言言写写物物，赋赋也也。宏宏斯斯三三义义，酌酌而而用用之之，干干之之以以风风力力，润润之之以以丹丹采采，使使味味之之者者无无极极，闻闻之之者者动动心心，是是诗诗之之至至也也。若若专专用用比比兴兴，则则患患在在意意深深，意意深深则则词词踬踬。若若但但用用赋赋体体，则则患患在在意意浮浮，意意浮浮则则文文散散。椭椭圆圆曲曲线线Birch 有有些些数数学学工工作作包包含含赋赋比比兴兴三三种种不不同同的的精精义义。近近五五十十年年来来数数论论上上一一个个伟伟大大的的突突破破是是由由英英国国人人Bir

22、ch和和Swinnerton-Dyer提提出出的的一一个个猜猜测测，开开始始时时用用计计算算机机大大量量计计算算，找找出出L函函数数和和椭椭圆圆曲曲线线的的整整数数解解的的连连系系，与与数数论论上上各各个个不不同同的的分分枝枝比比较较接接合合，妙妙不不可可言言，这是赋比兴都有的传世之作。这是赋比兴都有的传世之作。Swinnerton-Dyer四、数学家对事物的看法的多面性四、数学家对事物的看法的多面性 由由于于文文学学家家对对事事物物有有不不同同的的感感受受，同同一一事事或或同同一一物物可可以以产产生生不不同同的的吟吟咏咏。对对事事物物有有不不同同的的感感受受后后，往往往往通通过过比比兴兴的的

23、方方法法另另有有所所指指，例例如如美美人人有有多多重重意意思思，除除了了指指美美丽丽的的女女子子外外，也也可可以以指指君君主主：屈屈原原九九章章结结微微情情以以陈陈词词兮兮，矫矫以以遗遗夫夫美美人人。也也可可以以指指品品德德美美好好的的人人：诗诗经经邶邶风风：云云谁谁之之思思，西西方方美美人人。苏苏轼轼赤赤壁壁赋赋望美人兮天一方。望美人兮天一方。苏轼苏轼（公元（公元1036）数数学学家家对对某某些些重重要要的的定定理理，也也会会提提出出很很多多不不同同的的证证明明。例例如如勾勾股股定定理理的的不不同同证证明明有有十十个个以以上上，等等周周不不等等式式亦亦有有五五、六六个个证证明明，高高斯斯则则

24、给给出出数数论论对对偶偶定定律律六六个个不不同同的的看看法法。不不同同的的证证明明让让我我们们以以不不同同的的角角度度去去理理解解同同一一个个事事实实，往往往往引引导导出数学上不同的发展。出数学上不同的发展。记得三十年前我利用分析的方法来记得三十年前我利用分析的方法来证明完备而非紧致的正曲率空间有无穷证明完备而非紧致的正曲率空间有无穷大体积后，几何学家大体积后，几何学家GromovGromov开始时不相开始时不相信这个证明，以后他找出我证明方法的信这个证明，以后他找出我证明方法的几何直观意义后，发展出他的几何理论，几何直观意义后，发展出他的几何理论，这两个不同观念都有它们的重要性。这两个不同观

25、念都有它们的重要性。对对空空间间中中的的曲曲面面，微微分分几几何何学学家家会会问问它它的的曲曲率率如如何何，有有些些分分析析学学家家希希望望沿沿着着曲曲率率方方向向来来推推动动它它一一下下看看看看有有甚甚么么变变化化，代代数数几几何何学学家家可可以以考考虑虑它它可可否否用用多多项项式式来来表表示示，数数论论学学家家会会问问上上面面有有没没有有整整数数格格点点。这种种主观的感受由我们的修养来主导。这种种主观的感受由我们的修养来主导。五、数学的意境五、数学的意境 王国维在人间词话说：王国维在人间词话说：词词以以境境界界为为最最上上。有有境境界界则则自自成成高高格格有有造造境境，有有写写境境，此此理

26、理想想与与写写实实二二派派之之所所由由分分。然然二二者者颇颇难难分分别别，因因大大诗诗人人所所造造之之境境必必合合乎乎自自然然，所所写写之之境境亦亦必必邻邻于于理理想想故故也也。有有我之境，有无我之境。有有我之境，有无我之境。王国维王国维王国维王国维（公元（公元（公元（公元18771877）数数学学研研究究当当然然也也有有境境界界的的概概念念，在在某某种种程程度度上上也也可可谈谈有有我我之之境境、无无我我之之境境，当当年年尤尤拉拉开开创创变变分分法法和和推推导导流流体体方方程程，由由自自然然现现象象引引导导，可可谓谓无无我我之之境境，他他又又凭凭自自己己的的想想象象力力研研究究发发散散级级数数

27、，而而得得到到Zeta函函数数的的种种种种重重要要结结果果，开开三三百百年年数数论论之之先先河河，可可谓谓有有我我之之境境矣矣。另另外外一一个个例例子子是是法法国国数数学学家家Grothendick，他他著著述述极极丰丰，以以个个人人的的哲哲学学观观点点和和美美感感出出发发，竟竟然然不不用用实实例例，建建立立了了近近代代代代数数几几何何的的基基础础，真真可可谓谓有有我我之之境境矣。矣。Grothendick（公元（公元1928）在在几几何何的的研研究究中中，我我们们发发现现狄狄拉拉克克在在物物理理上上发发现现的的旋旋子子在在几几何何结结构构中中有有魔魔术术性性的的能能力力，我我们们不不知知道道

28、它它的的内内在在的的几几何何意意义义，它它却却替替我我们们找找到到几几何何结结构构中中的的精精髓髓，在在应应用用旋旋子子理理论论时时，我我们们常常用用的的手手段段是是通通过过所所谓谓消消灭灭定定理理而而完完成成的的，这这是是一一个个很很微微妙妙的的事事情情，我我们们制制造造了了曲曲率率而而让让曲曲率率自自动动发发酵酵去去证证明明一一些些几几何何量量的的不不存存在在，可可谓谓无无我我之之境境矣矣。以以前前我我提提出出用用Einstein结结构构来来证证明明代代数数几几何何的的问问题题和和用用调调和和映映射射来来看看研研究究几几何何结结构构的的刚刚性性问题也可作如是观。问题也可作如是观。卡拉比卡拉

29、比-丘成桐丘成桐空间空间六、数学的品评六、数学的品评 好的工作应当是文已尽而意有余，大部份好的工作应当是文已尽而意有余，大部份数学文章质木无文，流俗所好，不过两三年耳。数学文章质木无文，流俗所好，不过两三年耳。但是有创意的文章，未必为时所好，往往十数年但是有创意的文章，未必为时所好，往往十数年后始见其功。后始见其功。我曾经用一个崭新的方法去研究调和函数，我曾经用一个崭新的方法去研究调和函数，以后和几个朋友一同改进了这个方法，成为热方以后和几个朋友一同改进了这个方法，成为热方程的一个重要工具。开始时没有得到别人的赞赏，程的一个重要工具。开始时没有得到别人的赞赏，直到最近五年大家才领会到它的潜力。

30、然而我们直到最近五年大家才领会到它的潜力。然而我们还是锲而不舍地去研究，觉得意犹未尽。还是锲而不舍地去研究，觉得意犹未尽。白白居居易易说说谢谢朓朓的的诗诗丽丽而而无无讽讽。其其实实建建安安以以后后，绮绮丽丽为为文文的的作作者者甚甚众众。亦亦自自有有其其佳佳处处，毕毕竟竟锺锺爃爃评评谢谢朓朓诗诗为为中中品品，以以后后六六朝朝骈骈文文、五五代代花花间间集集以以至至近近代代的的鸳鸳鸯鸯蝴蝴蝶蝶派派都都是是绮绮丽丽为为文文。虽虽未未殝殝上上乘，却有赏心悦目之句。乘，却有赏心悦目之句。白居易白居易（公元（公元772）数数学学华华丽丽的的作作品品可可从从泛泛函函分分析析这这种种比比较较广广泛泛的的学学问问

31、中中找找到到，虽虽然然有有其其美美丽丽和和重重要要性性，但但与与自自然然之之道道总总是是隔隔了了一一层层。举举例例来来说说，从从函函数数空空间间抽抽象象出出来来的的一一个个重重要要概概念念叫叫做做巴巴拿拿赫赫空空间间，在在微微分分方方程程学学有有很很重重要要的的功功用用，但但是是以以后后很很多多数数学学家家为为了了研研究究这这种种空空间间而而不不断断的的推推广广，例例如如有有界界算算子子是是否否存存在在不不变变空空间间的的问问题题，确确是是漂漂亮亮，但但在在数数学学大大流流上上却却未有激起任何波澜。未有激起任何波澜。巴拿赫巴拿赫（公元（公元1892）在在七七十十年年代代，高高维维拓拓朴朴的的研

32、研究究已已成成强强弩弩之之末末，作作品品虽虽然然不不少少，但但真真正正有有价价值值的的不不多多，有有如如野野云云孤孤飞飞，去去留留无无迹迹。文文气气已已尽尽，再再无无新新的的比比兴兴了了。当当时时有有拓拓朴朴学学者者做做群群作作用用于于流流形形的的研研究究，确确也也得得到到某某些些人人的的重重视视。但但是是到到了了八八零零年年代代，值值得得怀怀念念的的工工作作只只有有Bott的的局局部部化定理。化定理。Bott（公元（公元1923）能经得起时间考验的工作寥寥无能经得起时间考验的工作寥寥无几，政府评审人材应当以此为首选。几，政府评审人材应当以此为首选。历年来以文章篇数和被引用多寡来做历年来以文章

33、篇数和被引用多寡来做指针，使得国内的数学工作者水平大指针，使得国内的数学工作者水平大不如人，不单与自然隔绝，连华丽的不如人，不单与自然隔绝，连华丽的文章都难以看到。文章都难以看到。七、数学的演化七、数学的演化 王国维说：王国维说：四四言言敝敝而而有有楚楚辞辞，楚楚辞辞敝敝而而有有五五言言，五五言言敝敝而而有有七七言言，古古诗诗敝敝而而有有律律绝绝，律律绝绝敝敝而而有有词词。盖盖文文体体通通行行既既久久，染染指指遂遂多多，自自成成习习套套。豪豪杰杰之之士士亦亦难难于于其其中中自自出出新新意意，故故遁遁而而作作他他体体以以自自解解脱脱。一一切切文文体体所所以以始始盛盛中中衰衰者者，皆皆由由于于此此

34、，故故谓谓文文体体后后不不如如前前，余余未未敢敢言。但就一体论，则此说固无以易也。言。但就一体论，则此说固无以易也。数数学学的的演演化化和和文文学学有有极极为为类类似似的的变变迁迁。从从平平面面几几何何至至立立体体几几何何，至至微微分分几几何何等等等等，一一方方面面是是工工具具得得到到改改进进，另另一一方方面面是是对对自自然然界界有有进进一一步步的的了了解解，将将原原来来所所认认识识的的数数学学结结构构的的美美发发挥挥尽尽至至后后，需需要要进进入入新新的的境境界界。江江山山代代有有人人才才，能能够够带带领领我我们们进进入入新新的的境境界界的的都都是是好好的的数数学学。上上面面谈谈到到的的高高维

35、维拓拓朴朴文文气气已已尽尽，假假使使它它能能与与微微分分几几何何、数数学学物物理理和和算算术术几几何何组组合合变变化化，亦亦可可振振翼翼高高翔。翔。我我为了深入了解流形的几何性质，为了深入了解流形的几何性质，考虑考虑由几何引出的微分方程。可是一由几何引出的微分方程。可是一般几何学家厌恶微分方程，我对它却般几何学家厌恶微分方程，我对它却情有独钟，与几个朋友合作将非线性情有独钟，与几个朋友合作将非线性方程带入几何学，开创了几何分析这方程带入几何学，开创了几何分析这门学问，解决了拓朴学和广义相对论门学问，解决了拓朴学和广义相对论一些重要问题。一些重要问题。在在一一九九八八一一年年时时我我建建议议我我

36、的的朋朋友友Hamilton用用他他创创造造的的方方程程去去解解决决三三维维拓拓朴朴的的基基本本结结构构问问题题，二二十十多多年年来来他他引引进进了了不不少少重重要要的的工工具具，运运用用上上述述我我和和李李伟伟光光在在热热方方程程的的工工作作，深深入入地地了了解解奇奇异异点点的的 产产 生生。两两 年年 前前 俄俄 国国 数数 学学 家家Perelman更更进进一一步步地地推推广广了了这这个个理理论论，很很可可能能完完成成了了我我的的愿愿望望，将几何和三维拓朴带进了新纪元。将几何和三维拓朴带进了新纪元。Hamilton 八年前我访问北京，提出全国向八年前我访问北京，提出全国向Hamilton

37、先生学习的口号，本来讨论班先生学习的口号，本来讨论班已经进行，却给一些急功近利的北京学已经进行，却给一些急功近利的北京学者阻止，在国外也遇到同样的阻力，中者阻止，在国外也遇到同样的阻力，中国几何分析不能进步都是由于年青学者国几何分析不能进步都是由于年青学者不能够自由发展思想的缘故。广州的朱不能够自由发展思想的缘故。广州的朱熹平却锲而不舍，他的工作已经远超国熹平却锲而不舍，他的工作已经远超国内外成名的中国学者。内外成名的中国学者。科科学学家家对对自自然然界界的的了了解解，都都是是循循序序渐渐进进，在在不不同同的的时时空空自自然然会会有有不不同同的的感感受受。有有学学生生略略识识之之无无后后，不不

38、知知创创作作之之难难，就就连连陈陈省省身身先先生生的的大大作作都都看看不不上上眼眼，自自以以为为见见识识更更为为丰丰富富，不不自自见见之之患患也也。人人贵贵自自知知，始能进步。始能进步。庄庄子子：今今尔尔出出于于崖崖涘涘，观观于于大大海海，乃乃知知尔尔丑丑，尔尔将将可可与与语语大大理理矣。矣。庄子庄子（公元前（公元前369）八、数学的感情八、数学的感情 为了达到深远的效果，数学家需要为了达到深远的效果，数学家需要找寻问题的精华所在，需要不断的培养找寻问题的精华所在，需要不断的培养我们对问题的感情和技巧，这一点与孟我们对问题的感情和技巧，这一点与孟子所说的养气相似。气有清浊，如何寻子所说的养气相

39、似。气有清浊，如何寻找数学的魂魄，视乎我们的文化修养。找数学的魂魄，视乎我们的文化修养。白居易说：白居易说：圣人感人心而天下和平，感人圣人感人心而天下和平，感人心者，莫先乎情，莫始乎言，莫切乎声，心者，莫先乎情，莫始乎言，莫切乎声，莫深乎义莫深乎义未有声入而不应，情交而未有声入而不应，情交而不感者。不感者。孟子孟子（公元前（公元前380）我的朋我的朋友友Hamilton先生，他一见到问题可以先生，他一见到问题可以用曲率来推动，他就眉飞色舞。另外一个澳洲来用曲率来推动，他就眉飞色舞。另外一个澳洲来的学生，见到与爱因斯坦方程有关的几何现象就的学生，见到与爱因斯坦方程有关的几何现象就赶快找寻它的物理

40、意义，兴奋异常，因此他们的赶快找寻它的物理意义，兴奋异常，因此他们的文章都是清纯可喜。反过来说，有些成名的学者，文章都是清纯可喜。反过来说，有些成名的学者，文章甚多，但陈陈相因，了无新意。这是对自然文章甚多，但陈陈相因，了无新意。这是对自然界、对数学问题没有感情的现象，反而对名位权界、对数学问题没有感情的现象，反而对名位权利特别重视。爲了院士或政协委员的名衔而甘愿利特别重视。爲了院士或政协委员的名衔而甘愿千里仆仆风尘地奔波，在这种情形下，难以想象千里仆仆风尘地奔波，在这种情形下，难以想象他们对数学、对自然界有深厚的感情。他们对数学、对自然界有深厚的感情。数数学学的的感感情情是是需需要要培培养养

41、的的，慎慎于于交交友友才才能能够够培培养养气气质质。博博学学多多闻闻，感慨始深，堂庑始大。感慨始深，堂庑始大。欧阳永叔：欧阳永叔：人人间间自自是是有有情情痴痴，此此恨恨不不关关风风与月。与月。直直须须看看尽尽洛洛城城花花，始始与与东东风风容容易别。易别。能能够够有有这这样样的的感感情情，才才能能够够逹逹到晏殊所说：到晏殊所说：昨昨夜夜西西风风凋凋碧碧树树，独独上上高高楼楼，望尽天涯路。望尽天涯路。欧阳永叔欧阳永叔（公元（公元1007）浓浓厚厚的的感感情情使使我我们们对对研研究究的的对对象象产产生生直直觉觉，这这种种直直觉觉看看对对象象而而定定，例例如如在在几几何何上上叫叫做做几几何何直直觉觉。

42、好好的的数数学学家家会会将将这这种种直直觉觉写写出出来来，有有时时可可以以用用来来证证明明定定理理，有有时时可可以以用用来来猜猜测测新新的的命命题或提出新的学说。题或提出新的学说。但但数数学学毕毕竟竟是是说说理理的的学学问问，不不可可能能极极度度主主观观。诗诗经经蓼蓼莪莪、黍黍离离，屈屈原原离离骚骚、九九江江。汉汉都都尉尉(李李陵陵)河河梁梁送送别别，陈陈思思王王(曹曹植植)归归藩藩伤伤逝逝。李李后后主主(李李煜煜)忆忆江江南南，宋宋徽徽宗宗念念故故宫宫，俱俱是是以以血书成、直抒胸臆，非论证之学所能及也。血书成、直抒胸臆，非论证之学所能及也。九、数学的应用九、数学的应用 数数学学除除与与自自然

43、然相相交交外外，也也与与人人为为的的事事物物相相接接触触，很很多多数数学学问问题题都都是是纯纯工工程程上上的的问问题题。有有些些数数学学家家毕毕生生接接触触的的都都是是现现象象界界的的问问题题，可可谓谓入入乎乎其其内内。大大数数学学家家如如尤尤拉拉、如如富富里里哀哀、如如高高斯斯、如如维维纳纳、如如冯冯纽纽曼曼等等都都能能入入乎乎其其内内，出出乎乎其其外外，既既能能将将抽抽象象的的数数学学在在工工程程学学上上应应用用，又又能能在在实实用用的的科科学学中中找找出出共共同同的的理理念念而而发发展展出出有有意意义义的的数数学学。反反过过来来说说，有有些些应应用用数数学学家家只只用用计计算算机机作作出

44、出一一些些计计算算，不不求甚解，可谓二者皆未见矣。求甚解，可谓二者皆未见矣。维纳维纳（公元（公元1894）冯纽曼冯纽曼（公元（公元1903）十、数学的训练十、数学的训练 好好的的数数学学家家需需要要领领会会自自然然界界所所赋赋予予的的情情趣趣，因因此此也也须须向向同同道道学学习习他他们们的的经经验验。然而学习太过，则有依傍之病。然而学习太过，则有依傍之病。顾亭林云：顾亭林云：君君诗诗之之病病在在于于有有杜杜，君君文文之之病病在在于于有有韩韩，欧欧。有有此此蹊蹊径径于于胸胸中中，便便终终身身不不脱脱依依傍二字，断不能登峰造极。傍二字，断不能登峰造极。今今人人习习数数学学，往往往往依依傍傍名名士士

45、，凡凡海海外外毕毕业业的的留留学学生生，都都为为佳佳士士，孰孰不不知知这这些些名名士士泰泰半半文文章章与与自自然然相相隔隔千千万万里里，画画虎虎不不成成反反类类犬犬矣。李义山：矣。李义山：刘郎已恨蓬山远，更隔蓬山一万重。刘郎已恨蓬山远，更隔蓬山一万重。很很多多研研究究生生在在跟跟随随名名师师时时，做做出出第第一一流流的的工工作作，毕毕业业后后却却每每况况愈愈下下，就就是是依依傍傍之之过过。更更有有甚甚者者，依依傍傍而而不不自自知知，由由导导师师提提携携指指导导，竟竟自自炫炫无无心心插插柳柳柳柳成成荫荫，难难有有创创意意之之作作矣。矣。有些学者则倚洋自重，国外大师的工作已有些学者则倚洋自重，国外

46、大师的工作已经完成，除非另有新意，不大可能再进一步经完成，除非另有新意，不大可能再进一步发展。国内学者继之，不假思索，顶多能够发展。国内学者继之，不假思索，顶多能够发表一些二三流的文章。极值理论就是很好发表一些二三流的文章。极值理论就是很好的例子。的例子。由由Birkhoff、Morse到到Nirerberg发展发展出来的过山理论，文意已尽，不宜再继续了出来的过山理论，文意已尽，不宜再继续了。推其下流，则莫如抄袭，有成名学者爲推其下流，则莫如抄袭，有成名学者爲了速成，带领国内学者抄袭名作，竟然得到了速成，带领国内学者抄袭名作，竟然得到重视，居庙堂之上，腰缠万贯而沾沾自喜，重视，居庙堂之上，腰缠

47、万贯而沾沾自喜，良可叹也。良可叹也。数数学学家家如如何何不不依依傍傍才才能能做做出出有有创创意的文章？意的文章？屈屈原原说说：纷纷吾吾既既有有此此内内美美兮兮，又重之以修能。又重之以修能。如如何何能能够够解解除除名名利利的的束束缚缚，俾俾欣欣赏赏大大自自然然的的直直觉觉毫毫无无拘拘束束地地表表露露出出来来，乃是数学家养气最重要的一步。乃是数学家养气最重要的一步。贾贾谊谊：独独不不见见夫夫鸾鸾凤凤之之高高翔翔兮兮，乃乃集集大大皇皇之之野野。循循四四极极而而回回周周兮兮，见见盛盛德德而而后后下下。彼彼圣圣人人之之神神德德兮兮，远远浊浊世世而而自自藏藏。使使麒麒麟麟可可得得羁羁而而系系兮兮，又又何何

48、以以异异乎乎犬犬羊羊。媒媒体体或或一一般般传传记记作作者者喜喜欢欢说说某某人人是是天天才才，下下笔笔成成章章，彷彷彿彿做做学学问问可可以以一一蹴蹴而而就就。其其实实无无论论文文学学和和数数学学，都都需需要要经经过过深深入入的的思思考考才才能能产产生生传传世世的的作作品。品。柳永：柳永：衣带渐寛终不悔，为伊消得人憔衣带渐寛终不悔，为伊消得人憔悴。悴。贾谊贾谊（公元前（公元前200）柳永柳永（公元（公元984）一一般般来来说说，作作者者经经过过长长期期浸浸淫淫，才才能能够够出出口口成成章章，经经过过不不断断推推敲敲，才才有有深深入入可可喜喜的的文文采采。王王勃勃腾腾王王阁阁序序，丽丽则则丽丽矣矣，

49、终终不不如如陶陶渊渊明明归归去去来来辞辞、庾庾信信哀哀江江南南赋赋、曹曹植植洛洛神神赋赋诸诸作作来来得得结结实实。文文学学家家的的推推敲敲在在于于用用字字和和遣遣辞辞。张张衡衡两两京京、左左思思三三都都，构构思思十十年年，始始成成巨巨构构，声声闻闻后后世世，良良有有以以也也。数数学学家家的的推推敲敲极极为为类类似似，由由工工具具和和作作风风可可以以看看出出他他们们特特有有的的风风格格。传传世世的的数数学学创创作作更更需需要要有有宏宏观观的的看看法，也由锻鍊和推敲才能成功。法，也由锻鍊和推敲才能成功。曹丕：曹丕：古古人人贱贱尺尺璧璧而而重重寸寸阴阴，惧惧乎乎时时之之过过已已，而而人人多多不不强强力力；贫贫贱贱则则慑慑于于飢飢寒寒，富富贵贵则则流流于于逸逸乐乐，遂遂营营目目前前之之务务，而而遗遗千千载载之之功功。日日月月逝逝于于上上体体貌貌衰衰于于下下。忽忽然然与与万万物物迁化，斯志士之大痛也。迁化，斯志士之大痛也。曹丕曹丕（公元（公元187）三三十十年年来来我我研研究究几几何何空空间间上上的的微微分分方方程程，找找寻寻空空间间的的性性质质，究究天天地地之之所所生生，参参万万物物之之行行止止。乐乐也也融融融融，怡怡然然自自得得，溯溯源源所所自自，先先父父之之教乎。教乎。丘成桐丘成桐二零零五年六月二十四日二零零五年六月二十四日