新湘教版八年级数学上册2.4线段的垂直平分线.ppt

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1、新湘教版八年级数学上册2.4线段的垂直平分线学习目标学习目标1.1.掌握线段垂直平分线的性质定理与判定定理；掌握线段垂直平分线的性质定理与判定定理；3.3.运用尺规作图作出一条线段的垂直平分线；运用尺规作图作出一条线段的垂直平分线；2.2.理解线段垂直平分线的性质定理与判定定理的理解线段垂直平分线的性质定理与判定定理的 联系与区别；联系与区别；观察观察 如图如图，人字形屋顶的框架中，点人字形屋顶的框架中，点A与点与点A关于线段关于线段CD所在的直线所在的直线l 对称对称，问，问线段线段CD所在的直线所在的直线l 与线段与线段AA有什么关系有什么关系？我发现我发现我们可以把人字形屋顶框架图进行简

2、化得到下图我们可以把人字形屋顶框架图进行简化得到下图.已知点已知点A与点与点A关于直线关于直线l 对称，如果沿直线对称，如果沿直线l折叠，折叠，则点则点A与点与点A重合，重合，AD=AD，1=2=90，即直线，即直线l 既平既平分线段分线段AA，又垂直线段，又垂直线段AA.lAAD21(A)我们把我们把垂直垂直且且平分平分一条一条线段线段的的直线直线叫作这条叫作这条线段线段的的垂垂直平分线直平分线.由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴它的对称轴.如图，在线段如图，在线段AB的垂直平分线的垂直平分线l 上任取上任取一点一点P，连接

3、，连接PA，PB，线段，线段PA，PB之间有什之间有什么关系么关系？探究探究 作关于直线作关于直线l 的轴反射的轴反射（即沿直线即沿直线l 对折对折），由于，由于l 是线段是线段AB的垂直平分线，因此点的垂直平分线，因此点A与点与点B重合重合.从而线段从而线段PA与线与线段段PB重合，于是重合，于是PA=PB.(A)(B)BAPl结论结论由此得出由此得出线段垂直平分线线段垂直平分线的的性质性质定理：定理：线段垂直平分线上的点线段垂直平分线上的点到线段两端的到线段两端的距离相等距离相等几何语言表示：几何语言表示：如图：己知直线如图：己知直线l垂直平分线段垂直平分线段AB，垂足为，垂足为O,点点P

4、为直线为直线l上任意一点。上任意一点。ABOlP l垂直平分线段垂直平分线段AB，垂足为点，垂足为点O，点点P为为l上一点；上一点；PA=PB(1)当点当点P在线段在线段AB上时，如右图所示：上时，如右图所示：因为因为PA=PB，所以点所以点P为线段为线段AB的中点，的中点，显然此时点显然此时点P在线段在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上.动脑筋动脑筋 我们知道线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反我们知道线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反过来，如果已知一点过来，如果已知一点P到线段到线段AB两端的距离两端的距离PA与与PB相等，那么相等，那么点点P在线段在线段AB的垂直平分

5、线上吗的垂直平分线上吗？分析：分析：ABPl(2)当点当点P在线段在线段AB外时，如右图所示外时，如右图所示.因为因为PA=PB，所以所以PAB是等腰三角形是等腰三角形.过顶点过顶点P作作PCAB，垂足为点，垂足为点C，从而底边从而底边AB上的高上的高PC也是底边也是底边AB上的中线上的中线.即即 PCAB，且，且AC=BC.因此直线因此直线PC是线段是线段AB的垂直平分线，的垂直平分线，此时点此时点P也在线段也在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上.结论结论由此得到线段垂直平分线的由此得到线段垂直平分线的性质定理的逆定理性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的到线段两端距离相等的点点在线段的在

6、线段的垂直平分线上垂直平分线上.几何语言表示：几何语言表示：如图：己知直线如图：己知直线l交线段交线段AB于点于点O,点点P为直线为直线l上任意一点，且上任意一点，且PA=PB.ABOlP判 定 点点P为为l上一点上一点,PA=PB;点点P在线段在线段AB的垂直平分线上。的垂直平分线上。例例 已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，AB，BC的垂直平的垂直平 分线相交于点分线相交于点O，连接，连接OA，OB，OC.求证：点求证：点O在在AC的垂直平分线上的垂直平分线上.举举例例证明证明 点点O在线段在线段AB的垂直平分线上，的垂直平分线上，OA=OB.同理同理OB=OC.OA=OC.点点O在

7、在AC的垂直平分线上的垂直平分线上.练习练习1.如图，在如图，在ABC中，中，AB的垂直平分线分别交的垂直平分线分别交 AB，BC于点于点D，E，B=30，BAC=80，求求CAE的度数的度数.答：答：CAE=50.2.已知：如图，点已知：如图，点C，D是线段是线段AB外的两点，且外的两点，且 AC=BC，AD=BD，AB与与CD相交于点相交于点O.求证：求证：AO=BO.证明：证明：AC=BC，AD=BD，点点C和点和点D在线段在线段AB的垂直平分线上，的垂直平分线上，CD为线段为线段AB的垂直平分线的垂直平分线.又又 AB与与CD相交于点相交于点OAO=BO.做一做做一做如图，已知线段如图

8、，已知线段AB，作线段，作线段AB的垂直平分线的垂直平分线.根据根据“到线段两端距离相等到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上的点在线段的垂直平分线上”，要作线段要作线段AB的垂直平分线，关键的垂直平分线，关键是找出到线段是找出到线段AB两端距离相等的两端距离相等的两点两点.因为线段因为线段AB的垂直平分线的垂直平分线CD与线段与线段AB的的交点就是线段交点就是线段AB的中点，所以可以用这种方法的中点，所以可以用这种方法作出线段的中点作出线段的中点.动脑筋动脑筋如何过一点如何过一点P作已知直线作已知直线l的垂线呢的垂线呢？由于两点确定一条直线，由于两点确定一条直线，因此我们可以通过在已知直

9、线因此我们可以通过在已知直线上作线段的垂直平分线来找出上作线段的垂直平分线来找出垂线上的另一点，从而确定已垂线上的另一点，从而确定已知直线的垂线知直线的垂线.点点P与已知直线与已知直线l的位置关系有两种：的位置关系有两种：点点P在直线上或点在直线上或点P在直线外在直线外.用尺规完成下列作图用尺规完成下列作图（只保留作图痕迹，不要只保留作图痕迹，不要求写出作法求写出作法）.1.如图，在直线如图，在直线l上求作一点上求作一点P，使，使PA=PB.练习练习2.如图，作出如图，作出ABC的的BC边上的高边上的高.如图，在如图，在ABC中，中，BC=8cm，AB的垂直平分线交的垂直平分线交AB于于点点D，交边，交边AC于点于点E，BCE的周长等于的周长等于18cm，则，则AC的长等的长等于（于（）.A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm中考中考 试题试题解析解析DE是是AB的垂直平分线，的垂直平分线，AE=BE(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等).).又又在在BCE中，中，BE+CE+BC=18cm，BC=8cm，BE+CE=10cm.AC=AE+CE=BE+CE=10cm.故应选择故应选择C.C汇报结束谢谢大家!请各位批评指正