碰撞与冲击动力学-3-2.ppt

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1、3-3 3-3 弹性杆的共轴碰撞弹性杆的共轴碰撞弹性杆的共轴碰撞弹性杆的共轴碰撞 两两两两杆杆杆杆的的的的共共共共轴轴轴轴碰碰碰碰撞撞撞撞是是是是应应应应力力力力波波波波产产产产生生生生并并并并发发发发生生生生相相相相互互互互作作作作用用用用的的的的典典典典型型型型问问问问题题题题，本本本本节节节节先先先先对对对对半半半半无无无无限限限限长长长长杆杆杆杆之之之之间间间间的的的的碰碰碰碰撞撞撞撞问问问问题题题题进进进进行行行行求求求求解解解解，包包包包括括括括横横横横截面相等和不等两种情况，再针对有限长杆的问题进行求解。截面相等和不等两种情况，再针对有限长杆的问题进行求解。截面相等和不等两种情况

2、，再针对有限长杆的问题进行求解。截面相等和不等两种情况，再针对有限长杆的问题进行求解。3-3-1 3-3-1 两半无限长杆的共轴碰撞两半无限长杆的共轴碰撞两半无限长杆的共轴碰撞两半无限长杆的共轴碰撞 例例例例3-3-13-3-1如如图图，两两截截面面完完全全相相同同的的半半无无限限长长杆杆，其其声声阻阻抗抗分分如如图图，两两截截面面完完全全相相同同的的半半无无限限长长杆杆，其其声声阻阻抗抗分分别别为为别别为为 和和和和 ，撞撞击击前前杆杆中中应应力力均均为为零零且且无无初初始始应应，撞撞击击前前杆杆中中应应力力均均为为零零且且无无初初始始应应变变，两两杆杆分分别别以以速速度度变变，两两杆杆分分

3、别别以以速速度度v v1 1、v v2 2（v v1 1）发发生生碰碰撞撞（如如图图所所示示），发发生生碰碰撞撞（如如图图所所示示），画画出出波波系系图图、画画出出波波系系图图、图图，求求解解两两杆杆碰碰撞撞后后杆杆中中的的质质点点速速度度和和应应图图，求求解解两两杆杆碰碰撞撞后后杆杆中中的的质质点点速速度度和和应应力力解解值值表表达达式式，画画出出某某一一时时刻刻的的力力解解值值表表达达式式，画画出出某某一一时时刻刻的的 图图和和某某质质点点位位置置的的图图和和某某质质点点位位置置的的 图。图。图。图。解解解解 两两两两杆杆杆杆初初初初始始始始应应应应力力力力和和和和应应应应变变变变为为为为

4、零零零零，但但但但初初初初始始始始质质质质点点点点速速速速度度度度不不不不为为为为零零零零，分分分分别别别别为为为为v v1 1和和和和v v2 2，撞撞撞撞击击击击后后后后，在在在在两两两两杆杆杆杆中中中中分分分分别别别别形形形形成成成成了了了了方方方方向向向向相相相相反反反反的的的的强强强强间间间间断断断断弹弹弹弹性性性性波波波波，根根根根据据据据碰碰碰碰撞撞撞撞界界界界面面面面上上上上压压压压力力力力相相相相等等等等（等等等等截截截截面面面面时时时时应应应应力力力力也也也也相相相相等等等等）、质质质质点点点点速速速速度度度度相相相相等等等等条条条条件件件件，两两两两杆杆杆杆从从从从碰碰碰

5、碰撞撞撞撞面面面面开开开开始始始始应应应应力力力力和和和和质质质质点点点点速速速速度度度度逐逐逐逐渐渐渐渐分别由分别由分别由分别由 和和和和 变为变为变为变为 。根根根根据据据据波波波波的的的的传传传传播播播播情情情情况况况况可可可可直直直直接接接接画画画画出出出出波波波波系系系系图图图图和和和和 图图图图，波波波波系系系系图中设坐标原点在两杆碰撞面处。图中设坐标原点在两杆碰撞面处。图中设坐标原点在两杆碰撞面处。图中设坐标原点在两杆碰撞面处。图图图图 3-3-1 3-3-1 图图图图3-3-23-3-2 波系图中特征线波系图中特征线波系图中特征线波系图中特征线OAOA和和和和OBOB的方程分别

6、为的方程分别为的方程分别为的方程分别为 和和和和 。根据波阵面上的动量守恒条件，有：根据波阵面上的动量守恒条件，有：根据波阵面上的动量守恒条件，有：根据波阵面上的动量守恒条件，有：某一时刻的某一时刻的某一时刻的某一时刻的 图和某质点位置的图和某质点位置的图和某质点位置的图和某质点位置的 图略。图略。图略。图略。讨论：讨论：讨论：讨论：（1 1）若）若）若）若v v1 1=0=0，相当于对静止杆的碰撞，有相当于对静止杆的碰撞，有相当于对静止杆的碰撞，有相当于对静止杆的碰撞，有（2 2）当两材料波阻抗相等时，）当两材料波阻抗相等时，）当两材料波阻抗相等时，）当两材料波阻抗相等时，此时若此时若此时若

7、此时若v v1 1=0=0有有有有 若若若若v v1 1=-=-v v2 20 v v1 1）发发生生碰碰撞撞（如如图图所所示示），发发生生碰碰撞撞（如如图图所所示示），画画出出波波系系图图、画画出出波波系系图图、图图，求求解解两两杆杆碰碰撞撞后后杆杆中中的的质质点点速速度度和和图图，求求解解两两杆杆碰碰撞撞后后杆杆中中的的质质点点速速度度和和应应力力解解值值表表达达式式，画画出出某某一一时时刻刻的的应应力力解解值值表表达达式式，画画出出某某一一时时刻刻的的 图图和和某某质质点点位位置置的的图图和和某某质质点点位位置置的的 图。图。图。图。解解解解 根根据据碰碰撞撞界界面面上上压压力力相相等等

8、、质质点点速速度度相相等等条条件件，由由于于两两杆杆根根据据碰碰撞撞界界面面上上压压力力相相等等、质质点点速速度度相相等等条条件件，由由于于两两杆杆横横截截面面不不等等，故故界界面面处处速速度度相相等等但但应应力力不不相相等等，两两杆杆从从碰碰撞撞横横截截面面不不等等，故故界界面面处处速速度度相相等等但但应应力力不不相相等等，两两杆杆从从碰碰撞撞面面 开开 始始 应应 力力 和和 质质 点点 速速 度度 分分 别别 由由面面 开开 始始 应应 力力 和和 质质 点点 速速 度度 分分 别别 由由 和和和和 变变 为为变变 为为 和和和和 。同同同同样样样样，根根根根据据据据波波波波的的的的传传

9、传传播播播播情情情情况况况况可可可可直直直直接接接接画画画画出出出出波波波波系系系系图图图图和和和和 图图图图，波波波波系系系系图图图图中中中中仍仍仍仍设设设设坐坐坐坐标标标标原原原原点点点点在在在在两两两两杆杆杆杆碰碰碰碰撞撞撞撞面面面面处处处处。图图图图中中中中所所所所给给给给中中中中的对应于的对应于的对应于的对应于 的情况。的情况。的情况。的情况。图图图图3-3-63-3-6波波波波系系系系图图图图中中中中特特特特征征征征线线线线OAOA和和和和OBOB的的的的方方方方程程程程同同同同前前前前两两两两杆杆杆杆截截截截面面面面相相相相同同同同时时时时的的的的情情情情况况况况，分别为分别为分

10、别为分别为 和和和和 。根据波阵面上的动量守恒条件，有：根据波阵面上的动量守恒条件，有：根据波阵面上的动量守恒条件，有：根据波阵面上的动量守恒条件，有：某一时刻的某一时刻的某一时刻的某一时刻的 图和某质点位置的图和某质点位置的图和某质点位置的图和某质点位置的 图略。图略。图略。图略。讨论：讨论：讨论：讨论：（1 1）当两材料波阻抗相等时，）当两材料波阻抗相等时，）当两材料波阻抗相等时，）当两材料波阻抗相等时，（2 2）若）若）若）若v v1 1=0=0，相当于弹性杆对刚体的碰撞，有相当于弹性杆对刚体的碰撞，有相当于弹性杆对刚体的碰撞，有相当于弹性杆对刚体的碰撞，有 图图图图3-3-73-3-7

11、 （图中对应于（图中对应于（图中对应于（图中对应于A A0101 A A0202）（3 3）若）若）若）若 ，相当于刚体对弹性杆的碰撞，有，相当于刚体对弹性杆的碰撞，有，相当于刚体对弹性杆的碰撞，有，相当于刚体对弹性杆的碰撞，有 图图图图3-3-83-3-83-3-2 3-3-2 有限长杆对半无限长杆的碰撞有限长杆对半无限长杆的碰撞有限长杆对半无限长杆的碰撞有限长杆对半无限长杆的碰撞 对对对对于于于于有有有有限限限限长长长长杆杆杆杆来来来来说说说说，应应应应力力力力波波波波传传传传播播播播到到到到杆杆杆杆端端端端会会会会发发发发生生生生反反反反射射射射，反反反反射射射射后后后后的的的的波波波波

12、通通通通过过过过碰碰碰碰撞撞撞撞界界界界面面面面时时时时发发发发生生生生反反反反射射射射和和和和透透透透射射射射的的的的情情情情况况况况与与与与两两两两杆杆杆杆的的的的波波波波阻阻阻阻抗抗抗抗之之之之间间间间的的的的关关关关系系系系息息息息息息息息相相相相关关关关。本本本本节节节节仅仅仅仅讨讨讨讨论论论论有有有有限限限限长长长长杆杆杆杆对对对对半半半半无无无无限限限限长长长长杆的碰撞，即只考虑两杆之一有杆端边界的反射问题。杆的碰撞，即只考虑两杆之一有杆端边界的反射问题。杆的碰撞，即只考虑两杆之一有杆端边界的反射问题。杆的碰撞，即只考虑两杆之一有杆端边界的反射问题。例例例例3-3-33-3-3如

13、如如如图图图图，两两两两截截截截面面面面完完完完全全全全相相相相同同同同的的的的一一一一维维维维长长长长杆杆杆杆，其其其其中中中中有有有有限限限限长长长长杆杆杆杆长长长长为为为为L L2 2，声声声声阻阻阻阻抗抗抗抗为为为为 ，半半半半无无无无限限限限长长长长杆杆杆杆声声声声阻阻阻阻抗抗抗抗为为为为 ，有有有有限限限限长长长长杆杆杆杆以以以以速速速速度度度度v v2 2撞撞撞撞击击击击静静静静止止止止的的的的半半半半无无无无限限限限长长长长杆杆杆杆，两两两两杆杆杆杆初初初初始始始始应应应应力力力力为为为为零零零零且且且且无无无无初初初初始始始始应应应应变变变变，根根根根据据据据两两两两杆杆杆杆

14、的的的的波波波波阻阻阻阻抗抗抗抗之之之之间间间间的的的的关关关关系系系系分分分分析析析析撞撞撞撞击击击击后后后后应应应应力力力力波波波波在在在在杆杆杆杆中中中中传传传传播播播播的的的的情情情情况况况况，画画画画出出出出波波波波系系系系图图图图、图图图图，求求求求解解解解两两两两杆杆杆杆碰碰碰碰撞撞撞撞后后后后波波波波系系系系图图图图中中中中各各各各区区区区域域域域的的的的质质质质点点点点速速速速度度度度和和和和应应应应力力力力解解解解值值值值表表表表达达达达式式式式，画画画画出出出出某某某某一时刻的一时刻的一时刻的一时刻的 图和某质点位置的图和某质点位置的图和某质点位置的图和某质点位置的 图。

15、图。图。图。解解解解 两两杆杆撞撞击击后后，两两杆杆撞撞击击后后，由由碰碰撞撞界界面面处处背背向向碰碰撞撞面面方方向向由由碰碰撞撞界界面面处处背背向向碰碰撞撞面面方方向向传传播播一一次次弹弹传传播播一一次次弹弹性性 波波，为为 压压 缩缩 波波。设设 两两 杆杆 相相 撞撞 时时 刻刻 为为性性 波波，为为 压压 缩缩 波波。设设 两两 杆杆 相相 撞撞 时时 刻刻 为为 时时 刻刻，当当时时 刻刻，当当 时时左左传传播播弹弹性性波波到到达达时时左左传传播播弹弹性性波波到到达达B B2 2杆杆左左端端，在在自自由由端端面面发发生生反反杆杆左左端端，在在自自由由端端面面发发生生反反射射，向向右右

16、传传播播二二次次波波，为为稀稀疏疏波波，使使杆杆中中应应力力逐逐渐渐卸卸载载为为射射，向向右右传传播播二二次次波波，为为稀稀疏疏波波，使使杆杆中中应应力力逐逐渐渐卸卸载载为为0 0，在在在在 时时到到达达两两杆杆相相接接触触的的界界面面，根根据据两两杆杆的的波波阻阻抗抗关关时时到到达达两两杆杆相相接接触触的的界界面面，根根据据两两杆杆的的波波阻阻抗抗关关系系的的不不同同，应应力力波波此此后后传传播播的的情情况况会会不不同同，下下面面分分别别讨讨论论。系系的的不不同同，应应力力波波此此后后传传播播的的情情况况会会不不同同，下下面面分分别别讨讨论论。（1 1）当）当）当）当 时时时时 两两两两杆杆

17、杆杆波波波波阻阻阻阻抗抗抗抗相相相相等等等等时时时时（但但但但两两两两杆杆杆杆的的的的波波波波速速速速可可可可能能能能不不不不同同同同），波波波波阻阻阻阻抗抗抗抗统统统统一一一一用用用用 表表表表示示示示，两两两两杆杆杆杆的的的的波波波波速速速速分分分分别别别别用用用用C C0101和和和和C C0202表表表表示示示示。从从从从B B2 2杆杆杆杆左左左左端端端端面面面面向向向向右右右右传传传传播播播播的的的的稀稀稀稀疏疏疏疏波波波波（卸卸卸卸载载载载波波波波）在在在在撞撞撞撞击击击击面面面面处处处处将将将将无无无无反反反反射射射射的的的的进行传播。依据题意可画出相应的波系图和进行传播。依据

18、题意可画出相应的波系图和进行传播。依据题意可画出相应的波系图和进行传播。依据题意可画出相应的波系图和 图。图。图。图。图图图图3-3-9 3-3-9 （图中对应于（图中对应于（图中对应于（图中对应于 ）区区区区和和和和 区区区区由由由由于于于于两两两两杆杆杆杆横横横横截截截截面面面面积积积积相相相相等等等等，满满满满足足足足界界界界面面面面处处处处应应应应力力力力和和和和质点速度相等条件，可统一用质点速度相等条件，可统一用质点速度相等条件，可统一用质点速度相等条件，可统一用3 3区来表示。各区求解过程如下：区来表示。各区求解过程如下：区来表示。各区求解过程如下：区来表示。各区求解过程如下：1

19、1区：区：区：区：2 2区：区：区：区：3 3区：区：区：区：4 4区：区：区：区：或由或由或由或由 （叠加原理）（叠加原理）（叠加原理）（叠加原理）即即即即 时时时时，B B2 2杆杆杆杆从从从从左左左左端端端端自自自自由由由由界界界界面面面面开开开开始始始始反反反反射射射射右右右右传传传传卸卸卸卸载载载载波波波波，使使使使杆杆杆杆中中中中应应应应力力力力和和和和质质质质点点点点速速速速度度度度逐逐逐逐渐渐渐渐卸卸卸卸载载载载到到到到0 0，时时时时卸卸卸卸载载载载波波波波传传传传到到到到碰碰碰碰撞撞撞撞界界界界面面面面，使使使使碰碰碰碰撞撞撞撞界界界界面面面面处处处处应应应应力力力力和和和

20、和质质质质点点点点速速速速度度度度卸卸卸卸载载载载到到到到0 0，意意意意味味味味着着着着两两两两杆杆杆杆的撞击结束。的撞击结束。的撞击结束。的撞击结束。归归归归纳纳纳纳：对对对对于于于于4 4区区区区这这这这种种种种向向向向自自自自由由由由界界界界面面面面传传传传播播播播并并并并发发发发生生生生反反反反射射射射形形形形成成成成的的的的三三三三个区域个区域个区域个区域2 2、3 3、4 4区之间有这样的关系，即区之间有这样的关系，即区之间有这样的关系，即区之间有这样的关系，即 而类似的区域如果是向固定端传播和反射，则有而类似的区域如果是向固定端传播和反射，则有而类似的区域如果是向固定端传播和反

21、射，则有而类似的区域如果是向固定端传播和反射，则有 5 5区区区区：两两两两杆杆杆杆的的的的撞撞撞撞击击击击结结结结束束束束，B B1 1杆杆杆杆左左左左端端端端变变变变成成成成自自自自由由由由界界界界面面面面，卸卸卸卸载载载载波波波波继续向继续向继续向继续向B B1 1杆中向右传播，使杆中应力变为杆中向右传播，使杆中应力变为杆中向右传播，使杆中应力变为杆中向右传播，使杆中应力变为0 0，则有，则有，则有，则有 根根据据前前面面的的分分析析及及求求解解，当当根根据据前前面面的的分分析析及及求求解解，当当 时时，两两杆杆在在时时，两两杆杆在在 时时时时刻刻刻刻碰碰碰碰撞撞撞撞结结结结束束束束，两

22、两两两杆杆杆杆保保保保持持持持接接接接触触触触不不不不分分分分离离离离，但但但但杆杆杆杆中中中中应应应应力力力力和质点速度都变为和质点速度都变为和质点速度都变为和质点速度都变为0 0。由由由由X X-t t图图图图可可可可以以以以看看看看出出出出，B B1 1杆杆杆杆中中中中有有有有先先先先行行行行的的的的压压压压缩缩缩缩波波波波和和和和随随随随后后后后的的的的卸卸卸卸载载载载拉拉拉拉伸伸伸伸波波波波，两两两两波波波波间间间间距距距距始始始始终终终终不不不不变变变变，在在在在 时时时时刻刻刻刻后后后后B B1 1杆杆杆杆中中中中的的的的应应应应力力力力波波波波形形形形为为为为一一一一矩矩矩矩形

23、形形形波波波波，通通通通常常常常称称称称之之之之为为为为应应应应力力力力脉脉脉脉冲冲冲冲，应应应应力力力力脉脉脉脉冲冲冲冲的的的的长长长长度度度度（对应于两波的间距）由下图可得为（对应于两波的间距）由下图可得为（对应于两波的间距）由下图可得为（对应于两波的间距）由下图可得为 。图图图图3-3-103-3-10 当当当当 ，即即即即B B1 1杆杆杆杆中中中中所所所所传传传传播播播播的的的的矩矩矩矩形形形形应应应应力力力力脉脉脉脉冲冲冲冲长长长长度度度度是是是是B B2 2杆杆杆杆长长长长度度度度的的的的两两两两倍倍倍倍，此此此此时时时时若若若若改改改改变变变变B B2 2杆杆杆杆的的的的长长长

24、长度度度度就就就就可可可可以以以以获获获获得得得得不不不不同同同同脉脉脉脉冲冲冲冲长长长长度度度度的的的的应应应应力力力力脉脉脉脉冲冲冲冲，这这这这就就就就是是是是在在在在进进进进行行行行有有有有关关关关的的的的动动动动态态态态力力力力学学学学实验中控制脉冲长度的常用方法。实验中控制脉冲长度的常用方法。实验中控制脉冲长度的常用方法。实验中控制脉冲长度的常用方法。时（当时（当时（当时（当 时实际上对应于两时实际上对应于两时实际上对应于两时实际上对应于两相同材料）所对应的相同材料）所对应的相同材料）所对应的相同材料）所对应的X X-t t图确切来说应修正为下图，但图确切来说应修正为下图，但图确切来

25、说应修正为下图，但图确切来说应修正为下图，但 图不变。图不变。图不变。图不变。图图图图3-3-113-3-11（2 2）当当当当 时时时时，相相相相当当当当于于于于软软软软硬硬硬硬（软软软软材材材材料料料料撞撞撞撞击击击击硬硬硬硬材料）材料）材料）材料）依据题意可画出相应的波系图和依据题意可画出相应的波系图和依据题意可画出相应的波系图和依据题意可画出相应的波系图和 图。图。图。图。图图图图3-3-12 3-3-12（图中对应于（图中对应于（图中对应于（图中对应于 ）由由由由图图图图中中中中可可可可以以以以看看看看出出出出，B B2 2杆杆杆杆中中中中由由由由自自自自由由由由界界界界面面面面向向

26、向向右右右右传传传传播播播播的的的的卸卸卸卸载载载载波波波波使使使使杆杆杆杆中中中中应应应应力力力力逐逐逐逐渐渐渐渐变变变变为为为为0 0，但但但但质质质质点点点点速速速速度度度度变变变变为为为为负负负负值值值值，与与与与B B1 1杆杆杆杆脱脱脱脱离离离离，并并并并使使使使B B1 1杆杆杆杆左左左左端端端端变变变变为为为为自自自自由由由由端端端端，由由由由B B2 2杆杆杆杆传传传传入入入入的的的的卸卸卸卸载载载载波波波波使使使使B B1 1杆杆杆杆中中中中应应应应力力力力逐逐逐逐渐渐渐渐变变变变为为为为0 0，速速速速度度度度相相相相应应应应也也也也变变变变为为为为0 0。两两两两杆杆杆

27、杆在在在在 时时时时刻刻刻刻碰碰碰碰撞撞撞撞结结结结束，并彼此脱离。束，并彼此脱离。束，并彼此脱离。束，并彼此脱离。3 3 3 3区：区：区：区：4 4 4 4区：区：区：区：或根据前面的归纳直接可写出解值或根据前面的归纳直接可写出解值或根据前面的归纳直接可写出解值或根据前面的归纳直接可写出解值5 5 5 5区有：区有：区有：区有：在在在在B B1 1杆杆杆杆中中中中也也也也是是是是有有有有先先先先行行行行的的的的压压压压缩缩缩缩波波波波和和和和随随随随后后后后的的的的卸卸卸卸载载载载拉拉拉拉伸伸伸伸波波波波，两两两两波波波波间间间间距距距距始始始始终终终终不不不不变变变变，在在在在 时时时时

28、刻刻刻刻后后后后B B1 1杆杆杆杆为为为为一一一一矩矩矩矩形形形形应应应应力力力力脉脉脉脉冲冲冲冲，长长长长度度度度为为为为 。当当当当 时时时时，应应应应力力力力脉脉脉脉冲冲冲冲长长长长度度度度为为为为 。当当当当 时，相应的时，相应的时，相应的时，相应的X X-t t图的特征线也要作相应修正。图的特征线也要作相应修正。图的特征线也要作相应修正。图的特征线也要作相应修正。讨讨讨讨论论论论：若若若若 ，相相相相当当当当于于于于有有有有限限限限长长长长杆杆杆杆刚刚刚刚体体体体，波波波波形形形形图图图图和和和和 图如下。图如下。图如下。图如下。图图图图3-3-133-3-13 B B1 1杆杆相

29、相当当于于刚刚体体，弹弹性性杆杆撞撞击击静静止止的的半半无无限限长长刚刚体体，碰碰杆杆相相当当于于刚刚体体，弹弹性性杆杆撞撞击击静静止止的的半半无无限限长长刚刚体体，碰碰撞撞界界面面处处有有撞撞界界面面处处有有 ，应应力力值值近近似似解解为为，应应力力值值近近似似解解为为 。4 4区区的的区区的的质质点点速速度度为为质质点点速速度度为为 ，即即弹弹性性杆杆在在，即即弹弹性性杆杆在在 时时刻刻以以大大时时刻刻以以大大小小相相等等的的速速度度反反弹弹。小小相相等等的的速速度度反反弹弹。B B1 1杆杆中中在在时时间间内内杆杆中中均均布布着着压压力力杆杆中中在在时时间间内内杆杆中中均均布布着着压压力

30、力 ，从从从从 时时时时间间间间开开开开始始始始后后后后，刚刚刚刚性性性性杆杆杆杆中应力马上衰减到中应力马上衰减到中应力马上衰减到中应力马上衰减到0 0，体现刚体受力的瞬时性。，体现刚体受力的瞬时性。，体现刚体受力的瞬时性。，体现刚体受力的瞬时性。（3 3）当）当）当）当 时，相当于硬时，相当于硬时，相当于硬时，相当于硬软软软软 依据题意可初步画出相应的波系图和依据题意可初步画出相应的波系图和依据题意可初步画出相应的波系图和依据题意可初步画出相应的波系图和 图如下。图如下。图如下。图如下。图图图图3-3-143-3-14 由由由由图图图图中中中中可可可可以以以以看看看看出出出出，B B2 2杆

31、杆杆杆中中中中由由由由自自自自由由由由界界界界面面面面向向向向右右右右传传传传播播播播的的的的卸卸卸卸载载载载波波波波使使使使杆杆杆杆中中中中应应应应力力力力逐逐逐逐渐渐渐渐变变变变为为为为0 0，但但但但质质质质点点点点速速速速度度度度仍仍仍仍为为为为正正正正值值值值，由由由由B B2 2杆杆杆杆传传传传入入入入B B1 1杆杆杆杆中中中中的的的的卸卸卸卸载载载载波波波波在在在在 图图图图上上上上是是是是在在在在3 3、0 0点点点点所所所所对对对对应应应应的的的的直直直直线线线线上上上上，但但但但两两两两杆杆杆杆是是是是相相相相互互互互脱脱脱脱离离离离、碰碰碰碰撞撞撞撞结结结结束束束束还还

32、还还是是是是保保保保持持持持接接接接触触触触相相相相互互互互作作作作用用用用，还还还还须须须须进进进进一一一一步步步步进进进进行行行行讨讨讨讨论论论论。如如如如果果果果两两两两杆杆杆杆相相相相互互互互作作作作用用用用结结结结束束束束，B B1 1杆杆杆杆左左左左端端端端将将将将成成成成为为为为自自自自由由由由端端端端，即即即即有有有有 ，则则则则相相相相应应应应有有有有 ，而而而而 ，显显显显然然然然B B2 2杆杆杆杆仍仍仍仍会会会会对对对对B B1 1杆杆杆杆发发发发生生生生进进进进一一一一步步步步的的的的碰碰碰碰撞撞撞撞，也也也也就就就就是是是是说说说说两两两两杆杆杆杆仍仍仍仍会会会会相

33、相相相互互互互作作作作用用用用下下下下去去去去，碰碰碰碰撞撞撞撞不不不不会会会会结结结结束束束束。则则则则在在在在两两两两杆杆杆杆碰碰碰碰撞撞撞撞界界界界面面面面上上上上，由由由由于于于于两两两两杆杆杆杆波波波波阻阻阻阻抗抗抗抗不不不不相相相相等等等等，在在在在界界界界面面面面上上上上会会会会有有有有反反反反射射射射和和和和透透透透射射射射，分分分分别别别别向向向向B B2 2杆杆杆杆发发发发生生生生反反反反射射射射和和和和向向向向B B1 1杆发生透射。杆发生透射。杆发生透射。杆发生透射。最最最最终终终终可可可可画画画画出出出出波波波波系系系系图图图图和和和和 图图图图如如如如下下下下，图图

34、图图中中中中只只只只画画画画到到到到了了了了7 7区区区区，实际上可一直延续画下去，趋近无穷实际上可一直延续画下去，趋近无穷实际上可一直延续画下去，趋近无穷实际上可一直延续画下去，趋近无穷 。图图图图3-3-15 3-3-15 3 3 3 3区：区：区：区：4 4 4 4区：区：区：区：5 5区：区：区：区：6 6区：区：区：区：由由由由3-3-153-3-15图图图图以以以以及及及及以以以以上上上上各各各各区区区区的的的的解解解解可可可可以以以以看看看看出出出出，B B2 2杆杆杆杆对对对对B B1 1杆杆杆杆的的的的撞撞撞撞击击击击将将将将进进进进行行行行第第第第二二二二次次次次、第第第第

35、三三三三次次次次，直直直直至至至至无无无无穷穷穷穷次次次次撞撞撞撞击击击击，不不不不过过过过撞撞撞撞击击击击速速速速度和应力波的幅值逐次减小，直至趋进于度和应力波的幅值逐次减小，直至趋进于度和应力波的幅值逐次减小，直至趋进于度和应力波的幅值逐次减小，直至趋进于0 0。在。在。在。在时刻发生第时刻发生第时刻发生第时刻发生第n n次撞击。次撞击。次撞击。次撞击。在在在在B B1 1杆杆中中有有先先行行的的压压缩缩波波和和随随后后幅幅值值逐逐渐渐减减小小的的一一系系列列杆杆中中有有先先行行的的压压缩缩波波和和随随后后幅幅值值逐逐渐渐减减小小的的一一系系列列的的卸卸载载拉拉伸伸波波，各各相相邻邻两两波

36、波间间距距相相等等，为为的的卸卸载载拉拉伸伸波波，各各相相邻邻两两波波间间距距相相等等，为为 （当当（当当 时，时，时，时，相邻两波间距相邻两波间距相邻两波间距相邻两波间距为为为为 ）。）。）。）。当当当当 时，相应的时，相应的时，相应的时，相应的X X-t t图的特征线同样要作相应修正。图的特征线同样要作相应修正。图的特征线同样要作相应修正。图的特征线同样要作相应修正。讨讨讨讨论论论论：若若若若 ，相相相相当当当当于于于于刚刚刚刚体体体体半半半半无无无无限限限限长长长长弹弹弹弹性性性性杆杆杆杆，波形图和波形图和波形图和波形图和 图如下。图如下。图如下。图如下。图图图图3-3-163-3-16

37、 由由由由图图图图中中中中可可可可以以以以看看看看出出出出，即即即即刚刚刚刚体体体体对对对对弹弹弹弹性性性性杆杆杆杆的的的的撞撞撞撞击击击击相相相相当当当当于于于于进进进进行行行行恒恒恒恒速速速速撞撞撞撞击击击击。界界界界面面面面处处处处有有有有 。实实实实际际际际上上上上，由由由由于于于于撞撞撞撞击击击击杆杆杆杆B B2 2本本本本身身身身有有有有初初初初速速速速v v2 2，对对对对于于于于弹弹弹弹性性性性杆杆杆杆B B1 1，其其其其左左左左侧侧侧侧相相相相当当当当于于于于刚刚刚刚壁壁壁壁面面面面，根根根根据据据据前前前前一一一一节节节节的的的的讨讨讨讨论论论论，接接接接触触触触面面面面

38、处处处处恒恒恒恒有有有有 ，由由由由此此此此也可得到也可得到也可得到也可得到 。此解是将撞击短杆作为刚体，实为近似解。此解是将撞击短杆作为刚体，实为近似解。此解是将撞击短杆作为刚体，实为近似解。此解是将撞击短杆作为刚体，实为近似解。刚刚刚刚体体体体对对对对弹弹弹弹性性性性体体体体进进进进行行行行碰碰碰碰撞撞撞撞后后后后，作作作作为为为为刚刚刚刚体体体体有有有有 ，作为弹性体有作为弹性体有作为弹性体有作为弹性体有 。界面上应力相等，则有。界面上应力相等，则有。界面上应力相等，则有。界面上应力相等，则有 上式整理并积分，有上式整理并积分，有上式整理并积分，有上式整理并积分，有可得可得可得可得 （a

39、 a）上上上上式式式式为为为为撞撞撞撞击击击击后后后后的的的的精精精精确确确确解解解解，体体体体现现现现出出出出杆杆杆杆中中中中质质质质点点点点速速速速度度度度与与与与应应应应力力力力都都都都随时间有指数衰减的规律。随时间有指数衰减的规律。随时间有指数衰减的规律。随时间有指数衰减的规律。下下下下面面面面作作作作近近近近似似似似处处处处理理理理。设设设设MMt t为为为为时时时时间间间间t t内内内内弹弹弹弹性性性性波波波波在在在在传传传传过过过过弹弹弹弹性性性性长长长长杆杆杆杆所对应的质量，有所对应的质量，有所对应的质量，有所对应的质量，有 ，则（，则（，则（，则（a a）式可变为：式可变为：

40、式可变为：式可变为：根据刚体假设，根据刚体假设，根据刚体假设，根据刚体假设，则上式变为：，则上式变为：，则上式变为：，则上式变为：这与前面讨论的结论一致。这与前面讨论的结论一致。这与前面讨论的结论一致。这与前面讨论的结论一致。3-3-3 3-3-3 有限长杆与有限长杆的碰撞有限长杆与有限长杆的碰撞有限长杆与有限长杆的碰撞有限长杆与有限长杆的碰撞 相相相相碰碰碰碰撞撞撞撞的的的的两两两两杆杆杆杆均均均均为为为为有有有有限限限限长长长长杆杆杆杆，则则则则分分分分别别别别会会会会有有有有压压压压缩缩缩缩波波波波向向向向两两两两杆杆杆杆中中中中传传传传播播播播，并并并并且且且且分分分分别别别别在在在在

41、两两两两杆杆杆杆的的的的另另另另一一一一端端端端的的的的自自自自由由由由面面面面发发发发生生生生反反反反射射射射，在在在在一一一一定定定定时时时时间间间间后后后后（时时时时间间间间可可可可能能能能相相相相同同同同，也也也也右右右右能能能能不不不不同同同同）回回回回到到到到碰碰碰碰撞撞撞撞面面面面，情情情情形形形形比比比比较较较较复复复复杂杂杂杂。本本本本小小小小节节节节将将将将针针针针对对对对两两两两类类类类特特特特殊殊殊殊的的的的情情情情形形形形进进进进行行行行讨讨讨讨论论论论，首首首首先先先先是是是是两两两两杆杆杆杆发发发发生生生生碰碰碰碰撞撞撞撞，两两两两杆杆杆杆长长长长度度度度之之之之

42、间间间间满满满满足足足足 的的的的关关关关系系系系，这这这这样样样样压压压压缩缩缩缩波波波波传传传传播播播播到到到到两两两两杆杆杆杆自自自自由由由由端端端端的的的的时时时时间间间间以以以以及及及及从从从从自自自自由由由由端端端端回回回回到到到到碰碰碰碰撞撞撞撞端端端端的的的的时时时时间间间间分分分分别别别别相相相相等等等等，这这这这种种种种情情情情形形形形还还还还比比比比较较较较简简简简单单单单。另另另另外外外外，还还还还简简简简单单单单讨讨讨讨论论论论三三三三根根根根材料及长度和横截面完全相等的三根杆的碰撞问题。材料及长度和横截面完全相等的三根杆的碰撞问题。材料及长度和横截面完全相等的三根杆

43、的碰撞问题。材料及长度和横截面完全相等的三根杆的碰撞问题。例例例例3-3-43-3-4如图，两截面完全相同的一维长杆，声阻抗分别为如图，两截面完全相同的一维长杆，声阻抗分别为如图，两截面完全相同的一维长杆，声阻抗分别为如图，两截面完全相同的一维长杆，声阻抗分别为 和和和和 ，长长度度分分别别为为，长长度度分分别别为为L L1 1和和 为为和和 为为L L2 2，设设设设L L1 1 L L2 2并并满满足足并并满满足足 条条条条件件件件。B B2 2杆杆杆杆以以以以速速速速度度度度v v2 2撞撞撞撞击击击击静静静静止止止止的的的的B B1 1杆杆杆杆，两两两两杆杆杆杆初初初初始始始始应应应应

44、力力力力为为为为零零零零且且且且无无无无初初初初始始始始应应应应变变变变，根根根根据据据据两两两两杆杆杆杆的的的的波波波波阻阻阻阻抗抗抗抗之之之之间间间间的的的的关关关关系系系系分分分分析析析析撞撞撞撞击击击击后后后后应应应应力力力力波波波波在在在在杆杆杆杆中中中中传传传传播播播播的的的的情情情情况况况况，画画画画出出出出波波波波系系系系图图图图、图图图图，求求求求解解解解两两两两杆杆杆杆碰碰碰碰撞撞撞撞后后后后波波波波系系系系图图图图中中中中各各各各区区区区域域域域的的的的质质质质点点点点速速速速度度度度和和和和应应应应力力力力解解解解值值值值表表表表达达达达式式式式，画出某一时刻的画出某一

45、时刻的画出某一时刻的画出某一时刻的 图和某质点位置的图和某质点位置的图和某质点位置的图和某质点位置的 图。图。图。图。解解解解 由由于于由由于于 ，L L1 1 L L2 2，故故有有故故有有 。设设两两杆杆发发生生碰碰。设设两两杆杆发发生生碰碰撞撞时时刻刻作作为为时时间间为为撞撞时时刻刻作作为为时时间间为为0 0时时刻刻，在在时时刻刻，在在 时时刻刻两两反反向向传传播播的的时时刻刻两两反反向向传传播播的的压压 缩缩 波波 分分 别别 到到 达达 杆杆 各各 自自 的的 自自 由由 端端，又又 在在 相相 同同 的的 时时 刻刻压压 缩缩 波波 分分 别别 到到 达达 杆杆 各各 自自 的的

46、自自 由由 端端，又又 在在 相相 同同 的的 时时 刻刻 时时时时，从从从从自自自自由由由由端端端端反反反反射射射射的的的的两两两两拉拉拉拉伸伸伸伸波波波波又又又又回回回回到到到到碰碰碰碰撞撞撞撞面面面面。故故故故可可可可初初初初步步步步画画画画出出出出波波波波系系系系图图图图见见见见图图图图3-3-173-3-17。此此此此后后后后两两两两杆杆杆杆中中中中的的的的参参参参量量量量值值值值以以以以及及及及彼彼彼彼此此此此的的的的状状状状态态态态关关关关系系系系与与与与材材材材料料料料的的的的波波波波阻阻阻阻抗抗抗抗关关关关系系系系相相相相关关关关，下下下下面面面面仍仍仍仍分分分分三三三三类类

47、类类情情情情形进行讨论。形进行讨论。形进行讨论。形进行讨论。图图图图3-3-173-3-17（1 1）当）当）当）当 时时时时 此时的此时的此时的此时的 图如下。图如下。图如下。图如下。图图图图3-3-183-3-183 3区：区：区：区：4 4区：区：区：区：或直接可给出结果或直接可给出结果或直接可给出结果或直接可给出结果5 5区：区：区：区：或直接可给出结果或直接可给出结果或直接可给出结果或直接可给出结果 由由由由3-3-173-3-17、3-3-183-3-18图和图和图和图和4 4、5 5区解值可知，在区解值可知，在区解值可知，在区解值可知，在 时时时时刻刻刻刻，B B2 2杆杆杆杆静

48、静静静止止止止，B B1 1杆杆杆杆以以以以v v2 2飞飞飞飞出出出出，两两两两杆杆杆杆碰碰碰碰撞撞撞撞结结结结束束束束并并并并脱脱脱脱离离离离，B B2 2杆的动能全部传递给杆的动能全部传递给杆的动能全部传递给杆的动能全部传递给B B1 1杆。杆。杆。杆。（2 2）当）当）当）当 时时时时 此时的此时的此时的此时的 图如下。图如下。图如下。图如下。图图图图3-3-193-3-193 3区：区：区：区：4 4区：区：区：区：5 5区：区：区：区：由由由由图图图图3-3-193-3-19及及及及4 4、5 5区区区区解解解解可可可可知知知知，在在在在 时时时时，B B2 2杆杆杆杆以以以以v

49、v4 4速速速速度度度度反反反反弹弹弹弹，B B1 1杆杆杆杆以以以以速速速速度度度度v v5 5（）向向向向右右右右飞飞飞飞出出出出，两两两两杆杆杆杆碰碰碰碰撞结束并脱离，撞结束并脱离，撞结束并脱离，撞结束并脱离，B B2 2杆的动能有一部分传递给杆的动能有一部分传递给杆的动能有一部分传递给杆的动能有一部分传递给B B1 1杆。杆。杆。杆。（3 3）当）当）当）当 时时时时 此时的波系图和此时的波系图和此时的波系图和此时的波系图和 图如下。图如下。图如下。图如下。图图图图3-3-203-3-203 3区：区：区：区：4 4区：区：区：区：5 5区：区：区：区：由由由由图图图图3-3-203-

50、3-20及及及及4 4、5 5区区区区解解解解可可可可知知知知，在在在在 时时时时，B B1 1杆杆杆杆以以以以速速速速度度度度v v5 5向向向向右右右右飞飞飞飞出出出出（），B B2 2杆杆杆杆以以以以较较较较小小小小的的的的正正正正向向向向速速速速度度度度v v4 4（）跟随跟随跟随跟随B B1 1杆之后向右飞行，杆之后向右飞行，杆之后向右飞行，杆之后向右飞行，B B2 2杆的动能有一部分传递给杆的动能有一部分传递给杆的动能有一部分传递给杆的动能有一部分传递给B B1 1杆。杆。杆。杆。例例例例3-3-53-3-5如如如如图图图图所所所所示示示示，三三三三根根根根材材材材料料料料相相相相