第二节-二重积分的计算法(1)...ppt

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1、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束1一、利用直角坐标计算二重积分二、小结 思考题第二节第二节 二重积分的计算法（一）二重积分的计算法（一）机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束2【复习与回顾复习与回顾】(2)回顾一元函数定积分的应用回顾一元函数定积分的应用平行截面面积为已知的立体的体积的求法平行截面面积为已知的立体的体积的求法体积元素体积元素体积为体积为 在点在点x处的平行截面的面积为处的平行截面的面积为(1)上节思考题上节思考题代替代替？不能用不能用机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束3其中函数其中函数 、在区间在区间 上连续

2、上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分(1)X型域型域【X型区域的特点】型区域的特点】穿过区域且平行于穿过区域且平行于y 轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点.1.【预备知识预备知识】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束4(2)Y型域型域【Y型区域的特点】型区域的特点】穿过区域且平行于穿过区域且平行于x 轴的轴的直线与区域边界相交不多于两个交点直线与区域边界相交不多于两个交点.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束5(3)既非既非X型域也非型域也非Y型域型域如图如图在分割后的三个区域上分

3、别都在分割后的三个区域上分别都是是X型域型域(或或Y型域型域)则必须分割则必须分割.由二重积分积分区域的可加性得由二重积分积分区域的可加性得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束6(1).若积分区域为若积分区域为X型域：型域：2.【二重积分公式推导二重积分公式推导】【方法方法】根据二重积分的几何意义根据二重积分的几何意义以及计算以及计算“平平行截面面积为已知的立体求体积行截面面积为已知的立体求体积”的方法来求的方法来求.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束7即得即得公式公式1机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束8【几点小结几点小结

4、】aboxyDx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束93.【二重积分的计算步骤可归结为二重积分的计算步骤可归结为】画出积分域的图形，标出边界线方程画出积分域的图形，标出边界线方程；根据积分域特征，确定积分次序；根据积分域特征，确定积分次序；根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算。根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算。公式公式2机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束10【说明说明】(1)使用公式使用公式1必须是必须是X型域，型域，公式公式2必须是必须是(2)若积分区域既是若积分区域既是X型区域又是型区域又是Y 型区域型区域,为计算方便为计算方便,可

5、可选择积分次序选择积分次序,必要时还可必要时还可交换积分次序交换积分次序.则有则有(3)若积分域较复杂若积分域较复杂,可将它分成若干可将它分成若干X-型域或型域或Y-型域型域.Y型域型域.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束114.【例题部分例题部分】【例例1】【解解】看作看作X型域型域12oxy y=xy=1Dx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束12【解解】看作看作Y型域型域12oxyx=yx=2Dy12机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束13【例例2】【解解】D既是既是X型域又是型域又是Y型域型域法法11 11 11 1x

6、 xo oy=xy=xD Dx xy y机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束14法法2注意到先对注意到先对x 的积分较繁，故应用法的积分较繁，故应用法1 1较方便较方便111yoy=xD1xy注意两种积分次序的计算效果！注意两种积分次序的计算效果！机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束15【例例3】【解解】D既是既是X型域型域又是又是Y型域型域先求交点先求交点机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束16法法1法法2 视为视为X型域型域计算较繁计算较繁本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！机

7、动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束17【小结小结】以上三例说明，在化二重积分为二次积以上三例说明，在化二重积分为二次积分时，为简便见需恰当选择积分次序；分时，为简便见需恰当选择积分次序；既要考虑积分区域既要考虑积分区域D的形状，又要考虑的形状，又要考虑被积函数的特性被积函数的特性(易积易积)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束18【例例1】【解解】X-型型机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束195.【简单应用简单应用】【例例4】求两个底圆半径都等于求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的直交圆柱面所围成的立体的体积的体积

8、V.【解解】设两个直圆柱方程为设两个直圆柱方程为利用对称性利用对称性,考虑第一卦限部分考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为其曲顶柱体的顶为则所求体积为则所求体积为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束20【例例5】【解解】据二重积分的性质据二重积分的性质4（几何意义）（几何意义）交点交点机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束216.【补充补充】改变二次积分的积分次序例题改变二次积分的积分次序例题【补例1】交换下列积分顺序【解】【解】积分域由两部分组成积分域由两部分组成:视为视为Y型区域型区域,则则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束22【例例2】【解解】【分析分析】交换积分次序交换积分次序机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束23【解解】