(浙江专用)2021版新高考数学一轮复习第九章平面解析几何7第7讲抛物线高效演练分层突破2225.pdf

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1、第 7 讲 抛物线 基础题组练 1已知点A(2，3)在抛物线C：y22px(p0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A43 B1 C34 D12 解析：选 C.由已知得准线方程为x2，所以F的坐标为(2，0)又A(2，3)，所以直线AF的斜率k302234.2已知抛物线C1：x22py(p0)的准线与抛物线C2：x22py(p0)交于A，B两点，C1的焦点为F，若FAB的面积等于 1，则C1的方程是()Ax22y Bx2 2y Cx2y Dx222y 解析：选 A.由题意得，F0，p2，不妨设Ap，p2，B(p，p2)，所以SFAB122pp1，则p1，即抛物线C1的方程是x22

2、y，故选 A.3(2020丽水调研)已知等边ABF的顶点F是抛物线C：y22px(p0)的焦点，顶点B在抛物线的准线l上且ABl，则点A的位置()A在C开口内 B在C上 C在C开口外 D与p值有关 解析：选 B.设Bp2，m，由已知有AB中点的横坐标为p2，则A3p2，m，ABF是边长|AB|2p的等边三角形，即|AF|3p2p22m22p，所以p2m24p2，所以m 3p，所以A3p2，3p，代入y22px中，得点A在抛物线C上，故选 B.4已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且 2x2x1x3，则有()A|FP1|

3、FP2|FP3|B|FP1|2|FP2|2|FP3|2 C|FP1|FP3|2|FP2|D|FP1|FP3|FP2|2 解析：选 C.根据抛物线的定义知|FP1|x1p2，|FP2|x2p2，|FP3|x3p2，所以|FP1|FP3|x1p2x3p2(x1x3)p2x2p2x2p22|FP2|.5抛物线y24x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为 3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积是()A4 B3 3 C4 3 D8 解析：选 C.F(1，0)，直线AF：y 3(x1)，代入y24x得 3x210 x30，解得x3 或x13.由于点A在x轴上方且直线的

4、斜率为 3，所以其坐标为(3，2 3)因为|AF|AK|314，AF的斜率为 3，即倾斜角为 60，所以KAF60，所以AKF为等边三角形，所以AKF的面积为34424 3.6(2020杭州市高考模拟)设倾斜角为的直线l经过抛物线：y22px(p0)的焦点F，与抛物线 交于A，B两点，设点A在x轴上方，点B在x轴下方若|AF|BF|m，则cos 的值为()A.m1m1 B.mm1 C.m1m D.2mm1 解析：选 A.设抛物线y22px(p0)的准线为l：xp2.如图所示，分别过点A，B作AMl，BNl，垂足分别为M，N.在ABC中，BAC等于直线AB的倾斜角，由|AF|BF|m，|AF|m

5、|BF|，|AB|AF|BF|(m1)|BF|，根据抛物线的定义得，|AM|AF|m|BF|，|BN|BF|，所以|AC|AM|MC|m|BF|BF|(m1)|BF|，在 RtABC中，cos cos BAC|AC|AB|（m1）|BF|（m1）|BF|m1m1，故选 A.7已知抛物线y22px(p0)上一点M到焦点F的距离等于 2p，则直线MF的斜率为_ 解析：设M(xM，yM)，由抛物线定义可得|MF|xMp22p，解得xM3p2，代入抛物线方程可得yM 3p，则直线MF的斜率为yMxMp2 3pp 3.答案：3 8已知抛物线C的方程为y22px(p0)，M的方程为x2y28x120，如果

6、抛物线C的准线与M相切，那么p的值为_ 解析：将M的方程化为标准方程(x4)2y24，圆心坐标为(4，0)，半径r2，又因为抛物线的准线方程为xp2，所以4p22，p12 或 4.答案：12 或 4 9 若点P在抛物线y2x上，点Q在圆(x3)2y21 上，则|PQ|的最小值为_ 解析：由题意得抛物线与圆不相交，且圆的圆心为A(3，0)，则|PQ|PA|AQ|PA|1，当且仅当P，Q，A三点共线时取等号，所以当|PA|取得最小值时，|PQ|最小 设P(x0，y0)，则y20 x0，|PA|（x03）2y20 x206x09x0 x0522114，当且仅当x052时，|PA|取得最小值112，此

7、时|PQ|取得最小值1121.答案：1121 10(2020浙江省名校协作体高三联考)抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，且过点(4，4)，焦点为F.(1)求抛物线的焦点坐标和标准方程；(2)P是抛物线上一动点，M是PF的中点，求M的轨迹方程 解：(1)抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，且过点(4，4)，设抛物线解析式为y22px，把(4，4)代入，得 1624p，所以p2，所以抛物线的标准方程为y24x，焦点坐标为F(1，0)(2)设M(x，y)，P(x0，y0)，F(1，0)，M是PF的中点，则x012x，0y02y，所以x02x1，y02y，因为P是抛物线上一动点，所以y204x0，所以(2

8、y)24(2x1)，化简得y22x1.所以M的轨迹方程为y22x1.11已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为 4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于 5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标 解：(1)抛物线y22px的准线为xp2，于是 4p25，所以p2.所以抛物线方程为y24x.(2)因为点A的坐标是(4，4)，由题意得B(0，4)，M(0，2)又因为F(1，0)，所以kFA43，因为MNFA，所以kMN34.又FA的方程为y43(x1)，MN的方程为y234x，联立，解得x

9、85，y45，所以点N的坐标为85，45.综合题组练 1(2020台州书生中学月考)抛物线y22px(p0)的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足AFB120，过AB的中点M作抛物线准线l的垂线MN，垂足为N，则|MN|AB|的最大值为()A.33 B1 C.2 33 D2 解析：选 A.过A，B分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为A1，B1，连接AF，BF，由抛物线的定义知|MN|12(|AA1|BB1|)12(|AF|BF|)，在AFB中，|AB|2|AF|2|BF|22|AF|BF|cos 120|AF|2|BF|2|AF|BF|.所以|MN|AB|214|AF|2|BF|2

10、2|AF|BF|AF|2|BF|2|AF|BF|141|AF|BF|AF|2|BF|2|AF|BF|1411|AF|BF|BF|AF|114112113，当且仅当|AF|BF|时取等号，所以|MN|AB|的最大值为33.2已知F为抛物线y2x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OAOB2(其中O为坐标原点)，则ABO与AFO面积之和的最小值是()A2 B3 C.17 28 D.10 解析：选 B.设A(x1，x1)，B(x2，x2)，则SAFO1214x118x1.由OAOB2 得x1x2x1x22，即x1x2x1x220，解得x1x24，所以(|OA|OB|)2(x21x1)(x2

11、2x2)x21x22x1x2(x1x2)x1x2204(x1x2)，因为 cosAOBOAOB|OA|OB|，所以 sinAOB 1cos2AOB 所以SAOB12|OA|OB|sinAOB 12|OA|OB|12（|OA|OB|）2（OAOB）2 12164（x1x2）4（x1x2）x144x1x12x1，所以SABOSAFO98x12x1298x12x13，当98x12x1，即x1169时等号成立 3如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(ab)，原点O为AD的中点，抛物线y22px(p0)经过C，F两点，则ba_ 解析：依题知Ca2，a，Fa2b，b，因为点C，F在抛物线

12、上，所以a2pa，b2p（a2b），两式相除得ba22ba10，解得ba1 2或ba1 2(舍)答案：1 2 4(2020台州市高考模拟)如图，过抛物线y24x的焦点F作直线与抛物线及其准线分别交于A，B，C三点，若FC4FB，则|AB|_ 解析：分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为A1，B1，则|DF|p2，由抛物线的定义可知|FB|BB1|，|AF|AA1|，因为FC4FB，所以|DF|BB1|FC|BC|43，所以|FB|BB1|32.所以|FC|4|FB|6，所以 cos DFC|DF|FC|13，所以 cos A1AC|AA1|AC|AF|AF6|13，解得|AF|3，所以|AB|A

13、F|BF|33292.答案：92 5已知抛物线x24y的焦点为F，P为该抛物线在第一象限内的图象上的一个动点(1)当|PF|2 时，求点P的坐标；(2)求点P到直线yx10 的距离的最小值 解：(1)由抛物线x24y的焦点为F，P为该抛物线在第一象限内的图象上的一个动点，故设Pa，a24(a0)，因为|PF|2，结合抛物线的定义得a2412，所以a2，所以点P的坐标为(2，1)(2)设点P的坐标为Pa，a24(a0)，则点P到直线yx10 的距离为aa24102a24a102.因为a24a1014(a2)29，所以当a2 时，a24a10 取得最小值 9，故点P到直线yx10 的距离的最小值为

14、922.6(2020杭州宁波二市三校联考)已知A，B，C是抛物线y22px(p0)上三个不同的点，且ABAC.(1)若A(1，2)，B(4，4)，求点C的坐标；(2)若抛物线上存在点D，使得线段AD总被直线BC平分，求点A的坐标 解：(1)因为A(1，2)在抛物线y22px(p0)上，所以p2.所以抛物线方程为y24x.设Ct24，t，则由kABkAC1，即4241t2t2411，解得t6，即C(9，6)(2)设A(x0，y0)，By212p，y1，Cy222p，y2，则y202px0，直线BC的方程为yy1y2y1xy212py222py212p，即(y1y2)y2pxy1y2，由kABkACy1y0y212py202py2y0y222py202p1，得y0(y1y2)y1y2y204p2，与直线BC的方程联立，化简，得(y1y2)(yy0)2p(x2px0)，故直线BC恒过点E(x02p，y0)因此直线AE的方程为yy0p(xx0)y0，代入抛物线的方程y22px(p0)，得点D的坐标为2p（x0p）2y20，2p（x0p）y0.因为线段AD总被直线BC平分，所以2（x02p）x02p（x0p）2y20，2y0y02p（x0p）y0，解得x0p2，y0p，即点A的坐标为p2，p.