(讲练测)九年级数学上册二次函数22.1二次函数的图象和性质(讲练)(含解析)(新版)新人教版2709.pdf

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1、专题 22.1 二次函数的图象和性质（讲练）一、知识点 知识点 1：二次函数的概念及解析式 1.二 次 函数的定义 yax2bxc(a，b，c 是常数，a0)的函数，叫做二次函数.知识点 2：二次函数的图像和性质 2.解析式（1）三种解析式：一般式：y=ax2+bx+c;顶点式：y=a(x-h)2+k(a0)，其中二次函数的顶点坐标是（h,k）;交点式：y=a(x-x1)(x-x2),其中 x1,x2 为抛物线与 x 轴交点的横坐标.（2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）.*若已知条件是图象上的三个点或三对对应函数值，可设一般式；若已知顶点坐标或对称

2、轴方程与最值，可设顶点式；若已知抛物线与 x 轴的两个交点坐标，可设交点式.3.二 次 函数 的 图 象和性质 图象 开口 向上 向下 对 称轴 x 2ba 顶 点坐标 24,24bacbaa 增 减性 当x2ba时，y随x的增大而增大；当x2ba时，y随x的增大而减小.当 x2ba时，y 随 x 的增大而减小；当 x2ba时，y 随 x 的增大而增大.最值 x=2ba，y 最小244acba.x=2ba，y 最大244acba.xyy=ax2+bx+c(a 0)Oxyy=ax2+bx+c(a 0)O3.系数 a、b、c 的作用 a 决定抛物线的开口方向及开口大小 当 a0 时，抛物线开口向上

3、；当 a0 时，抛物线开口向下.a、b 决定对称轴（x=-b/2a）的位置 当 a，b 同号，-b/2a0，对称轴在 y 轴左边；当 b0 时，-b/2a=0，对称轴为 y 轴；当 a，b 异号，-b/2a0，对称轴在 y 轴右边 c 决定抛物线与 y 轴的交点的位置 当 c0 时，抛物线与 y 轴的交点在正半轴上；当 c0 时，抛物线经过原点；当 c0 时，抛物线与 y 轴的交点在负半轴上.b2 4ac 决定抛物线与 x 轴的交点个数 b24ac0 时，抛物线与x 轴有 2 个交点;b24ac0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点;b24ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点 知识点 3：二次

4、函数的平移 4.平 移 与解 析 式 的关系 注意：上加下减，左加右减（注：与平移区分）二、标准例题：例 1：已知二次函数22(3)1yx，下列说法正确的是（）A开口向上，顶点坐标(3,1)B开口向下，顶点坐标(3,1)C开口向上，顶点坐标(3,1)D开口向下，顶点坐标 (3,1)【答案】A【解析】解：22(3)1yx，其中a=20，抛物线的开口向上，顶点坐标（3,1）.故选 A.总结：抛物线2()ya xhk的开口方向由 a 的正负确定，a0 时开口向上，a0 时开口向下，顶点坐标是（h，k），据此判断即可.例 2：已知1(3,)y，2(2,)y与3(3,)y为二次函数245yxx 图象上的

5、三点，则123,y yy的大小关系平移|k|个单位平移|h|个单位向上(k0)或向下(k0)向左(h0)或向右(h0)y=a(xh)2k 的图象y=a(xh)2的图象y=ax2的图象是（）A123yyy B321yyy C312yyy D213yyy【答案】B【解析】解法 1：将1(3,)y，2(2,)y与3(3,)y代入245yxx，得1238,7,16yyy ，321yyy；解法 2：抛物线的对称轴为422(1)x ，在1(3,)y，2(2,)y与3(3,)y三点中，1(3,)y离对称轴最近，次之为2(2,)y，最远的是3(3,)y，又因为抛物线开口向下，所以321yyy.故选 B.总结：

6、本题考查了二次函数的图象和性质，此类题的解题思路是先确定抛物线开口方向，再确定抛物线的对称轴，最后结合抛物线的增减性进行判断.例 3：课堂上，老师给出一道题：如图，将抛物线 C：yx26x+5 在 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折，翻折后得到的图象与抛物线 C 在 x 轴上方的图象记为 G，已知直线 l：yx+m 与图象 G 有两个公共点，求 m 的取值范围甲同学的结果是5m1，乙同学的结果是 m54下列说法正确的是（）A甲的结果正确 B乙的结果正确 C甲、乙的结果合在一起才正确 D甲、乙的结果合在一起也不正确【答案】D【解析】解：令 yx26x+50，解得（1，0），（5，0）将点（1，0），

7、（5，0）分别代入直线 yx+m，得 m1，5；5m1 由题可知，图象 G 中的顶点为（3，4）代入直线 yx+m，得 m1，m1 综上所述，m1 或5m1 故选：D 总结：本题主要考查抛物线与直线的交点问题，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键.例 4：如图，抛物线y=12x2x+4 与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（1）求点A，点B的坐标；（2）P为第二象限抛物线上的一个动点，求ACP面积的最大值 【答案】(1)A（4，0），B（2，0）；(2)ACP最大面积是 4.【解析】(1)解：设y=0，则 0=12x2x+4 x1=4，x2=2 A（4，0），B（2，0）(2)作P

8、DAO交AC于D 设AC解析式y=kx+b 404bkb 解得：14kb AC解析式为y=x+4.设P（t，12t2t+4）则D（t，t+4）PD=（12t2t+4）（t+4）=12t22t=12（t+2）2+2 SACP=12PD4=（t+2）2+4 当t=2 时，ACP最大面积 4.总结：本题是二次函数的综合题，重在基础知识的考查，其中第（2）题是一个常见的二次函数模型，解决此类题的思路（以本题为例）是作 PDAO 交 AC 于 D，ACP 的面积可以表示成12PDOA，其中 OA 是定值，P、D 两点有相同的横坐标，所以 PD 的长可用它们的横坐标的关系式来表示，这样ACP 的面积就表示

9、成了P 点横坐标的二次函数，再用二次函数求最值的方法求解即可.三、练习 1.将二次函数y=2x2+8x7 化为y=a（x+m）2+n的形式，正确的是（）Ay=2（x+4）27 By=2（x+2）27 Cy=2（x+2）211 Dy=2（x+2）215【答案】D【解析】2287yxx=22(4)7xx =22(444)7xx =22(2)15x.故选 D.2.已知二次函数y=（xh）2（h为常数），当自变量x的值满足 2x5 时，与其对应的函数值y的最大值为1，则h的值为（）A1 或 6 B3 或 6 C1 或 3 D4 或 6【答案】A【解析】解：对于二次函数y=（xh）2（h为常数），其开口

10、向下，顶点为（h，0），函数的最大值为 0，因为当x满足 2x5 时，与其对应的函数值y的最大值为1，故h不能取 25（含 2 与 5）之间的数，故h2 或h5.当h2，2x5 时，因为抛物线开口向下，所以y随x的增大而减小，所以当x=2 时，y有最大值，此时2(2)1h，解得121,3hh（舍去）；当h5，2x5 时，因为抛物线开口向下，所以y随x的增大而增大，所以当x=5 时，y有最大值，此时2(5)1h，解得126,4hh（舍去）；综上可知：h=1 或 6.故选 A.3将抛物线y=3x2+1 向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位，则所得抛物线为（）Ay=3（x+1）22 By=3

11、（x+1）2+2 Cy=3（x3）2+1 Dy=3（x3）21【答案】A【解析】解：抛物线y=3x2+1 向左平移 1 个单位，可得y=3（x+1）2+1，再向下平移 3 个单位得到y=3（x+1）2+13，即y=3（x+1）22.故选 A.4抛物线y=13x2+3x2 与y=ax2的形状相同，而开口方向相反，则a=（）A13 B3 C3 D13【答案】D【解析】解：抛物线y=13x2+3x2 与y=ax2的形状相同，13a .开口方向相反，两个函数的二次项系数互为相反数，即13a.故选 D.5顶点为(0,5)，且开口方向、形状与函数2yx=的图象相同的抛物线是（）A2(5)yx B25yx

12、C2(5)yx D25yx【答案】B【解析】解：顶点是(0,5)，可设顶点式2(0)5ya x，又形状与2yx=的图象相同，1a，22(0)55yxx 故选B 6如图抛物线2yaxbxc交x轴于2,0A 和点B，交y轴负半轴于点C，且OBOC.有下列结论：22bc；12a；0abc.其中，正确结论的个数是（）A0 B1 C2 D3【答案】C【解析】解：根据图象可知 a0，c0，b0，ab0c,故错误；OBOC.B（-c，0）抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于 A（-2，0）和 B（-c，0）两点，2cca ，ac2-bc+c=0 12a，ac-b+1=0，12a，故正确；12a，b=

13、ac+1 1bc 12,2b-c=2，故正确；故选：C 7抛物线2yaxbxc（0a）的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为(4,0)，抛物线的对称轴是1x，下列结论是：0abc；20ab；方程22axbxc有两个不相等的实数根；420abc；若点(,)A m n在该抛物线上，则2ambmcabc，其中正确的个数有（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【答案】D【解析】如图，与x轴的一个交点坐标为(4,0)，抛物线的对称轴是1x，实验求出二次函数与 x 轴的另一个交点为（-2,0）故可补全图像如下，由图可知 a0，c0，对称轴 x=1,故 b0，0abc，错误，对称轴 x=1,故 x=

14、-12ba,20ab，正确；如图，作 y=2 图像，与函数有两个交点，方程22axbxc有两个不相等的实数根，正确；x=-2时，y=0,即420abc，正确；抛物线的对称轴为 x=1,故点(,)A m n在该抛物线上，则2ambmcabc，正确；故选 D 8如图，二次函数223yxx的图象与x轴交于,A B两点，与y轴交于点C，则下列说法错误的是（）A4AB B45OCBo C当3x 时，0y D当0 x 时，y随x的增大而减小【答案】D【解析】令 y=0，得 x1=-1,x2=3,A（-1,0），B（3,0）AB=4，A 正确；令 x=0，得 y=-3，C（0，-3）OC=BO,45OCBo

15、,B 正确；由图像可知当3x 时，0y，故 C 正确，故选 D.9如图，在平面直角坐标系中2条直线为12:33,:39lyxlyx ,直线1l交x轴于点A,交y轴于点B,直线2l交x轴于点D,过点B作x轴的平行线交2l于点C,点AE、关于y轴对称,抛物线2yaxbxc过EBC、三点，下列判断中:0abc;25abc;抛物线关于直线1x 对称;抛物线过点,b c;四边形5ABCDS四边形,其中正确的个数有（）A5 B4 C3 D2【答案】C【解析】解：由题意得，A（1,0），B（0,3），D（3,0），C（2,3）E（-1,0）又抛物线2yaxbxc过EBC、三点 将三点坐标代入，得 30423

16、cabcabc 结论正确；解得1,2,3abc 抛物线解析式为2yx2x3 235abc，结论错误；抛物线的对称轴为12bxa，结论正确；点,b c即为（2,3），抛物线过此点，结论正确；=2 36ABCDSAD OB Wg，结论错误.故正确的个数是 3，选 C.10 如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，给出下列说法：ab0；方程ax2+bx+c=0 的根为x1=-1，x2=3；a+b+c0；当x1 时，y随x值的增大而增大；当y0 时，x-1 或x3其中，正确的说法有（）A B C D【答案】B【解析】解：根据图象可知：对称轴12ba0，故 ab0，正确；方程 ax2+bx+c=0 的

17、根为 x1=-1，x2=3，正确；x=1 时，y=a+b+c0，错误；当 x1 时，y 随 x 值的增大而减小，错误；当 y0 时，x-1 或 x3，正确 正确的有故选：B 11某抛物线的顶点坐标为（1，-2），且经过（2，1），则抛物线的解析式为（）Ay=3x2-6x-5 By=3x2-6x+1 Cy=3x2+6x+1 Dy=3x2+6x+5【答案】B【解析】解:抛物线的顶点坐标为（1，-2），且经过（2，1），设抛物线的解析式为y=a（x-1）2-2，把（2，1）代入得：1=a（2-1）2-2，解得：a=3，y=3（x-1）2-2=3x2-6x+1，故选：B 12已知二次函数的图象经过点（

18、-1，-5），（0，-4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（）Ay=-6x2+3x+4 By=-2x2+3x-4 Cy=x2+2x-4 Dy=2x2+3x-4【答案】D【解析】解：设所求函数的解析式为y=ax2+bx+c，把（-1，-5），（0，-4），（1，1）分别代入，得：541abccabc解得234abc 所求的函数的解析式为y=2x2+3x-4 故选：D 13二次函数2yaxbxc（0a）的图象如图所示，对称轴为1x，给出下列结论：0abc；当2x 时，0y；30ac；30ab，其中正确的结论有_ 【答案】【解析】解：二次函数的图象开口向上，a0，二次函数的图象与y轴的交点在y轴

19、的负半轴上，c0，二次函数图象的对称轴是直线x=1，12ba，2a+b=0，b0.0abc；故正确；由二次函数的图象可知，抛物线与x轴的右交点的横坐标应大于 2 小于 3，当x2 时，y有小于 0 的情况，故错误；当x=1 时，y0，abc0，把2ba 代入得：30ac，故正确；前面已得 2a+b=0，又a0，30ab，故正确；故答案为：.14.抛物线2yaxbxc与x轴的公共点是 4,0,6,0，则这条抛物线的对称轴是_【答案】1x 【解析】解：根据抛物线的对称性可得：4,0,6,0的中心坐标为（1，0）因此可得抛物线的对称轴为1x 故答案为1x 15如图，抛物线y=ax2+bx+6 与x轴

20、交于点A（6，0），B（1，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为该抛物线对称轴上一点，当CM+BM最小时，求点M的坐标.（3）抛物线上是否存在点P，使ACP为直角三角形？若存在，有几个？写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由 【答案】（1）y=x2+5x+6；（2）点M（5 72 2，）；（3）点P的坐标为（2，8）或（4，10）或（2+22，4+22）或（222，422）【解析】（1）当x=0 时，y=ax2+bx+6=6，则C（0，6），设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x6），把C（0，6）代入得a1（6）=6，解得a=1，抛物线的解析式为y=（x+1）

21、（x6），即y=x2+5x+6；（2）抛物线的对称轴是直线x=1 6522，直线AC的解析式为y=-x+6，点B关于对称轴直线x=52的对称点为点A，连接AC，交直线x=52于点M，此时点M满足CM+BM最小，当x=52时，y=72，点M（5 7,2 2）（3）设P点坐标为（x，x2+5x+6），存在 4 个点P，使ACP为直角三角形 PC2=x2+（x2+5x）2，PA2=（x6）2+（x2+5x+6）2，AC2=62+62=72，当PAC=90，PA2+AC2=PC2，（x6）2+（x2+5x+6）2+72=x2+（x2+5x）2，整理得x24x12=0，解得x1=6（舍去），x2=2，此

22、时P点坐标为（2，8）；当PCA=90，PC2+AC2=PA2，72+x2+（x2+5x）2=（x6）2+（x2+5x+6）2，整理得x24x=0，解得x1=0（舍去），x2=4，此时P点坐标为（4，10）；当APC=90，PA2+AC2=PC2，（x6）2+（x2+5x+6）2+x2+（x2+5x）2=72，整理得x310 x2+20 x+24=0，x310 x2+24x4x+24=0，x（x210 x+24）4（x6）=0，x（x4）（x6）4（x6）=0，（x6）（x24x4）=0，而x60，所以x24x4=0，解得x1=2+22，x2=222，此时P点坐标为（2+22，4+22）或（2

23、22，422）；综上所述，符合条件的点P的坐标为（2，8）或（4，10）或（2+22，4+22）或（222，422）16已知抛物线2(2)2yxaxa（0a，且为常数）（1）求证：抛物线与x轴有两个公共点（2）若抛物线与x轴的一个交点为(1,0)A，另一个交点为B，与y轴交点为C，直接写出直线BC与抛物线对称轴的交点P的坐标【答案】(1)证明见解析 （2）13,22P【解析】解：（1）1a，(2)ba，2ca，22(2)4(2)448aaaaa，244aa 2(2)0a，又0a 且a为常数，2(2)0a，抛物线与x轴有两个公共点（2）与x轴的一个交点为(1,0)A，把(1,0)A 代入y中有

24、01(2)2aa，33a，1a 2yxx2，(2)(1)yxx，另一个交点是(2,0)B，与y轴交点(0,2)C，设直线BC为：ykxb，代入B，C后，20122kbkbb ，2yx，又抛物线的对称轴是12x，13222y ，点13,22P 17已知二次函数268yxx（1）用配方法将268yxx化成2()ya xhk的形式（2）当04x时，y的最小值是_，最大值是_（3）当0y 时，直线写出x的取值范围【答案】（1）y=2(3)1x；（2）最小值是1，最大值是8；（3）24x【解析】（1）268yxx 269 1xx 2(3)1x（2）函数2(3)1yx的图象开口向上，对称轴为3x，顶点坐标

25、为(3,1)，当0 x 时，2(03)18y ，当4x 时，2(43)10y ，当04x时，y的最小值是1，最大值是8（3）y=0 时,268xx=0，解得 x=2 或 4，当 y0 时，x 的取值范围是 2x4.18如图，已知二次函数2yaxbxc的图象顶点在x轴上，且1OA，与一次函数1yx 的图象交于y轴上一点B和另一交点C.1求抛物线的解析式；2点D为线段BC上一点，过点D作DEx轴，垂足为E，交抛物线于点F，请求出线段DF的最大值.【答案】(1)2221yxx；（2）线段DF的最大值为94.【解析】解：11OA Q，二次函数与一次函数11yx 的图象交于y轴上一点B，点A为1,0，点

26、B为0,1.Q二次函数的图象顶点在x轴上.设二次函数解析式为221ya x.把点0,1B代入得，210a x 1a.抛物线的解析式为221yx，即2221yxx.2设点F坐标为2,21mmm，点D坐标为,1mm.22239211324DFmmmmmm .当21yy时，即2211xxx ，解得120,3xx.Q点D为线段BC上一点,03m.当32m 时，线段DF的最大值为94.19如图，在平面直角坐标系中，抛物线216yxbxc经过原点 O，与 x 轴交于点 A(5，0)，第一象限的点 C(m，4)在抛物线上，y 轴上有一点 B(0，10).(I).求抛物线的解析式及它的对称轴；()点0,nP在

27、线段OB 上，点Q 在线段BC 上，若2OPBQ，且PAQA,求 n 的值；()在抛物线的对称轴上，是否存在点 M，使以 A，B，M 为顶点的三角形是等腰三形？若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】()21566yxx；对称轴为直线52x；()203n；()点M的坐标为5 5 19(,)22，55 19(,)22，5 205 19(,)22，5 205 19(,)22【解析】（）抛物线经过原点 O，抛物线解析式为216yxbx 抛物线与 x 轴交于点(5，0)，25056b，解得56b 抛物线解析式为21566yxx 55612226bxa，抛物线的对称轴为直线52x （）点

28、 C 在抛物线21566yxx上，215466mm，解得13m (舍)，28m 点 C 坐标为(8，4)过 C 作CEx轴，垂足为 E，连接 AB 在Rt AEC中，222223425ACCEAE 同理，可求得2100BC，2125AB 222ACBCAB 90BCAo 在Rt AOP和Rt ACQ中，OAAC，PAQA，Rt AOPRt ACQ OPCQ 2OPBQ，12BQn，1102CQn 1102nn，解得203n （）抛物线的对称轴为52x，设点 M 的坐标为52t，当AB=AM，BAM为顶角时，2222551052t，解得5 192t 当BMBA，MBA为顶角时，22225510102t，解得205 192t 当MAMB，BMA为顶角时，22225551022tt，解得5t 此时点552，为 AB 的中点，与点 A，B 不构成三角形 综上可得，点 M 的坐标为5 5 19,22，55 19,22，5 205 19,22，5 205 19,22