2021_2022学年高中数学第2讲参数方程4渐开线与摆线学案新人教A版选修4_42682.pdf

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1、.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。四 渐开线与摆线 学习目标：1.借助教具或计算机软件，观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹(平摆线)、直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹(渐开线)，了解平摆线和渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程(重点)2.通过阅读材料，了解其他摆线(变幅平摆线、变幅渐开线、外摆线、内摆线、环摆线)的生成过程；了解摆线在实际应用中的实例(难点)教材整理 1 渐开线及其参数方程 阅读教材 P40P41“思考及以上局部，完成以下问题 1把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头逐渐展开，保持线与圆相切，线头的轨迹就叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆 2设基圆

2、的半径为r，圆的渐开线的参数方程是 xrcos sin，yrsin cos(为参数)教材整理 2 摆线及其参数方程 阅读教材 P41P42，完成以下问题 1 当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上的一个定点运动的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线 2 设圆的半径为r，圆滚动的角为，那么摆线的参数方程是 xrsin，yr1cos(是参数)r5sin，y51cos(为参数)表示的是()A半径为 5 的圆的渐开线的参数方程 B半径为 5 的圆的摆线的参数方程 C直径为 5 的圆的渐开线的参数方程 D直径为 5 的圆的摆线的参数方程 解析 根据圆的渐开线与摆线的参数方程可知 B 正确 答案 B

3、 .下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。圆的渐开线的参数方程【例 1】圆的直径为 2，其渐开线的参数方程对应的曲线上两点A，B对应的参数分别是3和2，求A，B两点的距离 思路探究 先写出圆的渐开线的参数方程，再把A，B对应的参数代入参数方程可得对应的A，B两点的坐标，然后使用两点之间的距离公式可得A，B之间的距离 自主解 答 根据条件 可知圆的 半径是 1，所以对应 的渐开线参 数方程 是 xcos sin，ysin cos(为参数)，分别把3和2代入，可得A，B两点的坐标分别为 A3 36，3 36，B2，1.那么，根据两点之间的距离公式可得A、B两点的距离为|AB|3 36223 36

4、12 16136 32636 372.即A、B两点之间的距离为 16136 32636 372.根据渐开线的定义和求解参数方程的过程可知其中的字母r是指基圆的半径，参数是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角 1当32，2时，求出渐开线 xcos sin，ysin cos 上的对应点A，B，并求出A，B的距离 解 将32代入参数方程，得 x32，y1.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。把2代入方程，得 x2，y1.A32，1，点B2，1.因此|AB|23221122 21，故点A，B间的距离为 2 21.圆的摆线的参数方程【例 2】一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径

5、最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程 思路探究 根据圆的摆线的参数方程 xrsin，yr1cos(为参数)，只需把点(2,0)代入参数方程求出r的表达式，根据表达式求出r的最大值，再确定对应的摆线和渐开线的参数方程即可 自主解答 令y0，可得r(1cos)0，由于r0，即得 cos 1，所以2k(kZ)代入xr(sin)，得xr(2ksin 2k)又因为x2，所以r(2ksin 2k)2，即得r1k(kZ)又由实际可知r0，所以r1k(kN)易知，当k1 时，r取最大值为1.代入即可得圆的摆线的参数方程为 x1sin，y11cos(为参数)圆的渐开线的参数方程为 x1cos s

6、in，y1sin cos(为参数)根据摆线的定义和求解参数方程的过程可知其中的参数是指圆上定点相对于定直线与.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。圆的切点所张开的角度 2一个圆的摆线方程是 x44sin y44cos，(为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程 解 首先根据摆线的参数方程可知 圆的半径为 4，所以面积为 16，该圆对应的渐开线的参数方程是：x4cos 4sin，y4sin 4cos(为参数)1关于渐开线和摆线的表达，正确的选项是()A只有圆才有渐开线 B渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形 C正方形也可以有渐开线 D对于同一个圆

7、，如果建立的平面直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同 解析 不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线；渐开线和摆线的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不一样；对于同一个圆不管在什么地方建立平面直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同应选 C.答案 C 2 圆的渐开线 x 2cos sin，y 2sin cos(为参数)上与4对应点的直角坐标为()A.14，14 B.14，14 C.14，14 D.14，14.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。答案 A 3圆 x3cos，y3sin(为参数)的平摆线上一点的纵坐标为 0，那

8、么其横坐标可能是()A B3 C6 D10 解析 根据条件可知圆的平摆线的参数方程为 x33sin，y33cos(为参数)，把y0 代入，得 cos 1，所以2k(kZ)而x33sin 6k(kZ)答案 C 4半径为 4 的圆的渐开线的参数方程是_ 解析 由圆的渐开线的参数方程 xrcos sin，yrsin cos 得 x4cos sin，y4sin sin(为参数)答案 x4cos sin，y4sin cos(为参数)5给出直径为 6 的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程 解 以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x轴，建立直角坐标系又圆的直径为 6，所以半径为 3，所以圆的渐开线的参数方程是 x3cos 3sin，y3sin 3cos(为参数)以圆周上的某一定点为原点，以给定定直线所在的直线为x轴，建立直角坐标系，摆线的参数方程为 x33sin，y33cos(为参数)