2021_2022学年高中数学第3章不等式3.4基本不等式学案新人教A版必修52350.pdf

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1、.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。3.4 根本不等式：abab2 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解根本不等式的证明过程.2.能利用根本不等式证明简单的不等式及比拟代数式的大小(重点、难点).3.熟练掌握利用根本不等式求函数的最值问题(重点)1.通过利用根本不等式比拟大小和证明不等式的学习，培养逻辑推理素养.2.借助利用根本不等式求最值和根本不等式的实际应用，培养数学建模及数学运算素养.1重要不等式 如果a，bR，那么a2b22ab(当且仅当ab时取“)思考：如果a0，b0，用a，b分别代替不等式a2b22ab中的a，b，可得到怎样的不等式？提示 ab2ab.2根本不等式：aba

2、b2(1)根本不等式成立的条件：a，b均为正实数；(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号 思考：不等式a2b22ab与abab2成立的条件一样吗？如果不同各是什么？提示 不同，a2b22ab成立的条件是a，bR；abab2成立的条件是a，b均为正实数 3算术平均数与几何平均数(1)设a0，b0，那么a，b的算术平均数为ab2，几何平均数为ab；(2)根本不等式可表达为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 思考：ab2ab与ab22ab是等价的吗？提示 不等价，前者条件是a0，b0，后者是a，bR.4用根本不等式求最值的结论.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。(1)设x，y为正实

3、数，假设xys(和s为定值)，那么当xys2时，积xy有最大值为s24(2)设x，y为正实数，假设xyp(积p为定值)，那么当xyp时，和xy有最小值为 2p 5根本不等式求最值的条件(1)x，y必须是正数(2)求积xy的最大值时，应看和xy是否为定值；求和xy的最小值时，应看积xy是否为定值(3)等号成立的条件是否满足 思考：利用根本不等式求最值时应注意哪几个条件？假设求和(积)的最值时，一般要确定哪个量为定值？提示 三个条件是：一正，二定，三相等求和的最小值，要确定积为定值；求积的最大值，要确定和为定值 1不等式(x2y)1x2y2 成立的前提条件为()Ax2y Bx2y Cx2y Dx2

4、y B 因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x2y0，即x2y，应选B.2设x，y满足xy40，且x，y都是正数，那么xy的最大值为_ 400 因为x，y都是正数，且xy40，所以xyxy22400，当且仅当xy20 时取等号 3把总长为 16 m 的篱笆围成一个矩形场地，那么矩形场地的最大面积是_ m2.16 设一边长为x m，那么另一边长可表示为(8x)m，那么面积Sx(8x)x8x2216，当且仅当x4 时取等号，故当矩形的长与宽相等，都为 4 m 时面积取到最大值 16 m2.4给出以下说法：假设x(0，)，那么 sin x1sin x2；假设a，b(0，)，那么 lg alg

5、b2 lg alg b；.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。假设xR 且x0，那么x4x4.其中正确说法的序号是_ 因为x(0，)，所以 sin x(0，1，所以成立；只有在 lg a0，lg b0，即a1，b1 时才成立；x4x|x|4x2|x|4x4 成立 利用根本不等式比拟大小【例 1】0a1，0b0，b0，所以ab2ab，a2b22ab，所以四个数中最大的数应为ab或a2b2.又因为 0a1，0b1，所以a2b2(ab)a2ab2ba(a1)b(b1)0，所以a2b22)，n22b2(b0)，那么m，n之间的大小关系是_(2)假设ab1，P lg alg b，Q12(lg alg

6、 b)，Rlg ab2，那么P，Q，R 的大小关系是_(1)mn(2)PQ2，所以a20，又因为ma1a2(a2)1a22，所以m2a21a224，由b0，得b20，所以 2b22，n22b2n.(2)因为ab1，所以 lg alg b0，所以Q12(lg alg b)lg alg bP；Q12(lg alg b)lgalgblgablg ab2R.所以PQabbcca.思路探究：构造根本不等式的条件 运用根本不等式证明判断等号成立的条件得出结论 解 a0，b0，c0，ab2ab0，bc2bc0，ca2ca0，2(abc)2(abbcca)，即abcabbcca.由于a，b，c为不全相等的正实

7、数，故等号不成立 abcabbcca.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。1 所证不等式一端出现“和式，而另一端出现“积式，这便是应用根本不等式的“题眼，可尝试用根本不等式证明 2利用根本不等式证明不等式的注意点(1)屡次使用根本不等式时，要注意等号能否成立；(2)累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；(3)对不能直接使用根本不等式的证明可重新组合，形成根本不等式模型，再使用 2a，b，c为正实数，且abc1，求证：1a11b11c1 8.证明 因为a，b，c为正实数，且abc1，所以1a11aabca2bca.同理，1b12acb，1c12abc.上述三个不等式两边均

8、为正，相乘得1a11b11c1 2bca2acb2abc8，当且仅当abc13时，取等号 根本不等式的实际应用【例 3】如图，动物园要围成一样面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成 (1)现有可围 36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)要使每间虎笼面积为 24 m2，那么每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？思路探究：(1)ab为定值，如何求ab的最大值？(2)ab为定值，如何求ab的最小值？解 设每间虎笼长x m，宽y m，那么由条件知：4x6y36，即 2x3y18.设每间虎笼面积为S，那么Sx

9、y.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。法一：由于 2x3y2 2x3y2 6xy，2 6xy18，得xy272，即S272，当且仅当 2x3y时，等号成立 由2x3y18，2x3y，解得x，y3.故每间虎笼长 4.5 m，宽 3 m 时，可使面积最大 法二：由 2x3y18，得x932y.x0，932y0，0y6，Sxy932y y32(6y)y.0y0，S326yy22272.当且仅当 6yy，即y3 时，等号成立，此时x4.5.故每间虎笼长 4.5 m，宽 3 m 时，可使面积最大(2)由条件知Sxy24.设钢筋网总长为l，那么l4x6y.法一：2x3y2 2x3y2 6xy24，l

10、4x6y2(2x3y)48.当且仅当 2x3y时，等号成立 由2x3yxy24，解得x6，y4.故每间虎笼长 6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长最小 法二：由xy24，得x24y.l4x6y96y6y616yy6216yy48.当且仅当16yy，即y4 时，等号成立，此时x6.故每间虎笼长 6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长最小 某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为 400 平方米的三级污水处理池，平面图如下图 池.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。外圈建造单价为每米 200 元，中间两条隔墙建造单价为每米 250 元，池底建造单价为每平方米 80 元(池壁的厚度忽略不计，且池无盖

11、)试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价 解 设污水池的长为x米，那么宽为400 x米，总造价y(2x2400 x)2002250400 x80400400 x900 x32 0004002x900 x32 00056 000(元)，当且仅当x900 x，即x30 时取等号 故污水池的长为 30 米、宽为403米时，最低造价为 56 000 元 利用根本不等式求最值 探究问题 1 由x2y22xy知xyx2y22，当且仅当xy时“成立，能说xy的最大值是x2y22吗？能说x2y2的最小值为 2xy吗？提示 最值是一个定值(常数)，而x2y2或 2xy都随x，y的变化而变化，不是定值

12、，故上述说法均错误要利用根本不等式ab2ab(a，bR)求最值，必须保证一端是定值，方可使用 2小明同学初学利用根本不等式求最值时，是这样进展的：“因为yx1x2x1x2，当且仅当x1x，即x21 时“号成立，所以yx1x的最小值为 2.你认为他的求解正确吗？为什么？提示 不正确因为利用根本不等式求最值，必须满足x与1x都是正数，而此题x可能为正，也可能为负所以不能盲目“套用根本不等式求解正确解法应为：当x0 时，yx1x2x1x2，当且仅当x1x，即x1 时取“，yx1x的最小值是 2；当x0 时，yx1x2x1x2，当且仅当x1x，即x1 时，取“，y.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删

13、除。x1x的最大值是2.3x3，求yx24x的最小值，以下求解可以吗？为什么？“解：yx24xx4x2x4x4，当x3 时，yx24x的最小值为 4.提示 不可以，因为在利用根本不等求解最值时，虽然将所求代数式进展变形，使其符合根本不等式的构造特征，但是必须符合“正、“定、“等的条件，缺一不可本解法忽略了等号成立的条件，即“号不成立本问题可采用yx4x的单调性求解【例 4】(1)x54，求y4x214x5的最大值；(2)0 x0，求f(x)2xx21的最大值；(4)x0，y0，且1x9y1，求xy的最小值 思路探究：变形所求代数式的构造形式，使用符合根本不等式的构造特征(1)4x214x54x

14、514x53.(2)12x(12x)142x(12x)(3)2xx212x1x.(4)xy(xy)1(xy)1x9y.解(1)x0，y4x214x554x154x3231，当且仅当 54x154x，即x1 时，上式等号成立，故当x1 时，ymax1.(2)0 x0，.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。y142x(12x)142x12x221414116，当且仅当 2x12x0 x0，x1x2x1x2，f(x)221，当且仅当x1x，即x1 时等号成立(4)x0，y0，1x9y1，xy1x9y(xy)yx9xy1061016，当且仅当yx9xy，又1x9y1，即x4，y12 时，上式取等号

15、 故当x4，y12 时，(xy)min16.1(变条件)在例题(1)中条件改为x54，求函数f(x)4x214x5的值域 解 x54，4x50，f(x)4x514x5x514x5.即x32时，等号成立f(x)的值域为5，)2(变条件)在例题(1)中去掉条件x54时，4x50 f(x)4x514x53235 当且仅当 4x514x5时等号成立 即x32时f(x)min5.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。当x54时，4x50)的单调性求得函数的最值.1判断正误(1)对任意a，bR，a2b22ab，ab2ab均成立()(2)对任意的a，bR，假设a与b的和为定值，那么ab有最大值()(3)假

16、设xy4，那么xy的最小值为 4.()(4)函数f(x)x22x21的最小值为 2 21.()答案(1)(2)(3)(4)2假设 0 x1，那么x32x的取值范围是_ 0，3 24 由 0 x0，故x32x12 2x32x122x32x23 24，当且仅当x34时，上式等号成立 所以 00)因为x4x2x4x4，当且仅当x4x即x2 时取等号，所以ymin48032041 760(元)4f(x)2xx26.(1)假设f(x)k的解集为x|x3 或x2，求k的值；.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。(2)假设对任意x0，f(x)t恒成立，求实数t的范围 解(1)f(x)kkx22x6k0，由，其解集为x|x3 或x2，得x13，x22 是方程kx22x6k0 的两根，所以232k，即k25.(2)x0，f(x)2xx262x6x66.由f(x)t对任意x0 恒成立，故实数t的取值范围是66，.