2021_2022学年高中数学第3章圆锥曲线与方程44.2圆锥曲线的共同特征4.3直线与圆锥曲线的交2218.pdf

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1、.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。4.2 圆锥曲线的共同特征 4.3 直线与圆锥曲线的交点 学习目标：1.掌握圆锥曲线的共同特征(重点)2.了解直线与圆锥曲线的三种位置关系(重点)3.掌握求解直线与圆锥曲线有关问题的方法(难点)1圆锥曲线的共同特征 圆锥曲线 共同特征 e的值或范围 椭圆 圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e 0e1 抛物线 e1 双曲线 e1 思考：在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样的一个式子：a2cxaxc2y2，将其变形为：xc2y2a2cxca.(1)你能解释这个式子的意义吗？(2)具有这个关系的点的轨迹一定是椭圆吗？提示(1)这

2、个式子表示一个动点P(x，y)到定点(c，0)与到定直线xa2c的距离之比等于定值ca.(2)不一定当ac时，是椭圆，当ac时是抛物线，当a0，那么直线l与曲线C相交；假设0，那么直线l与曲线C相切；假设0，即k1 时，且k0 时，l与C有两个公共点，此时l与C相交；.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。当0，即k1 时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；当1 时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离 综上所述，(1)当k1 或k0 时，直线l与C有一个公共点；(2)当k1 时，直线l与C没有公共点 2.(变条件)把本例条件换为“直线l：ykx2，双曲线C：x24y24”当k为何值时

3、：(1)l与C无公共点？(2)l与C有唯一公共点？(3)l与C有两个不同的公共点？解 将ykx2 代入双曲线C的方程并整理，得(14k2)x216kx200.当 14k20 时，(16k)24(14k2)(20)16(54k2)(1)当14k20，0，即k52或k52时，l与C无公共点(2)当 14k20，即k12时，方程只有一解；当 14k20 且0，即k52时，方程有两个一样的解故当k12或k52时，l与C有唯一公共点(3)当14k20，0，即52k52且k12时，方程有两个不同的解，即此时l与C有两个不同的公共点 1用判别式可以判断直线与圆锥曲线的位置关系，当0 时，直线与圆锥曲线相交；

4、当0 时，直线与圆锥曲线相切；当0.2利用根与系数的关系求直线与圆锥曲线相交弦长的步骤：联立直线方程与圆锥曲线的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程；设出交点坐标A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用根与系数的关系求出x1x2，x1x2，弦长|AB|1k2|x1x2|或|AB|11k2|y1y2|(k0).下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。2双曲线的一个焦点为F1(3，0)，且渐近线为y 2x，过点A(2，1)的直线l与该双曲线交于P1，P2两点(1)求线段P1P2的中点P的轨迹方程；(2)过点B(1，1)，能否作直线l，使l与双曲线交于Q1，Q2两点，且B是线段Q1Q2的中点？

5、请说明理由 解(1)设双曲线方程为x2a2y2b21(a0，b0)c 3，ba 2c2a2a223a2a22，a21，b22.故双曲线方程为x2y221.设P1和P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点为P(x，y)，那么x21y2121，x22y2221.得 2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)，当x1x2，y0 时，2xyy1y2x1x2.又P1，P2，P，A四点共线，y1x2y1y2x1x2.由得2xyy1x2，即 2x2y24xy0，故中点P的轨迹方程为 2x2y24xy0.(2)假设存在直线l，同(1)可得l的斜率为 2，l的方程为y2x1.y

6、2x1，x2y221无解，与假设矛盾，满足条件的直线l不存在.1平面内到定点(0，3)的距离与到定直线y3 的距离之比为12的动点的轨迹是()A椭圆 B双曲线.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。C抛物线 D直线 A 由于点(0，3)不在直线y3 上，且 0121，所以，由圆锥曲线的统一定义知：动点的轨迹是椭圆 2函数yax21 的图像与直线yx相切，那么a()A.18 B.14 C.12 D1 B 函数yax21 的图像与直线yx相切，它们有且仅有一个交点由yax21，yx，得xax21，即ax2x10，14a0，a14.3直线yx1 与双曲线x2y221 相交于A，B两点，那么弦长|A

7、B|_ 4 2 联立方程组yx1，x2y221，消去y，得x22x30 .由方程解得x11，x23，代入yx1.得y10，y24，于是A，B两点坐标分别为(1，0)，(3，4)，那么|AB|1320424 2.4点P(1，1)为椭圆x24y221 内一定点，经过P引一弦，使此弦在P点被平分，那么此弦所在的直线方程为_ x2y30 法一：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y1k(x1)，弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y1kx1，x24y221.消去y得，(2k21)x24k(k1)x2(k22k1)0，x1x24kk12k21，又x1x22，4kk12k212，得k1

8、2.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。故弦所在直线方程为y112(x1)，即x2y30.法二：由于此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k，且设弦的两端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，那么x214y2121，x224y2221，两式相减得 x1x2x1x24y1y2y1y220，x1x22，y1y22，x1x22(y1y2)0，ky1y2x1x212.此弦所在直线方程为y112(x1)，即x2y30.5求过点P(0，1)且与抛物线y22x只有一个公共点的直线方程 解 假设直线的斜率不存在，那么过点P(0，1)的直线方程为x，即直线x0 与抛物线只有一个公共点 假设直线的斜率存在，设方程为ykx1，由y22x，ykx1，消去y得k2x22(k1)x10，当k0 时，解得y1，即直线y1 与抛物线只有一个公共点 当k0 时，由4(k1)24k20，得k12.即直线y12x1 与抛物线只有一个公共点 综上所述，所求直线方程为x0 或y1 或y12x1.