全等三角形经典例题7443.pdf

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1、全等三角形经典例题（全等三角形的概念和性质）类型一、全等形和全等三角形的概念 1、全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设ABC 和A1B1C1是全等(合同)三角形，点 A 与点 A1对应，点 B 与点 B1对应，点 C 与点 C1对应，当沿周界 ABCA，及 A1B1C1A1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形(如图 1)，若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形(如图 2)，两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转180，下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是()（

2、答案）B；提示：抓住关键语句，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转 180，B 答案中的两个三角形经过翻转 180就可以重合，故选 B；其它三个选项都需要通过平移或旋转使它们重合.类型二、全等三角形的对应边，对应角 类型三、全等三角形性质 3、如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果60BAF，那么DAE等于（）A.60 B.45 C.30 D.15 （答案）D；（解析）因为AFE 是由ADE 折叠形成的，所以AFEADE，所以FAEDAE，又因为60BAF，所以FAEDAE9060215.（点评）折叠所形成的三角形与原三角形是全等的关系，抓住全等三角形对应

3、角相等来解题.举一反三：（变式）如图，在长方形 ABCD 中，将BCD 沿其对角线 BD 翻折得到BED，若135，则2_.（答案）35；提示：将BCD 沿其对角线 BD 翻折得到BED，所以2CBD，又因为 ADBC，所以1CBD，所以235.4、如图，ABE 和ADC 是ABC 分别沿着 AB，AC 翻折 180形成的，若1232853，的度数是_.（答案）80（解析）1232853，设128x，25x，33x，28x5x3x36x180，x5 即1140，225，315 ABE 和ADC 是ABC 分别沿着 AB，AC 翻折 180形成的，ABEADCABC 2ABE，3ACD EBCB

4、CD2223503080（点评）此题涉及到了三角形内角和，外角和定理，并且要运用全等三角形对应角相等的性质来解决问题.见“比例”设未知数 x 是比较常用的解题思路.举一反三：（变式）如图，在ABC 中，A:ABC:BCA 3:5:10，又MNCABC，则BCM：BCN 等于（）A1:2 B1:3 C2:3 D1:4（答案）D；提示：设A3x，ABC5x，BCA10 x，则 3x5x10 x18x180，x10.又因为MNCABC，所以NB50，CNCB，所以NCBN50，ACBMCN100，BCN180505080，所以BCM：BCN20：801：4.（全等三角形判定一（SSS，SAS）类型一

5、、全等三角形的判定 1“边边边”1、如图，在ABC 和ADE 中，ABAC，ADAE，BDCE，求证：BADCAE.(答案与解析）证明：在ABD 和ACE 中，ABACADAEBDCE ABDACE（SSS）BADCAE（全等三角形对应角相等）.(点评）把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的判定和性质.要证BADCAE，先找出这两个角所在的三角形分别是BDA 和CAE，然后证这两个三角形全等.举一反三：(变式）已知：如图，ADBC，ACBD.试证明：CADDBC.(答案）证明：连接 DC，在ACD 与BDC 中 ADBCACBDCDDC公共边 A

6、CDBDC（SSS）CADDBC（全等三角形对应角相等）类型二、全等三角形的判定 2“边角边”2、3、举一反三：(变式）已知，如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分BAD，CEAB 于 E，并且 AE12（ABAD），求证：BD180.(答案）证明：在线段 AE 上，截取 EFEB，连接 FC，CEAB，CEBCEF90 在CBE 和CFE 中，CEBCEFEC=ECEBEF CBE 和CFE（SAS）BCFE AE12（ABAD），2AE ABAD AD2AEAB AEAFEF，AD2（AFEF）AB2AF2EFABAFAFEFEBABAFABAB，即 ADAF 在AFC 和ADC 中(A

7、FADFACDACACAC 角平分线定义）AFCADC（SAS）AFCD AFCCFE180，BCFE.AFCB180，BD180.类型三、全等三角形判定的实际应用 4、如图，公园里有一条“Z 字形道路 ABCD，其中 ABCD，在 AB，BC，CD 三段路旁各有一个小石凳E，M，F，且 BECF，M 在 BC 的中点.试判断三个石凳 E，M，F 是否恰好在一条直线上？Why？(答案与解析）三个小石凳在一条直线上 证明：AB 平行 CD（已知）BC（两直线平行，内错角相等）M 在 BC 的中点（已知）BMCM（中点定义）在BME 和CMF 中BECFBDBMMC BMECMF（SAS）EMBF

8、MC（全等三角形的对应角相等）EMFEMBBMFFMCBMFBMC180（等式的性质）E，M，F 在同一直线上(点评）对于实际应用问题，首先要能将它化成数学模型，再根据数学知识去解决.由已知易证BMECMF，可得EMBFMC，再由EMFEMBBMFFMCBMFBMC180得到 E，M，F 在同一直线上.（全等三角形判定二（ASA，AAS）类型一、全等三角形的判定 3“角边角”1、如图，G 是线段 AB 上一点，AC 和 DG 相交于点 E.请先作出ABC 的平分线 BF，交 AC 于点 F；然后证明：当 ADBC，ADBC，ABC2ADG 时，DEBF.(答案与解析）证明：ADBC，DACC

9、BF 平分ABC ABC2CBF ABC2ADG CBFADG 在DAE 与BCF 中CDACBCADCBFADG DAEBCF（ASA）DEBF(点评）利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等(变式）已知：如图，在MPN 中，H 是高 MQ 和 NR 的交点，且 MQNQ 求证：HNPM.(答案）证明：MQ 和 NR 是MPN 的高，MQNMRN90，又132490，34 12 在MPQ 和NHQ 中，12MQNQMQPNQH MPQNHQ（ASA）

10、PMHN 类型二、全等三角形的判定 4“角角边”2、已知：如图，90ACB，ACBC，CD是经过点C的一条直线，过点 A、B 分别作AECD、BFCD，垂足为 E、F，求证：CEBF.(答案与解析）证明：CDAE，CDBF 90BFCAEC 90BBCF ,90ACB90ACFBCFBACF 在BCF和CAE中BCACBACEBFCAECBCFCAE（AAS）BFCE (点评）要证BFCE，只需证含有这两个线段的BCFCAE.同角的余角相等是找角等的好方法.3、平面内有一等腰直角三角板（ACB90）和一直线 MN过点 C 作 CEMN 于点 E，过点 B 作BFMN 于点 F当点 E 与点 A

11、 重合时（如图 1），易证：AFBF2CE当三角板绕点 A 顺时针旋转至图2 的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段 AF、BF、CE 之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明 (答案与解析）解：图 2，AFBF2CE 仍成立，证明：过 B 作 BHCE 于点 H，CBHBCHACEBCH90CBHACE 在ACE 与CBH 中，90ACHCBHAECCHBACBC ACECBH（AAS）CHAE，BFHE，CEEF，AFBFAEEFBFCHEFHECEEF2EC (点评）过 B 作 BHCE 与点 H，易证ACHCBH，根据全等三角形的对应边相等，即可

12、证得 AFBF2CE正确作出垂线，构造全等三角形是解决本题的关键.举一反三：(变式）错误!未找到引用源。已知 RtABC 中，ACBC，C90，D 为 AB 边的中点，EDF90，EDF 绕 D 点旋转，它的两边分别交 AC、CB 于 E、F当EDF 绕 D 点旋转到 DEAC 于 E 时（如图 1），易证12DEFCEFABCSSS；当EDF 绕 D 点旋转到 DE 和 AC 不垂直时，在图 2 情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明.(答案）解：图 2 成立；证明图 2：过点D作DMACDNBC，则90DMEDNFMDN 在AMD 和DNB 中，A

13、MD=DNB=90ABADBD AMDDNB（AAS）DMDN MDEEDNNDFEDN90，MDENDF 在DME 与DNF 中，90EMDFDNDMDNMDENDF DMEDNF（ASA）DMEDNFSSDEFCEFDMCNDECFS=S=SS.四边形四边形 可知ABCDMCN1S=S2四边形，12DEFCEFABCSSS 类型三、全等三角形判定的实际应用 4、在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望，为了炸掉敌军的碉堡，要知道碉堡与我军阵地的距离.在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一名战士想出了这样一个办法：他面向碉堡站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部.然后，他

14、转身向后，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己这岸的某一点上.接着，他用步测的办法量出了自己与该点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离.这名战士的方法有道理吗？请画图并结合图形说明理由.(答案与解析）设战士的身高为 AB，点 C 是碉堡的底部，点 D 是被观测到的我军阵地岸上的点，由在观察过程中视线与帽檐的夹角不变，可知BADBAC，ABDABC90.在ABD 和ABC 中，ABDABCABABBADBAC ABD 和ABC（ASA）BDBC.这名战士的方法有道理.(点评）解决本题的关键是结合图形说明那名战士测出的距离就是阵地与碉堡的距离，可以先画出示意图，然后利用全等三角形进行说明.解决本题的关

15、键是建立数学模型，将实际问题转化为数学问题并运用数学知识来分析和解决.直角三角形全等判定 类型一、直角三角形全等的判定“HL”1、判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“”，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（）（2）一个锐角和斜边对应相等；（）（3）两直角边对应相等；（）（4）一条直角边和斜边对应相等 （）(答案）（1）全等，“AAS”；（2）全等，“AAS”；（3）全等，“SAS”；（4）全等，“HL”.(解析）理解题意，画出图形，根据全等三角形的判定来判断.(点评）直角三角形全等可用的判定方法有 5 种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.举一反三：(

16、变式）下列说法中，正确的画“”；错误的画“”，并举出反例画出图形.（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等（）（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等（）（3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等（）(答案）（1）；（2）；在ABC 和DBC 中，ABDB，AE 和 DF 是其中一边上的高，AEDF （3）.在ABC 和ABD 中，ABAB，ADAC，AH 为第三边上的高，2、已知：如图，DEAC，BFAC，ADBC，DEBF.求证：ABDC.(答案与解析）证明：DEAC，BFAC，在 RtADE 与 RtCBF 中.ADBCDEBF，RtADERtCBF（

17、HL）AECF，DEBF AEEFCFEF，即 AFCE 在 RtCDE 与 RtABF 中，DEBFDECBFAECFA RtCDERtABF（SAS）DCEBAF ABDC.(点评）从已知条件只能先证出 RtADERtCBF，从结论又需证 RtCDERtABF.我们可以从已知和结论向中间推进，证出题目.3、举一反三：(变式）4、如图，ABC 中，ACB90，ACBC，AE 是 BC 边上的中线，过 C 作 CFAE，垂足为 F，过 B 作 BDBC 交 CF 的延长线于 D.（1）求证：AECD；（2）若 AC12cm，求 BD 的长.(答案与解析）（1）证明：DBBC，CFAE，DCBD

18、DCBAEC90 DAEC 又DBCECA90，且 BCCA，DBCECA（AAS）AECD（2）解：由（1）得 AECD，ACBC，CDBAEC（HL）BDEC12BC12AC，且 AC12 BD6cm(点评）三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件.角的平分线的性质 知识点四、三角形角平分线的性质 三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三

19、角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：ABC 的内心为1P，旁心为234,P P P，这四个点到ABC 三边所在直线距离相等.(典型例题）类型一、角的平分线的性质及判定 1、已知：如图，在ABC中，AD 平分BAC，DEAB 于 E，DFAC 于 F.求证：AEAF(答案与解析）证明：AD 平分BAC，DEAB 于 E，DFAC 于 F.DEDF（角平分线上的点到角两边的距离相等）90AEDAFD（垂直定义）在Rt AED和Rt AFD中 DEDFADAD Rt AEDRt AFD（HL）AEAF(点评）先由角平分线的性质得出 DEDF，再证Rt

20、 AEDRt AFD，即可得出 AEAF.分析已知，寻找条件，顺次证明 举一反三：(变式）如图，AD 是BAC 的平分线，DEAB，交 AB 的延长线于点 E，DFAC 于点 F，且 DBDC.求证：BECF.(答案）证明：DEAE，DFAC，AD 是BAC 的平分线，DEDF，BEDDFC90 在 RtBDE 与 RtCDF 中，DBDCDEDF，RtBDERtCDF（HL）BECF 2、3、如图，AC=DB，PAC 与PBD 的面积相等求证：OP 平分AOB (答案与解析）证明：作 PMOA 于 M，PNOB 于 N 12PACSAC PM，12PBDSBD PN，且PACSPBDS 12

21、AC PM12BD PN 又ACBD PMPN 又PMOA，PNOB OP 平分AOB (点评）观察已知条件中提到的三角形PAC 与PBD，显然与全等无关，而面积相等、底边相等，于是自然想到可得两三角形的高线相等，联系到角平分线判定定理可得.跟三角形的高结合的题目，有时候用面积会取得意想不到的效果.4、举一反三：(变式）如图，DCAB，BAD和ADC 的平分线相交于 E，过 E 的直线分别交 DC、AB 于 C、B 两点.求证：ADABDC.(答案）证明：在线段 AD 上取 AFAB，连接 EF，AE 是BAD 的角平分线，12，AFAB AEAE，ABEAFE，BAFE 由 CDAB 又可得

22、CB180，AFEC180，又DFEAFE180，CDFE，DE 是ADC 的平分线，34，又DEDE，CDEFDE，DFDC，ADDFAF，ADABDC 全等三角形全章复习与巩固 类型一、巧引辅助线构造全等三角形(1)倍长中线法：1、已知，如图，ABC 中，D 是 BC 中点，DEDF,试判断 BECF 与 EF 的大小关系，并证明你的结论.FEDCBA(答案与解析）BECFEF；证明：延长 FD 到 G，使 DGDF,连结 BG、EG D 是 BC 中点BDCD 又DEDF 在EDG 和EDF 中EDEDEDGEDFDGDF EDGEDF（SAS）EGEF 在FDC 与GDB 中DGDFB

23、DCD21 FDCGDB(SAS)CFBG BGBEEGBECFEF(点评）因为 D 是 BC 的中点，按倍长中线法，倍长过中点的线段 DF，使 DGDF,证明EDGEDF，FDCGDB，这样就把 BE、CF 与 EF 线段转化到了BEG 中，利用两边之和大于第三边可证.有中点的时候作辅助线可考虑倍长中线法（或倍长过中点的线段）.举一反三：(变式）已知：如图所示，CE、CB 分别是ABC 与ADC 的中线，且ACBABC 求证：CD2CE (答案）证明：延长 CE 至 F 使 EFCE，连接 BF EC 为中线，AEBE 在AEC 与BEF 中，,AEBEAECBEFCEEF AECBEF（S

24、AS）ACBF，AFBE（全等三角形对应边、角相等）又 ACBABC，DBCACBA，FBCABCA ACAB，DBCFBC ABBF 又 BC 为ADC 的中线，ABBD即 BFBD 在FCB 与DCB 中，,BFBDFBCDBCBCBC FCBDCB（SAS）CFCD即 CD2CE(2)作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形 2、已知：如图所示，在ABC 中，C2B，12求证：ABACCD (答案与解析）证明：在 AB 上截取 AEAC 在AED 与ACD 中，()12()()AEACADAD 已作，已知，公用边，AEDACD（SAS）AEDC(全等三角形对应边、角相等)又 C2B

25、AED2B 由图可知：AEDBEDB，2BBEDB BEDB BEED即 BECD ABAEBEACCD(等量代换)(点评）本题图形简单，结论复杂，看似无从下手，结合图形发现 ABAC故用截长补短法在 AB 上截取 AEAC这样 AB 就变成了 AEBE，而 AEAC只需证 BECD 即可从而把 ABACCD 转化为证两线段相等的问题 举一反三：(变式）如图，AD 是ABC的角平分线，H，G 分别在 AC，AB 上，且 HDBD.(1)求证：B 与AHD 互补；(2)若B2DGA180，请探究线段 AG 与线段 AH、HD 之间满足的等量关系，并加以证明.(答案）证明：（1）在 AB 上取一点

26、 M,使得 AMAH,连接 DM.CADBAD,ADAD,AHDAMD.HDMD,AHDAMD.HDDB,DB MD.DMBB.AMDDMB 180,AHDB180.即 B 与AHD 互补.（2）由（1）AHDAMD,HDMD,AHDB180.B2DGA 180,AHD2DGA.AMD2DGM.AMDDGMGDM.2DGMDGMGDM.DGMGDM.MDMG.HD MG.AG AMMG,AG AHHD.（3）.利用截长(或补短)法作构造全等三角形：3、如图所示，已知ABC 中 ABAC，AD 是BAC 的平分线，M 是 AD 上任意一点，求证：MBMCABAC MGHDCBA(答案与解析）证明

27、：因为 ABAC，则在 AB 上截取 AEAC，连接 ME 在MBE 中，MBMEBE（三角形两边之差小于第三边）在AMC 和AME 中，()()()ACAECAMEAMAMAM 所作，角平分线的定义，公共边，AMCAME（SAS）MCME（全等三角形的对应边相等）又 BEABAE，BEABAC，MBMCABAC(点评）因为 ABAC，所以可在 AB 上截取线段 AEAC，这时 BEABAC，如果连接 EM，在BME 中，显然有 MBMEBE这表明只要证明 MEMC，则结论成立充分利用角平分线的对称性，截长补短是关键.举一反三：(变式）如图，AD 是ABC 的角平分线，ABAC,求证：ABAC

28、BDDC(答案）证明：在 AB 上截取 AEAC,连结 DE AD 是ABC 的角平分线，BADCAD 在AED 与ACD 中ADADCADBADACAE AEDADC（SAS）DEDC 在BED 中，BEBDDC 即 ABAEBDDCABACBDDC（4）.在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.4、如图所示，已知 E 为正方形 ABCD 的边 CD 的中点，点 F 在 BC 上，且DAEFAE 求证：AFADCF (答案与解析）证明：作 MEAF 于 M，连接 EF 四边形 ABCD 为正方形，CDEMA90 又 DAEFAE，AE 为FAD 的平分线，MEDE 在 RtAME 与 RtA

29、DE 中，()()AEAEDEME公用边，已证，RtAMERtADE(HL)ADAM(全等三角形对应边相等)又 E 为 CD 中点，DEEC MEEC 在 RtEMF 与 RtECF 中，()(MECEEFEF已证，公用边)，EDCBA RtEMFRtECF(HL)MFFC(全等三角形对应边相等)由图可知：AFAMMF，AFADFC(等量代换)(点评）与角平分线有关的辅助线：在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.四边形 ABCD 为正方形，则D90而DAEFAE 说明 AE 为FAD 的平分线，按常规过角平分线上的点作出到角两边的距离，而 E 到 AD

30、 的距离已有，只需作 E 到 AF 的距离 EM 即可，由角平分线性质可知 MEDEAEAERtAME 与 RtADE 全等有 ADAM而题中要证 AFADCF根据图知 AFAMMF故只需证 MFFC 即可从而把证 AFADCF 转化为证两条线段相等的问题 5、如图所示，在ABC 中，AC=BC，ACB=90，D 是 AC 上一点，且 AE 垂直 BD的延长线于 E，12AEBD，求证：BD 是ABC 的平分线(答案与解析）证明：延长 AE 和 BC，交于点 F，ACBC，BEAE，ADE=BDC（对顶角相等），EAD+ADE=CBD+BDC即EAD=CBD 在 RtACF 和 RtBCD 中

31、 所以 RtACFRtBCD（ASA）则 AF=BD（全等三角形对应边相等）AE=BD，AE=AF，即 AE=EF 在 RtBEA 和 RtBEF 中，则 RtBEARtBEF（SAS）所以ABE=FBE（全等三角形对应角相等），即 BD 是ABC 的平分线(点评）如果由题目已知无法直接得到三角形全等，不妨试着添加辅助线构造出三角形全等的条件，使问题得以解决平时练习中多积累一些辅助线的添加方法.类型二、全等三角形动态型问题 6、在ABC 中，ACB90，ACBC，直线l经过顶点 C，过 A，B 两点分别作l的垂线 AE，BF，垂足分别为 E，F。（1）如图 1 当直线l不与底边 AB 相交时，

32、求证：EFAEBF。（2）将直线l绕点 C 顺时针旋转，使l与底边 AB 相交于点 D，请你探究直线l在如下位置时，EF、AE、BF 之间的关系，ADBD；ADBD；ADBD.(答案与解析）证明：（1）AEl，BFl，AECCFB90，1290 ACB90，239013。在ACE 和CBF 中，13AECCFBACBC ACECBF（AAS）AECF，CEBF EFCECF，EFAEBF。（2）EFAEBF，理由如下：AEl，BFl，AECCFB90，1290 ACB90，2390，13。在ACE 和CBF 中13AECCFBACBC ACECBF（AAS）AECF，CEBF EFCFCE，E

33、FAEBF。EFAEBFEFBFAE 证明同.(点评）解决动态几何问题时要善于抓住以下几点：(1)变化前的结论及说理过程对变化后的结论及说理过程起着至关重要的作用；(2)图形在变化过程中，哪些关系发生了变化，哪些关系没有发生变化；原来的线段 之间、角之间的位置与数量关系是否还存在是解题的关键；(3)几种变化图形之间，证明思路存在内在联系，都可模仿与借鉴原有的结论与过程，其结论有时变化，有时不发生变化.举一反三：(变式）已知：在ABC 中，BAC90，ABAC，点 D 为射线 BC 上一动点，连结 AD，以AD 为一边且在 AD 的右侧作正方形 ADEF（1）当点 D 在线段 BC 上时（与点

34、B 不重合），如图 1，求证：CFBD （2）当点 D 运动到线段 BC 的延长线上时，如图 2，第（1）问中的结论是否仍然成立，并说明理由.(答案）证明：（1）正方形 ADEF ADAF，DAF90 DAFDACBACDAC，即BADCAF 在ABD 和ACF 中，ABACBADCAFADAF ABDACF（SAS）BDCF （2）当点 D 运动到线段 BC 的延长线上时，仍有 BDCF 此时DAFDACBACDAC，即BADCAF 在ABD 和ACF 中，ABACBADCAFADAF ABDACF（SAS）BDCF 全等三角形全章复习与巩固（基础）类型一、全等三角形的性质和判定 1、两个大

35、小不同的等腰直角三角形三角板如图 1 所示放置，图 2 是由它抽象出的几何图形，B，C，E 在同一条直线上，连结 DC(1)请找出图 2 中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；(2)证明：DCBE.(答案与解析)解：（1）BAECAD 证明：BACEAD90 BAC CAEEAD CAE 即 BAECAD 又ABAC，AEAD，ABEACD（SAS）（2）由（1）得BEACDA,又COEAOD BEACOE CDAAOD90 则有DCE180 9090，所以 DCBE.(点评)ABE 与ACD 中，已经有两边，夹角可以通过等量代换找到，从而证明ABEACD；通过全等三

36、角形的性质，通过导角可证垂直.我们可以试着从变换的角度看待ABE 与ACD，后一个三角形是前一个三角形绕着 A 点逆时针旋转 90得到的，对应边的夹角等于旋转的角度 90，即 DCBE.举一反三：(变式)如图，已知：AEAB，ADAC，ABAC，BC，求证：BDCE.(答案)证明：AEAB，ADAC，EABDAC90 EABDAEDACDAE，即DABEAC.在DAB 与EAC 中，DABEACABACBC DABEAC（SAS）BDCE.类型二、巧引辅助线构造全等三角形(1)作公共边可构造全等三角形：2、如图：在四边形 ABCD 中，ADCB，ABCD.求证：BD.(答案与解析)证明：连接

37、AC，ADCB，ABCD.12，34 在ABC 与CDA 中1243ACCA ABCCDA（ASA）BD(点评)B 与D 不包含在任何两个三角形中，只有添加辅助线 AC，根据平行线的性质，可构造出全等三角形.添加公共边作为辅助线的时候不能割裂所给的条件，如果证AC，则连接对角线 BD.举一反三：(变式)在ABC 中，ABAC.求证：BC(答案)证明：过点 A 作 ADBC 在 RtABD 与 RtACD 中ABACADAD RtABDRtACD（HL）BC.(2)倍长中线法：3、(点评)用倍长中线法可将线段 AC，2AD，AB 转化到同一个三角形中，把分散的条件集中起来.倍长中线法实际上是绕着

38、中点 D 旋转 180.举一反三：(变式)若三角形的两边长分别为 5 和 7,则第三边的中线长x的取值范围是()A.1 x 6 B.5 x 7 C.2 x 12 D.无法确定(答案)A；提示：倍长中线构造全等三角形，752x75，所以选 A 选项.(3).作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形：4、在ABC 中，ABAC.求证：BC (答案与解析)证明：作A 的平分线，交 BC 于 D，把ADC 沿着 AD 折叠，使 C 点与 E 点重合.在ADC 与ADE 中 ACAECADEADADAD ADCADE（SAS）AEDC AED 是BED 的外角，AEDB，即BC.(点评)作以角平分线

39、为对称轴的翻折变换构造全等三角形.(4)利用截长(或补短)法构造全等三角形：5、如图所示，已知ABC 中 ABAC，AD 是BAC 的平分线，M 是 AD 上任意一点，求证：MBMCABAC (答案与解析)证明：ABAC，则在 AB 上截取 AEAC，连接 ME在MBE 中，MBMEBE（三角形两边之差小于第三边）在AMC 和AME 中，()()()ACAECAMEAMAMAM 所作，角平分线的定义，公共边，AMCAME（SAS）MCME（全等三角形的对应边相等）又 BEABAE，BEABAC，MBMCABAC(点评)因为 ABAC，所以可在 AB 上截取线段 AEAC，这时 BEABAC，如

40、果连接 EM，在BME 中，显然有 MBMEBE这表明只要证明 MEMC，则结论成立充分利用角平分线的对称性，截长补短是关键.类型三、全等三角形动态型问题 6、如图（1），ABBD 于点 B，EDBD 于点 D，点 C 是 BD 上一点且 BCDE，CDAB （1）试判断 AC 与 CE 的位置关系，并说明理由；（2）如图（2），若把CDE 沿直线 BD 向左平移，使CDE 的顶点 C 与 B 重合，此时第（1）问中 AC 与 BE 的位置关系还成立吗？（注意字母的变化）(答案与解析)证明：（1）ACCE理由如下：在ABC 和CDE 中，,90,BCDEBDABCD ABCCDE（SAS）AC

41、BE 又 EECD90，ACBECD90 ACCE（2）ABC 各顶点的位置没动，在CDE 平移过程中，一直还有ABC D，BCDE，ABCEDC90，也一直有ABCC DE(SAS)ACBE而EEC D90，ACBEC D90故有 ACC E，即 AC 与 BE 的位置关系仍成立(点评)变还是不变，就看在运动的过程中，本质条件（本题中的两三角形全等）变还是没变本质条件变了，结论就会变；本质条件不变，仅仅是图形的位置变了。结论仍然不变 举一反三：(变式)如图(1)，ABC 中，BCAC，CDE 中，CECD，现把两个三角形的 C 点重合，且使BCAECD，连接 BE，AD求证：BEAD若将DEC 绕点 C 旋转至图(2)，(3)所示的情况时，其余条件不变，BE 与 AD 还相等吗?为什么?(答案)证明：BCAECD，BCAECAECDECA，即BCEACD 在ADC 与BEC 中ACD=BCEACBCCDCEADCBEC(SAS)BEAD 若将DEC 绕点 C 旋转至图(2)，(3)所示的情况时，其余条件不变，BE 与 AD 还相等，因为还是可以通过 SAS证明ADCBEC.