北京市2020年中考数学真题模拟题汇编专题13图形的性质之解答题(2)(含解析)3185.pdf

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1、 专题 13 图形的性质之解答题（2）（50 道题）一解答题（共 50 小题）1（2019怀柔区二模）如图，E 为 AB 中点，CEAB 于点 E，AD5，CD4，BC3，求证：ACD90 【答案】证明：E 为 AB 中点，CEAB 于点 E，ACBC，BC3，AC3，又AD5，CD4，AC2+CD2AD2，ACD90，【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键 2（2019西城区二模）如面是小东设计的“作平行四边形一边中点”的尺规作图过程 已知：平行四边形 ABCD 求作：点 M，使点 M 为边 AD 的中点 作法：如图，作射线 BA；以点 A 为圆心，

2、CD 长为半径画弧，交 BA 的延长线于点 E；连接 EC 交 AD 于点 M 所以点 M 就是所求作的点 根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明 证明：连接 AC，ED 四边形 ABCD 是平行四边形，AECD AE CD，四边形 EACD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）（填推理的依据）AMMD（全等三角形的对应边相等）（填推理的依据）点 M 为所求作的边 AD 的中点 【答案】解：（1）点 M 如图所示 （2）连接 AC，ED 四边形 ABCD 是平行四边形，AECD AECD，四边形 EACD 是平行四边形

3、（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）（填推理的依据）AMMD（全等三角形的对应边相等）（填推理的依据）点 M 为所求作的边 AD 的中点 故答案为：CD，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，全等三角形的对应边相等，【点睛】本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确应用全等三角形性质解决问题 3（2019怀柔区二模）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，AE 平分BAD，交 BC 于点 E，作 EFAB，交 AD 于点 F，AE 与 BF 交于点 P，连接 CF，CFEF（1）求证：四边形 ABEF 是菱形；（2）若 BF4，tanFBC，

4、求 EC 的长 【答案】（1）证明：EFAB，ADBC 四边形 ABEF 是平行四边形，ADBC，AE 平分BAD，DAEAEBDAEBAE BAEAEB，ABBE，四边形 ABEF 是菱形；（2）解：作 FHBC 于 H，如图所示：四边形 ABEF 是菱形，BF4，BPE90，PBPF2，tanFBC，PE，BE5，在 RtBFH 中，tanFBC，BF4 FH4，BH8 EH3 CFEF，EC2EH6 【点睛】本题考查了菱形的判定及平行四边形的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练运用菱形的性质和判定 4（2019门头沟区二模）如图，在ABCD 中，点 E 是 BC 边的一点，将边 AD 延

5、长至点 F，使得AFCDEC，连接 CF，DE（1）求证：四边形 DECF 是平行四边形；（2）如果 AB13，DF14，tanDCB，求 CF 的长 【答案】（1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，ADEDEC，AFCDEC，AFCADE，DECF，ADBC，DFCE，四边形 DECF 是平行四边形；（2）解：如图，过 D 作 DMEC 于 M，则DMCDME90，四边形 ABCD 是平行四边形，DCAB13，DCBCDF，tanCDF，tanDCB，设 DM12x，则 CM5x，由勾股定理得：（12x）2+（5x）2132，解得：x1，即 CM5，DM12，CE14，EM14

6、59，在 RtDME 中，由勾股定理得：DE15，四边形 DECF 是平行四边形，CFDE15 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形的应用，能灵活运用性质进行推理和计算是解此题的关键 5（2019怀柔区二模）如图，AB 是O 的直径，弦 EFAB 于点 C，点 D 是 AB 延长线上一点，A30，D30（1）求证：FD 是O 的切线；（2）取 BE 的中点 M，连接 MF，若 MF，求O 的半径 【答案】解：（1）连接 OE，OF，如图，EFAB，AB 是O 的直径，DOFDOE DOE2A，A30，DOF60，D30，OFD90 OFFD FD 为O 的切线；（2

7、）连接 OM AB 为O 的直径，O 为 AB 中点，AEB90 M 为 BE 的中点，OMAE，A30，MOBA30 DOF2A60，MOF90，OM2+OF2MF2 设O 的半径为 r AEB90，A30，解得 r2（舍去负根），O 的半径为 2 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系简记作：见切点，连半径，见垂直也考查了圆周角定理和垂径定理 6（2019西城区二模）如图，在正方形 ABCD 中，E 是边 AB 上的一动点，点 F 在边 BC 的延长线上，且 CFAE，连接 DE，DF，EFFH 平分EFB 交

8、BD 于点 H（1）求证：DEDF；（2）求证：DHDF：（3）过点 H 作 HMEF 于点 M，用等式表示线段 AB，HM 与 EF 之间的数量关系，并证明 【答案】（1）证明：如图 1 中，四边形 ABCD 是正方形，ADCD，EADBCDADC90，EADDCF90，CFAE，AEDCFD（SAS），ADECDF，EDFEDC+CDFEDC+ADEADC90，DEDF （2）证明：AEDCFD，DEDF，EDF90，DEFDFE45，ABC90，BD 平分ABC，DBF45，FH 平分BFE，HFBHFE，DHFHFB+DBCHFB+45，DFHHFE+DFEHFE+45，DHFDFH，

9、DHDF （3）解：结论：EF2AB2HM 理由：如图 2 中，作 HMEF 于 M，HNBC 于 N 四边形 ABCD 是正方形，ABAD，BAD90，BDAB，FH 平分BFE，HMEF，HNBF，HMHN，HBN45，HNB90，BHHNHM，DHBDBHABHM，EFDFDH，EF2AB2HM【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题 7（2019门头沟区二模）对于平面直角坐标系 xOy 中的动点 P 和图形 N，给出如下定义：如果 Q 为图形

10、 N上一个动点，P，Q 两点间距离的最大值为 dmax，P，Q 两点间距离的最小值为 dmin，我们把 dmax+dmin的值叫点 P 和图形 N 间的“和距离”，记作 d（P，图形 N）（1）如图 1，正方形 ABCD 的中心为点 O，A（3，3）点 O 到线段 AB 的“和距离”d（O，线段 AB）3+3；设该正方形与 y 轴交于点 E 和 F，点 P 在线段 EF 上，d（P，正方形 ABCD）7，求点 P 的坐标（2）如图 2，在（1）的条件下，过 C，D 两点作射线 CD，连接 AC，点 M 是射线 CD 上的一个动点，如果 6d（M，线段 AC）6+3，直接写出 M 点横坐标 t

11、取值范围 【答案】解：（1）如图 1，连接 OA，四边形 ABCD 是正方形，且 A（3，3），dmax+dminOE+OA3+3，即 d（O，线段 AB）3+3，故答案为：3+3；设 P（0，y），d（P，正方形 ABCD）7，dmax+dmin7，分两种情况：E（0，3），F（0，3），且 P 是线段 EF 上一个动点，i）当 P 在 x 轴上方时，如图 2，连接 PC，dmax+dminPE+PC7，3y7，解得：y1，经检验，y1 是原方程的解，P（0，1），ii）当 P 在 x 轴的下方时，同理可得 P（0，1）；综上，点 P 的坐标为（0，1）或（0，1）；（2）分两种情况：当3t

12、3 时，如图 3，M 在线段 CD 上，过 M 作 MNAC 于 N，连接 AM，M 点横坐标是 t，CMt+3，四边形 ABCD 是正方形，ACD45，CMN 是等腰直角三角形，MN（t+3），d（M，线段 AC）MN+MA（t+3），当 t3 时，如图 4，M 在线段 CD 的延长线上，过 M 作 MNAC 于 N，同理 MN（t+3），d（M，线段 AC）MN+CM（t+3）+t+3，在动点 M 从 C 到 D 方向上运动时，MN+MA 越来越大，（t+3）6，解得：t3，（t+3）+t+36+3，解得：t3，M 点横坐标 t 取值范围是3t3 【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键

13、是理解并掌握“和距离”的定义与点到直线的距离，有难度，并注意运用数形结合的思想和分类讨论思想的运用 8（2019丰台区二模）如图，在ABC 中，D、F 分别是 BC、AC 边的中点，连接 DA、DF，且 AD2DF，过点 B 作 AD 的平行线交 FD 的延长线于点 E（1）求证：四边形 ABED 为菱形；（2）若 BD6，E60，求四边形 ABEF 的面积 【答案】（1）证明：在ABC 中，D、F 分别是 BC、AC 边的中点，DF 是ABC 的中位线，DFAB，DFAB，BEAD，四边形 ABED 是平行四边形，AD2DF，ADAB，四边形 ABED 为菱形；（2）解：过 B 作 BGEF

14、 于 G，四边形 ABED 为菱形，ABBEDEBD6，DF3，EF9，E60，BDE 是等边三角形，BGEF，DGDE3，BGDG3，四边形 ABEF 的面积 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理、梯形面积公式、等边三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键 9（2019丰台区二模）如图，AB 是O 的直径，P 是 BA 延长线上一点，过点 P 作O 的切线，切点为 D，连接 BD，过点 B 作射线 PD 的垂线，垂足为 C（1）求证：BD 平分ABC；（2）如果 AB6，sinCBD，求 PD 的长 【答案】解：（1）证明：连接 OD，如图

15、1，PD 是O 的切线，ODPC，BCPC，ODBC，ODBCBD，OBOD，ODBOBD，CBDOBD，即 BD 平分ABC；（2）连接 AD，AB 是O 的直径，ADB90，sinCBDsinABD，AB6，AD2，BD4，sinCBD，CD，BC，ODBC，PDOPCB，PD 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，第（1）题关键是过切点连半径，第（2）题的突破口是构造相似三角形 10（2019丰台区二模）如图，在正方形 ABCD 中，E 为 BC 边上一动点（不与点 B、C 重合），延长 AE 到点F

16、，连接 BF，且AFB45，G 为 DC 边上一点，且 DGBE，连接 DF，点 F 关于直线 AB 的对称点为 M，连接 AM、BM（1）依据题意，补全图形；（2）求证：DAGMAB；（3）用等式表示线段 BM、DF 与 AD 的数量关系，并证明 【答案】（1）解：如图 1 所示：（2）证明：四边形 ABCD 是正方形，ABAD，ABCBADADG90，在ABE 和ADG 中，ABEADG（SAS），BAEDAG，点 F 关于直线 AB 的对称点为 M，BAEMAB，DAGMAB；（3）解：BM2+DF22AD2；理由如下：连接 BD，延长 MB 交 AG 的延长线于点 N，如图 2 所示：

17、BAD90，DAGMAB，MAN90，由对称性可知：MAFB45，N45，MN，AMAN，AFAM，AFAN，BAEDAG，BANDAF，在BAN 和DAF 中，BANDAF（SAS），NAFD45，BFD90，BF2+DF2BD2，BDAD，BMBF，BM2+DF22AD2 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解题的关键 11（2019平谷区二模）下面是小元设计的“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程，已知：如图 1，直线 l 和 l 外一点 P

18、求作：直线 l 的垂线，使它经过点 P，作法：如图 2，（1）在直线 l 上任取一点 A；（2）连接 AP，以点 P 为圆心，AP 长为半径作弧，交直线 l 于点 B（点 A，B 不重合）；（3）连接 BP，作APB 的角平分线，交 AB 于点 H；（4）作直线 PH，交直线 l 于点 H 所以直线 PH 就是所求作的垂线根据小元设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明 证明：PH 平分APB，APH BPH PA PB，PH直线 l 于 H（等腰三角形的三线合一）（填推理的依据）【答案】（1）解：如图，（2）证明：PH 平分APB，APHBPH

19、 PAPB，PH直线 l 于 H（等腰三角形的三线合一）故答案为BPH，PB，等腰三角形的三线合一【点睛】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作 12（2019平谷区二模）如图，AB 是O 直径，BCAB 于点 B，点 C 是射线 BC 上任意一点，过点 C 作 CD切O 于点 D，连接 AD（1）求证：BCCD；（2）若C60，BC3，求 AD 的长 【答案】（1）证明：AB 是O 直径，BCAB，BC 是O 的切线，CD 切

20、O 于点 D，BCCD；（2）解：连接 BD，BCCD，C60，BCD 是等边三角形，BDBC3，CBD60，ABD30，AB 是O 直径，ADB90，ADBDtanABD 【点睛】本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键 13（2019平谷区二模）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，AEBC 交 CB 延长线于 E，CFAE 交 AD 延长线于点 F（1）求证：四边形 AECF 是矩形；（2）连接 OE，若 cosBAE，AB5，求 OE 的长 【答案】（1）证明：四边形 ABCD 是菱形，ADBC，CFAE，

21、四边形 AECF 是平行四边形，AEBC，四边形 AECF 是矩形；（2）解：cosBAE，AB5，AE4，BE3，ABBC5，CE8，AC4，AOCO2，四边形 AECF 是矩形，OEOA2【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键 14（2019石景山区二模）如图，P 是矩形 ABCD 内部的一定点，M 是 AB 边上一动点，连接 MP 并延长与矩形 ABCD 的一边交于点 N，连接 AN已知 AB6cm，设 A，M 两点间的距离为 xcm，M，N 两点间的距离为 y1cm，A，N 两点间的距离为 y2cm小欣根据学习函数的经验，分别对函数 y

22、1，y2随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究下面是小欣的探究过程，请补充完整；（1）按照如表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 y1，y2与 x 的几组对应值；x/cm 0 1 2 3 4 5 6 y1/cm 6.30 5.40 4.80 4.22 3.13 3.25 4.52 y2/cm 6.30 6.34 6.43 6.69 5.75 4.81 3.98（2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出以补全后的表中各组对应值所对应的点（x，y1），并画出函数y1的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当AMN 为等腰三角形时，AM 的长度约为 3.3 或 4.8 或 5.7

23、 cm 【答案】解：（1）观察图象可知 D（2，4.80），故答案为 4.80（2）两个函数图象如图所示：（3）两个函数与直线 yx 的交点为 A，B，函数 y1与 y2的交点为 C，观察图象可知：A（3.3，3.3），B（4.8，4.8），C（5.7，4）AMN 为等腰三角形时，AM 的值约为 3.3 或 4.8 或 5.7 故答案为 3.3 或 4.8 或 5.7【点睛】本题考查四边形的性质，函数图象等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型 15（2019石景山区二模）下面是小华设计的“作一个角等于已知角的 2 倍”的尺规作图过程 已知：AOB 求作：APC，使得APC

24、2AOB 作法：如图，在射线 OB 上任取一点 C；作线段 OC 的垂直平分线，交 OA 于点 P，交 OB 于点 D；连接 PC；所以APC 即为所求作的角 根据小华设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明（说明：括号里填写推理的依据）证明：DP 是线段 OC 的垂直平分线，OP PC（线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）OPCO APCO+PCO（三角形任意一个外角等于与它不相邻的两内角的和）APC2AOB 【答案】解：（1）如图，APC 即为所求作；（2）证明：DP 是线段 OC 的垂直平分线，OPPC（线段垂直平分线上任意一点

25、，到线段两端点的距离相等）OPCO APCO+PCO（三角形任意一个外角等于与它不相邻的两内角的和）APC2AOB 故答案为线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；三角形任意一个外角等于与它不相邻的两内角的和【点睛】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作 16（2019石景山区二模）如图，AB 平分CAD，ACB+ADB180，（1）求证：BCBD（2）若 BD10，cosADB，求 ADAC 的值 【答案】（1）证明

26、：作 BNAD 于 N，BMAC 于 M BAMBAN，AMBANB90，ABAB，ABMABN（AAS），AMAN，BMBN，MAN+MBN180，MAN+CBD180，CBDMBN，CBMNBD，BMCBND90，BMBN，BMCBND（ASA），BCBD （2）解：在 RtBND 中，BD10，cosADB，DN4，ADAN+DN，ACAMCM，AMAN，CMDN4，ADACAN+DNAM+CM8【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型 17（2019朝阳区一模）在平面直角坐标系 xOy 中，对于

27、任意两点 P1（x1，y1）和 P2（x2，y2），称 d（P1，P2）|x1x2|+|y1y2|为 P1、P2两点的直角距离（1）已知：点 A（1，2），直接写出 d（O，A）3；（2）已知：B 是直线 yx+3 上的一个动点 如图 1，求 d（O，B）的最小值；如图 2，C 是以原点 O 为圆心，1 为半径的圆上的一个动点，求 d（B，C）的最小值【答案】解：（1）d（O，A）|01|+|02|1+23，故答案为：3 （2）设 B（a，a+3），则 d（O，B）|0a|+|0（a+3）|a|+|a3|，当 a0 时，d（O，B）aa+3a+33；当 a0 时，d（O，B）3；当 0a4 时

28、，d（O，B）aa+3a+33；当 a4 时，d（O，B）4；当 a4 时，d（O，B）aa3a34；综上，d（O，B）的最小值为 3；当点 C 在过原点且与直线 yx+3 垂直的直线上时，点 B 与点 C 的“直角距离”最小 设点 C 的坐标为（x，y）（点 C 位于第一象限），则 解得：点 C（，）由得，B（，），则 d（B，C）的最小值为|+|【点睛】本题考查了圆的综合题：掌握直线与圆的位置关系、绝对值的意义和直线与直线的交点问题；通过阅读理解新概念、新定义的意义 18（2019怀柔区一模）对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和图形 G 上任意一点 M，给出如下定义：图形G 关于原点

29、 O 的中心对称图形为 G，点 M 在 G上的对应点为 M，若MPM90，则称点 P 为图形 G，G的“直角点”，记作 Rt（G，P，G）已知点 A（2，0），B（2，0），C（0，2）（1）如图 1，在点 P1（1，1），P2（0，3），P3（0，2）这三个点中，Rt（OA，P，OA）是 P1和 P3；（2）如图 2，D 的圆心为 D（1，1），半径为 1，在直线 yx+b 上存在点 P，满足 Rt（D，P，D），求 b 的取值范围；（3）T 的半径为，圆心（t，t），若T 上存在点 P，满足 Rt（ABC，P，ABC），直接写出T 的横坐标的取值范围 【答案】解：（1）A（2，0），点 A

30、 关于原点 O 的对称点 A（2，0），此时 A与 B 重合，如图 1，M 与 M是点 O 的对称点，有AP3BMP1M90，Rt（OA，P，OA）是：P1和 P3；故答案为：P1和 P3；（2）如图 2，作直线 yx，取一点 P，作 PQx 轴于 Q，设 P（x，x），cosPOQ，POQ60，如图 3，作D 关于原点 O 的对称图形D，以1 为半径，作O，在上和下作O 的切线：yx+b，当 b0 时，设直线 MN 与O 的切点为 E，连接 OE，则 OEMN，RtOEN 中，ENO30，OE1，ONb2OE22，当 b0 时，同理得：b22，满足 Rt（D，P，D），则22b22；（3）作

31、 C 关于点 O 的对称点 C（0，2），以 O 为圆心，以 OC 为半径作O，作直线 yx，则 T 在此直线上，当O 与T 相外切时，设切点为 P，此时CPC90，满足 Rt（ABC，P，ABC），过 T 作 TRx 轴于 R，则 OT23，TOR30，TR，OR，同理当 T 在第三象限时，如图 5，同理得 OR，T 的横坐标的取值范围是：t 【点睛】本题主要考查了圆和函数的综合题，涉及勾股定理，一次函数，圆周角定理，新定义：“直角点”，解题的关键是对于平面直角坐标系 xOy 中的点 G 和图形 G，理解和运用给出的定义 19（2019西城区一模）在平面直角坐标系 xOy 中，对于两个点 P

32、，Q 和图形 W，如果在图形 W 上存在点M，N（M，N 可以重合）使得 PMQN，那么称点 P 与点 Q 是图形 W 的一对平衡点（1）如图 1，已知点 A（0，3），B（2，3）设点 O 与线段 AB 上一点的距离为 d，则 d 的最小值是 3，最大值是 ；在 P1（），P2（1，4），P3（3，0）这三个点中，与点 O 是线段 AB 的一对平衡点的是 P1 （2）如图 2，已知圆 O 的半径为 1，点 D 的坐标为（5，0），若点 E（x，2）在第一象限，且点 D 与点 E是圆 O 的一对平衡点，求 x 的取值范围 （3）如图 3，已知点 H（3，0），以点 O 为圆心，OH 长为半径画

33、弧交 x 轴的正半轴于点 K，点 C（a，b）（其中 b0）是坐标平面内一个动点，且 OC5，圆 C 是以点 C 为圆心，半径为 2 的圆，若弧 HK 上的任意两个点都是圆 C 的一对平衡点，直接写出 b 的取值范围 【答案】解：（1）由题意知：OA3，OB，则 d 的最小值是 3，最大值是；根据平衡点的定义，点 P1与点 O 是线段 AB 的一对平衡点，故答案为 3，P1 （2）如图 2 中，由题意点 D 到O 的最近距离是 4，最远距离是 6，点 D 与点 E 是O 的一对平衡点，此时需要满足 E1到O 的最大距离是 4，即 OE13，可得x，同理：当 E2到的最小距离为是 6 时，OE2

34、7，此时 x3，综上所述，满足条件的 x 的值为x3 （3）点 C 在以 O 为圆心 5 为半径的上半圆上运动，以 C 为圆心 2 为半径的圆刚好与弧相切，此时要想上任意两点都是圆 C 的平衡点，需要满足 CK6，CH6，如图 31 中，当 CK6 时，作 CMHK 于 H 由题意：，解得：或（舍弃），如图 33 中，当 CH6 时，同法可得 a，b，在两者中间时，a0，b5，观察图象可知：满足条件的 b 的值为b5 【点睛】本题属于圆综合题，考查了点 P 与点 Q 是图形 W 的一对平衡点两圆的位置关系，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会取特殊点特殊位置解决问题，属于中考压轴

35、题 20（2019大兴区一模）在平面直角坐标系 xOy 中，如果等边三角形的一边与 x 轴平行或在 x 轴上，则称这个等边三角形为水平正三角形（1）已知 A（1，0），B（1，0），若ABC 是水平正三角形，则点 C 坐标的是（只填序号）；（1，2），（0，），（0，1），（0，）（2）已知点 O（0，0），E（1，），F（0，2），以这三个点中的两个点及平面内的另一个点 P 为顶点，构成一个水平正三角形，则这两个点是，并求出此时点 P 的坐标；（3）已知O 的半径为，点 M 是O 上一点，点 N 是直线 y上一点，若某个水平正三角形的两个顶点为 M，N，直接写出点 N 的横坐标 xN的取值范

36、围【答案】解：（1）A（1，0），B（1，0），OAOB1，ACBCAB2，OC，当点 C 在 x 轴上方时，C（0，），当点 C 在 x 轴下方时，C（0，），则点 C 坐标的是，；（2）因为是一个水平正三角形，则这两个点是 O，E，连接 OE，如图 1 所示：OE 与 x 轴正方向夹角为 60 当点 P 在线段 OE 的左侧时，点 P 与点 E 关于 y 轴对称，P（1，）当点 P 在线段 OE 的右侧时，点 P 在 x 轴上且 OPOE，P（2，0）P（1，）或 P（2，0）；（3）分三种情况：当 MN 与 x 轴平行或重合时，如图 2 所示：EF 为O 的直径，直线 y与坐标轴的交点分

37、别为 A、B，则 OA3，OB9，ABO30，作 DEx 轴交直线 y于 D，作 CFx 轴交直线 y于 C，则 N 在线段 CD 上，AEOAOE2，DEAE6，同理：CF12，12xN6；当 MN 与 x 轴的负半轴夹角为 60时，如图 3 所示：作 OE直线 AB 于 E，作直径 GHOE，作 GDOE、HCOE，分别交 AB 于 D、C，作 CFOB 于 F，作 DPOB 于 P，则 N 在线段 CD 上，OHOGCEDE，ABO30，OEOB，BEOE，BCBECE，CF，BFCF，OFOBBF；同理：OP，xN；当 MN 与 x 轴的正半轴夹角为 60时，如图 4 所示：同得：xN

38、 综上所述，点 N 的横坐标 xN的取值范围为12xN6 或xN或xN 【点睛】本题是圆的综合题目，考查了新定义“水平正三角形”、直角三角形的性质、等边三角形的性质、矩形的性质、直线与圆的位置关系、坐标与图形性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，理解水平正三角形的定义是解题的关键 21（2019大兴区一模）如图，以 AB 为直径的半圆上有一点 C，连接 AC，点 P 是 AC 上一个动点，连接 BP，作 PDBP 交 AB 于点 D，交半圆于点 E已知：AC5cm，设 PC 的长度为 xcm，PD 的长度为 y1cm，PE的长度为 y2cm（当点 P 与点 C 重合时，y15，y20，

39、当点 P 与点 A 重合时，y10，y20）小青同学根据学习函数的经验，分别对函数 y1，y2随自变量 x 变化而变化的规律进行了探究 下面是小青同学的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 y1，y2与 x 的几组对应值，请补全表格；x/cm 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 y1/cm 5 2.85 1.98 1.52 1.21 0.97 0.76 0.56 0.37 0.19 0 y2/cm 0 0.46 1.29 1.61 1.84 1.96 1.95 1.79 1.41 0（2）在同一平面直角坐标系 xOy

40、 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数 y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当 PD，PE 的长都大于 1cm 时，PC 长度的取值范围约是 1.1PC2.4；点 C，D，E 能否在以 P 为圆心的同一个圆上？否（填“能”或“否”）【答案】解：（1）利用测量法可知：x1 时，y20.89（允许答案有误差）（2）函数图象如图所示：（3）观察图象可知：当 PD，PE 的长都大于 1cm 时，PC 长度的取值范围约是 1.1PC2.4 故答案为 1.1PC2.4 因为函数 y1，y2以及直线 yx，不可能交于同一点，所以不存在满足 PCPDPE 的

41、点 P，所以点 C，D，E 不可能在以 P 为圆心的同一个圆，故答案为：否【点睛】本题考查圆综合题，函数图象问题，解题的关键是理解题意，学会利用测量法解决问题，学会利用函数图象解决问题，属于中考压轴题 22（2019怀柔区一模）如图，AB 为O 的直径，点 C，D 在O 上，且点 C 是的中点连接 AC，过点C 作O 的切线 EF 交射线 AD 于点 E（1）求证：AEEF；（2）连接 BC若 AE，AB5，求 BC 的长 【答案】（1）证明：连接 OC OAOC，12 点 C 是的中点 13 32 AEOC EF 是O 的切线，OCEF AEEF；（2）解：AB 为O 的直径，ACB90 A

42、EEF，AEC90 又13，AECACB，AC2AEAB516 AC4 AB5，BC3【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理以及相似三角形的判定和性质，掌握切线的性质定理、直径所对的圆周角是直角是解题的关键 23（2019大兴区一模）如图，AB 为O 的直径，CB 与O 相切于点 B，连接 AC 交O 于点 D（1）求证：DBCDAB；（2）若点 E 为的中点，连接 BE 交 AD 于点 F，若 BC6，sinABD，求 AF 的长 【答案】（1）证明：CB 与O 相切于点 B，AB 为O 的直径，ABC90，ABD+DBC90 AB 为O 的直径，ADB90 ABD+DAB90 DBCD

43、AB（2）解：如图，ABCADB，ABD+DBCC+DBC ABDC，BC6，DC4 cosC，DFBABF+DAB，FBCDBF+DBC，又点 E 为的中点，AEDE，DBFABF 由（1）得：DABDBC，DFBFBC CFBC6 cosC，AC9 AFACCF963【点睛】此题主要考查了切线的性质，圆周角定理以及锐角三角函数的定义等知识 24（2019怀柔区一模）下面是“已知斜边作一个直角三角形”的尺规作图过程 已知：线段 AB 求作：一个直角三角形 ABC，使线段 AB 为斜边作法：如图，过 A 任意作一条射线 l；在射线 l 上任取两点 D，E；分别以点 D，E 为圆心，DB，EB

44、长为半径作弧，两弧相交于点 P；作射线 BP 交射线 l 于点 C 所以ABC 就是所求作的直角三角形 思考：（1）按上述方法，以线段 AB 为斜边还可以作 无数 个直角三角形；（2）这些直角三角形的直角顶点 C 所形成的图形是 以 AB 为直径的圆（点 A、B 除外），理由是 直径所对的圆周角为直角 【答案】解：（1）以线段 AB 为斜边还可以作无数个直角三角形；（2）这些直角三角形的直角顶点 C 所形成的图形是以 AB 为直径的圆（点 A、B 除外），理由是直径所对的圆周角为直角；故答案为无数；以 AB 为直径的圆（点 A、B 除外）；直径所对的圆周角为直角【点睛】本题考查了作图复杂作图：

45、复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作 25（2019大兴区一模）下面是小方设计的“作等边三角形”的尺规作图过程 已知：线段 AB 求作：等边三角形ABC 作法：如图，以点 A 为圆心，以 AB 的长为半径作A；以点 B 为圆心，以 AB 的长为半径作B，交于A 于 C，D 两点；连接 AC，BC 所以ABC 就是所求作的三角形 根据小方设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明 证明：点 B，C 在A 上

46、，ABAC（同圆的半径相等）（填推理的依据）同理点 A，C 在B 上，ABBC AB AC BC ABC 是等边三角形（三边都相等的三角形是等边三角形）（填推理的依据）【答案】解：（1）如图，（2）完成下面的证明 证明：点 B，C 在A 上，ABAC（同圆的半径相等 ）（填推理的依据）同理点 A，C 在B 上，ABBC ABACBC ABC 是等边三角形（三边都相等的三角形是等边三角形）（填推理的依据）故答案为同圆的半径相等；AB，AC，BC；三边都相等的三角形是等边三角形【点睛】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类

47、题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作 26（2019丰台区一模）下面是小东设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程 已知：直线 l 及直线 l 上一点 A 求作：直线 AB，使得 ABl 作法：以点 A 为圆心，任意长为半径画弧，交直线 l 于 C，D 两点；分别以点 C 和点 D 为圆心，大于长为半径画弧，两弧在直线 l 一侧相交于点 B；作直线 AB 所以直线 AB 就是所求作的垂线 根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明 证明：AC AD，BC BD，ABl（到线

48、段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）（填推理的依据）【答案】解：（1）如图：（2）证明：ACAD，BCBD，ABl（到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）（填推理的依据）故答案为 AD，BD；“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”【点睛】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）27（2019大兴区一模）如图，矩形 ABCD，延长 CD 到点 E，使得 DECD，连接 AE，BD（1）求证：四边形 ABDE 是平行四边形；（2）若 tanDB

49、C，CD6，求ABDE 的面积 【答案】（1）证明：四边形 ABCD 是矩形，ABCD，ABCD，延长 CD 到 E，DECD，ABDE，ABDE 四边形 ABDE 是平行四边形；（2）解：四边形 ABCD 是矩形，ABC90 tanDBC，CD6，BC8，四边形 ABCD 是矩形，ADBC，ADBC，ADE90，SABDES矩形ABCDCDBC6848【点睛】本题考查矩形的性质及解直角三角形的知识，解题的关键是充分挖掘矩形的隐含条件，难度不大 28（2019怀柔区一模）在四边形 ABCD 中，ABDC，ABAD，对角线 AC，BD 交于点 O，AC 平分BAD，过点 C 作 CEDB 交 A

50、B 的延长线于点 E，连接 OE（1）求证：四边形 ABCD 是菱形；（2）若DAB60，且 AB4，求 OE 的长 【答案】证明：（1）ABDC，CABACD AC 平分BAD，CABCAD CADACD，DADC ABAD，ABDC 四边形 ABCD 是平行四边形 ABAD，四边形 ABCD 是菱形；（2）四边形 ABCD 是菱形，DAB60，OAB30，AOB90 AB4，OB2，AOOC2 CEDB，四边形 DBEC 是平行四边形 CEDB4，ACE90 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、菱形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关