利用空间向量求二面角的平面角[2]12266.pdf

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1、OC1B1A1D1DABC利用空间向量求二面角的平面角专题复习 1。二面角的概念：二面角的定义。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面 若棱为l,两个面分别为,的二面角记为l.2二面角的平面角：（1）过二面角的棱上的一点O分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB，则AOB叫做二面角l 的平面角 （2）一个平面垂直于二面角l 的棱l,且与两半平面交线分别为,OA OB O为垂足,则AOB也是l 的平面角 说明：（1）二面角的平面角范围是0,180；（2）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角,组成直二面角的两个平面互相垂直 引导：请

2、学生归纳已学过的求二面角的大小的方法，教师作必要的补充与引导明确本节课的课题 二.求二面角的平面角：【回顾复习定义法求二面角的平面角】例 1:在棱长为 1 的正方体1AC中，求平面1C BD与底面ABCD所成二面角1CBDC的平面角正弦值大小.解：过1C作1C OBD于点O，正方体1AC，1CC 平面ABCD，1COC为 平 面1C BD与 平 面ABCD所 成 二 面 角1CBDC的平面角，可以求得:36sin1COC,所以，平面1C BD与底面ABCD所成 二面角1CBDC的平面角的正弦值大小为36【回顾复习用三垂线法求二面角的平面角】例 2如图,AB 平面BCD，BDCD，若2ABBCB

3、D，求二面角BACD的正弦值 分析：要求二面角的正弦值，首先要找到二面角的平面角 解：过D作BCDF 于F,过D作ACDE 于E，连结EF，则AC垂直于平面DEF,FED为二面角BACD的平面角,又AB 平面BCD，ABDF,ABCD，DF 平面ABC，DFEF 又ABCD，BDCD，CD 平面ABD,CDAD，设BDa,则2ABBCa，在Rt BCD中，1122BCDSBC DFBD CD,32DFa A B C D E F 同理,Rt ACD中,152 2DEa，3102sin5152 2aDFFEDDEa，所以,二面角BACD的正弦值为105 让学生观察两平面的法向量的夹角与二面角的平面

4、角之间的关系,引导学生用法向量的夹角解决。通过观察探究利用法向量解决：例 1:解：建立空间直角坐标系得：)1,1,0(1DC，)0,1,1(DB,)0,1,0(DC 设平面1C BD的法向量),(1111zyxn，平面CBD的法向量),(2222zyxn，可得)1,1,1(1n,)1,0,0(2n，33,cos21nn，即二面角的平面角36sin 例 2：解:建立空间直角坐标系得:)2,21,23(),2,0,0(),2,2,0(ADBAAC 设平面BAC的法向量),(1111zyxn，平面DAC的法向量),(2222zyxn 得：)1,0,0(1n,)33,33,1(2n，515,cos21

5、nn l 2n1ncos12cos,nn 2n1ncos12cos,nn 所以，二面角BACD的正弦值为105 三归纳小结：本节课回忆巩固了求解二面角的一些方法,并且通过类比用空间向量知识求解二面角，我们感受到空间向量的巧妙之处,但要让同学们认识到法向量之间的夹角与二面角的平面角的异同之处。四作业 求二面角专题 4 5 如何用空间向量求解二面角 求解二面角大小的方法很多，诸如定义法、三垂线法、垂面法、射影法、向量法等若干种。而这些方法中最简单易学的就是向量法，但在实际教学中本人发现学生利用向量法求解二面角还是存在一些问题，究其原因应是对向量法的源头不尽了解。本文就简要介绍有关这类问题的处理方法

6、,希望对大家有所帮助。在立体几何中求二面角可归结为求两个向量的夹角问题对于空间向量a、b,有 cosa，b=|baba利用这一结论，我们可以较方便地处理立体几何中二面角的问题 例 1 在四棱锥 VABCD 中，底面 ABCD 是正方形,侧面 VAD 是正三角形，平面 VAD底面 ABCD求面 VAD 与面 VDB所成的二面角的余弦值 证明:建立如图空间直角坐标系，并设正方形边 长为 1，依题意 得AB=(0，1，0），是面 VAD 的法向量,设n=（1，y,z）是面 VDB 的法向量，则 0,0.n VBn VB 1,33yz n=(1，1，33)。cosAB,n|AB nABn =217,又

7、由题意知，面 VAD 与面 VDB 所成的二面角为锐角，所以其余弦值是217 例 2 如图,直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACB=90，AC=1,CB=2，侧棱 AA1=1,侧面 AA1B1B 的两条对角线交点为 D，B1C1的中点为 M 求证 CD平面 BDM;求面 B1BD 与面 CBD 所成二面角的余弦值 A B C V D x y z B B1 C1 A1 C A D M 解:略 如图，以 C 为原点建立坐标系.设 BD 中点为 G,连结 B1G，则依 G(3 24,14,14),BD=（22，12,12），1BG=（24，34，14），BD 1BG=0，BDB1G 又 CDBD，C

8、D 与1BG 的夹角等于所求二面角的平面角 cos=11|CD B GCDB G =33 例 3 如图,在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD底面 ABCD，PD=DC，E 是 PC 的中点，作 EFPB 交 PB 于点 F求二面角 C-PBD 的大小 解：如图所示建立空间直角坐标系，D 为坐标原点,设aDC 设点 F 的坐标为000()xyz，PA=PB，则000()()xyzaaaa，从而000(1)xayaza，所以PE=00011(,)(,(),()2222aaxyzaaa 由条件 EFPB 知,PE PB=0，即0)21()21(222aaa，解得31 点 F

9、 的坐标为2()333aaa，且()366aaaPE ，2()333aaaFD ，PB FD 22220333aaa，即FDPB，故EFD是二面角 C-PB-D 的平面角 PE FD=222291896aaaa，且2226|936366aaaPEa，22246|9993aaaFDa,216cos266|63aPE FDEFDPEFDaa ,3EFD B B1 C1 A1 C A D M y x z G z P F E D A B C y x G 所以，二面角 CPB-D 的大小为3 例 4 已知三棱柱OAB1OA1B1中，平面11OOBB平面OAB，AOB=90，OBO1=60,且OB=1OO

10、=2，OA=3，求二面角1OAB-O的余弦值 解：以O为原点，分别以OA,OB所在的直线为 x，y 轴,过O点且与平面AOB垂直的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系如图，则O（0,0,0）,1O（0，1，3），A(3,0，0），1A(3，1，3），B(0，2，0）1AO=（3,1，3），AB=(3，2，0)显然OZ为平面AOB的法向量，取1n=(0，0，1)，设平面ABO1的法向量为2n=（x，y，z)，则 2n1AO=0,2nAB=0 即023033yxzyx，令 y=3，x=2,z=1,则2n=（2,3,1）cos1n，2n=|2121nnnn=221=42，故二面角1OABO的余弦值是42 x y z A B B1 A1 O1 O