2020新教材高中数学第十一章立体几何初步11.4.2平面与平面垂直练习新人教B版必修第四册2981.pdf

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1、11.4.2 平面与平面垂直 课后篇巩固提升 基础巩固 1.设平面平面,且=l,直线a,直线b,且a不与l垂直,b不与l垂直,那么a与b()A.可能垂直,不可能平行 B.可能平行,不可能垂直 C.可能垂直,也可能平行 D.不可能垂直,也不可能平行 解析若al,bl,则ab,假设ab,在平面内,过a上一点P作PMl交l与M,则PM,PMb.又ba,所以b,得bl,与b与l不垂直矛盾,所以a与b不可能垂直.答案 B 2.给出以下四种说法:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行;如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面

2、;如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行;如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.其中正确的个数是()A.4 B.3 C.2 D.1 解析根据空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理易知错,正确,故选 B.答案 B 3.如果直线l,m与平面,满足l=,l,m,m,那么必有()A.和lm B.和m C.m和lm D.和 解析由m,l,可得ml.由m,m,可得.答案 A 4.对于直线m,n和平面,能得出的一组条件是()A.mn,m,n B.mn,=m,n C.mn,n,m D.mn,m,n 解析 A 与 D 中也可与平行,B 中不一定,故选 C.答案 C 5.下

3、列说法正确的是()过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直;如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直,它必和另一个平面平行;过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直;如果两个平面互相垂直,经过一个平面内一点与另一平面垂直的直线在第一个平面内.A.B.C.D.解析过平面外一点可作一条直线与平面垂直,过该直线的任何一个平面都与已知平面垂直,所以不对;若,a,则a或a,所以不对;当平面外的直线是平面的垂线时,能作无数个平面与已知平面垂直,否则只能作一个,所以也不对.正确.答案 D 6.三个平面两两垂直,它们的交线交于一点O,点P到三个面的距离分别是 3,4,5,则OP的长为()A.53 B

4、.52 C.35 D.25 解析三个平面两两垂直,可以将P与各面的垂足连接并补成一个长方体,OP即为对角线,OP=32+42+52=50=52.答案 B 7.下列说法中:两个相交平面组成的图形叫做二面角;异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角相等或互补;二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成角的最小角;二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系,其中正确的有()A.B.C.D.解析对,显然混淆了平面与半平面的概念,是错误的;对,由于a,b分别垂直于两个面,所以也垂直于二面角的棱,但由于异面直线所成的角为锐角(或直角),所以应是相等或互补

5、,是正确的;对,因为不垂直于棱,所以是错误的;是正确的,故选 B.答案 B 8.已知平面,和直线m,给出条件:m;m;m;.(1)当满足条件 时,有m;(2)当满足条件 时,有m.(填所选条件的序号).答案 9.下列四个命题中,正确的序号有 .,则;,则;,则;,则.解析正确,中,也可能平行,中,也可能相交.答案 10.设和为不重合的两个平面,给出下列命题:(1)若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线,则平行于;(2)若外一条直线l与内的一条直线平行,则l和平行;(3)设和相交于直线l,若内有一条直线垂直于l,则和垂直.上面命题中,真命题的序号是 (写出所有真命题的序号).解析(1)由面面平

6、行的判定定理可得,该命题正确.(2)由线面平行的判定定理可得,该命题正确.(3)如图(举反例),a,=l,al,但与不垂直.答案(1)(2)11.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=23,CC1=2,二面角C1-BD-C的大小为 .解析连接AC交BD于点O,连接C1O,C1D=C1B,O为BD中点,C1OBD,ACBD,C1OC是二面角C1-BD-C的平面角,在 RtC1CO中,C1C=2,可以计算C1O=22,sinC1OC=11=12,C1OC=30.答案 30 12.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AD,AB的中点.(1)求证:EF平面CB1D1;

7、(2)求证:平面CAA1C1平面CB1D1.证明(1)连接BD.在正方体AC1中,对角线BDB1D1.又E,F为棱AD,AB的中点,EFBD.EFB1D1.又B1D1 平面CB1D1,EF平面CB1D1,EF平面CB1D1.(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1平面A1B1C1D1,而B1D1 平面A1B1C1D1,AA1B1D1.又在正方形A1B1C1D1中,A1C1B1D1,AA1A1C1=A1,B1D1平面CAA1C1.又B1D1 平面CB1D1,平面CAA1C1平面CB1D1.能力提升 1.正方形ABCD的边长为 12,PA平面ABCD,PA=12,则点P到对角线BD的距离

8、为()A.123 B.122 C.63 D.66 解析如图,连接AC交BD于点O.则PABD,AOBD.所以BD平面PAO.所以POBD,故PO为P到BD的距离.在 RtAOP中,PA=12,AO=62.所以PO=66.答案 D 2.如图所示,在四边形ABCD中,ADBC,AD=AB,BCD=45,BAD=90,将ABD沿BD折起,使平面ABD平面BCD,构成四面体ABCD,则在四面体ABCD中,下列说法正确的是()A.平面ABD平面ABC B.平面ADC平面BDC C.平面ABC平面BDC D.平面ADC平面ABC 解析在题图中,因为BAD=90,AD=AB,所以ADB=ABD=45.因为A

9、DBC,所以DBC=45.又因为BCD=45,所以BDC=90,即BDCD.在题图中,此关系仍成立.因为平面ABD平面BCD,所以CD平面ABD.因为BA 平面ADB,所以CDAB.因为BAAD,所以BA平面ACD.因为BA 平面ABC,所以平面ABC平面ACD.答案 D 3.如图,A,B,C,D为空间四点,在 RtABC中,AB=2,AC=BC=2,等边三角形ADB以AB为轴旋转,当平面ADB平面ABC时,CD=()A.3 B.2 C.5 D.1 解析取AB的中点E,连接DE,CE,因为ADB是等边三角形,所以DEAB.当平面ADB平面ABC时,因为平面ADB平面ABC=AB,所以DE平面A

10、BC,又CE 平面ABC,所以DECE.由已知可求得DE=3,CE=1,故在 RtDEC中,CD=2+2=2.答案 B 4.(多选题)已知m,n是两条不重合的直线,是三个两两不重合的平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是()A.若m,n,m,n,则 B.若,=m,n,则mn C.若m,=n,那么mn D.若m,m,=n,那么mn 解析由m,n是两条不重合的直线,是三个两两不重合的平面,知:在 A 中,若m,n,m,n,则与相交或平行,故 A 错误;在 B 中,若,=m,得m,n,则由面面垂直的性质定理得mn,故 B正确;在 C 中,若m,=n,那么由线面垂直的性质定理得mn,故 C 错误;在

11、 D 中,若m,m,=n,那么由线面平行的性质定理得mn,故 D 正确.故选 BD.答案 BD 5.(多选题)在正四面体ABCD中,E,F,G分别是BC,CD,DB的中点,下面四个结论中正确的是()A.BC平面AGF B.EG平面ABF C.平面AEF平面BCD D.平面ABF平面BCD 解析F,G分别是CD,DB的中点,GFBC,则BC平面AGF,故 A 正确;E,F,G分别是BC,CD,DB的中点,CDAF,CDBF,即CD平面ABF,EGCD,EG平面ABF,故 B 正确;E,F,G分别是BC,CD,DB的中点,CDAF,CDBF,即CD平面ABF,CD 面BCD,平面ABF平面BCD,

12、故 D 正确;对于选项 C,假设平面AEF平面BCD,由平面AEF平面BCD=AF,CD 平面BCD,CDAF,CD平面AEF,CDEF,与CD,EF夹角为 60矛盾,故 C 错误.故选 ABD.答案 ABD 6.如图,边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G,已知ADE是ADE绕DE旋转过程中的一个图形(A不与A,F重合),则下列命题中正确的是()动点A在平面ABC上的射影在线段AF上;BC平面ADE;三棱锥A-FED的体积有最大值.A.B.C.D.解析注意折叠前DEAF,折叠后其位置关系没有改变.中由已知可得平面AFG平面ABC,点A在平面ABC上的射影在线段AF上,正确;

13、BCDE,BC平面ADE,DE 平面ADE,BC平面ADE,正确;当平面ADE平面ABC时,三棱锥A-FED的体积达到最大,正确.答案 C 7.如图,四面体P-ABC中,PA=PB=13,平面PAB平面ABC,ABC=90,AC=8,BC=6,则PC=.解析取AB的中点E,连接PE.PA=PB,PEAB.又平面PAB平面ABC,PE平面ABC.连接CE,PECE.ABC=90,AC=8,BC=6,AB=27,PE=2-2=6,CE=2+2=43,PC=2+2=7.答案 7 8.如图所示,P是菱形ABCD所在平面外的一点,且DAB=60,边长为a.侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABC

14、D,PB与平面AC所成的角为,则=.解析如图所示,取AD的中点G,连接PG,BG,BD.PAD是等边三角形,PGAD,又平面PAD平面AC,平面PAD平面AC=AD,PG 平面PAD,PG平面AC,PBG是PB与平面AC所成的角.在PBG中,PGBG,BG=PG,PBG=45,即=45.答案 45 9.如图,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为DC的中点,F为线段EC(端点除外)上一动点.现将AFD沿AF折起,使平面ABD平面ABC.在平面ABD内过点D作DKAB,K为垂足.设AK=t,则t的取值范围是 .解析如图,过D作DGAF,垂足为G,连接GK,平面ABD平面ABC,又DKAB,

15、DK平面ABC,DKAF.AF平面DKG,AFGK.容易得到,当F接近E点时,K接近AB的中点,当F接近C点时,K接近AB的四等分点.所以t的取值范围是(12,1).答案(12,1)10.如图,在 RtAOB中,OAB=6,斜边AB=4,RtAOC可以通过 RtAOB以直线AO为轴旋转得到,且二面角B-AO-C是直二面角,D是AB的中点.(1)求证:平面COD平面AOB;(2)求异面直线AO与CD所成角的正切值.(1)证明由题意,COAO,BOAO,BOC是二面角B-AO-C的平面角,COBO,又AOBO=O,CO平面AOB,又CO 平面COD,平面COD平面AOB.(2)解作DEOB,垂足为

16、E,连接CE(如图),则DEAO,CDE是异面直线AO与CD所成的角.在 RtCOE中,CO=BO=2,OE=12BO=1,CE=2+2=5.又DE=12AO=3,在 RtCDE中,tanCDE=53=153.异面直线AO与CD所成角的正切值为153.11.如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为 1 的菱形,BCD=60,E是CD的中点,PA底面ABCD,PA=3.(1)证明:平面PBE平面PAB;(2)求二面角A-BE-P的大小.(1)证明如图所示,连接BD,由ABCD是菱形且BCD=60知,BCD是等边三角形.因为E是CD的中点,所以BECD.又ABCD,所以BEAB.又因为PA平面ABCD,BE 平面ABCD,所以PABE.而PAAB=A,因此BE平面PAB.又BE 平面PBE,所以平面PBE平面PAB.(2)解由(1)知BE平面PAB,PB 平面PAB,所以PBBE.又ABBE,所以PBA是二面角A-BE-P的平面角.在 RtPAB中,tanPBA=3,PBA=60,故二面角A-BE-P的大小是 60.